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广东省六校联盟2015届高三第三次联考数学(理科)试题



启 用 前 : 绝 密

A. S4 ? T4

B. S4 ? T4

C. S4 ? T4

D. S4 ? T4 )

2015届 广 东 六 校 联 盟 第 三次 联 考 试 题

7.已知直线 l1 : 2ax ? ? a ?1? y ?1 ? 0 , 则a ? ( l2 : ? a ?1? x ? ? a ?1? y ? 0 ,若 l1 ? l2 , A. 2 或

数 学 ( 理 科 )
( 满 分 150分 ) 考 试 时 间 : 120分 钟
1 参考公式:柱体的体积公式 V ? Sh ,锥体的体积公式 V ? Sh . 3
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.每小题只有一个正确答案,请把正确 答案填涂在答题卡相应位置) 1.设集合 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ?2,3,4?, B ? ?3,5? , 则图中阴影部分所表示的集合为( A. ?2,3? C. ?5? B. ?1, 4? D. ?6? U A B )

1 2

B.

1 或 ?1 3

C.

1 3

D. ? 1

8.已知函数 f ? x ? 的定义域为 D , 如果存在实数 M , 使对任意的 x ? D , 都有 f ? x ? ? M , 则称函数 f ? x ? 为有界函数,下列函数: ① f ? x? ? 2 ③ f ? x? ?
?x

, x?R

② f ? x ? ? ln x , x ? ? 0, ???

x , x ? ? ??, 0 ? x ?1
2

? 0, ?? ? ;

④ f ? x ? ? x sin x, x ? ? 0, ???

为有界函数的是( A.②④

) B.②③④ C.①③ D.①③④

2.已知复合命题 p ? ? ?q ? 是真命题,则下列命题中也是真命题的是( A. ? ?p ? ? q B. p ? q C. p ? q



二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共计 30 分.) 9. 函数 f ? x ? ? x ln x 在点 e, f ? e? 处的切线方程为___________________. 10.在 ?ABC 中, A ? 45?, B ? 75?, c ? 2 ,则此三角形的最短边的长度是________. ) 11.已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 2 ? a5 ? 6 ,则 an ? ___________. 12.已知圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 上的点到直线 l : y ? kx ? 2 的最近距离为1 ,则 k ? ______. 13.如图,为了测量两座山峰上两点 P、Q 之间的距离,选择山坡上一段长度为 300 3 米且
1

D. ? ?p ? ? ? ?q ?

?

?

3.已知向量 a ? ? 5, 2 ? , b ? ? ?4, ?3? , c ? ? x, y ? ,若 3a ? 2b ? c ? 0 ,则 c ? ( A. ? ?23, ?12? B. ? 23,12? C. ? 7, 0 ? )
2

D. ? ?7,0 ?
1 1 1

4.下列函数中,在其定义域上为奇函数的是( A. y ? e ? e
x ?x

B. y ? ? x

C. y ? tan x

1? x D. y ? ln 1? x


2

和 P,Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点,现测得 四个角的大小分别是 ?PAB ? 90? , ?PAQ ? ?PBA ? ?PBQ ? 60? ,

5.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( A.

主视图

侧视图

26 3

B. 8 ?

? 3

C.

14? 3

D.

7? 3
俯视图

可求得 P、Q 两点间的距离为 14. 已知 p : M ?

米.

6.已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0, d ? 0 ,前 n 项和为 Sn , 等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , b4 ? a4 ,前 n 项和为 Tn ,则( )

?? x, y ? x ? x ? 2 ?
2

y 2 ? 2y ? 2 ? 3 ;

?

q : M ? ? x, y ? ? x ?1? ? y 2 ? r 2 ? r ? 0?
如果 p 是 q 的充分但不必要条件,则 r 的取值范围是_

?

?

三、解答题(本大题共六个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 1(其中 ? ? 0, x ? R )的 最小正周期为 6? . ⑴ 求 ? 的值; ⑵ 设 ? , ? ? ?0,

18. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 1 ?

4 ,数列 ?bn ? 满足 an ? 3

bn ?

1 , ? n ? N* ? . an ? 1

11 ?? 1 ? ?? ? , f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. ? 5 2 ? 17 ? 2? ?

⑴ 求数列 ?bn ? 的通项公式; ⑵ 证明:

1 1 ? 2? 2 b1 b2

?

1 ?7. bn 2

16. (本小题满分 12 分)寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动,计划分出甲、乙两 个小组,每组均组织①垃圾分类宣传,②网络知识讲座,③现场春联派送三项活动,甲组计划 的同学从事项目①,

1 2
19.(本小题满分 14 分)已知直角坐标系中,圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? ,两点

1 1 1 的同学从事项目②,最后 的同学从事项目③;乙组计划 的同学从事 4 4 5 1 3 项目①,另 的同学从事项目②,最后 的同学从事项目③,每个同学最多只能参加一个小组 5 5
的一项活动,从事项目①的总人数不得多于 20 人,从事项目②的总人数不得多于 10 人,从事项 目③的总人数不得多于 18 人,求人数足够的情况下,最多有多少同学能参加此次的社区服务活 动?

A ? 4, 0? , B ? 0, 4? ,动点 P 满足 AP ? ? AB, ? 0 ? ? ? 1? .
⑴ 求动点 P 的轨迹 C 方程; ⑵ 若对于轨迹 C 上的任意一点 P,总存在过点 P 的直线 l 交圆 O 于 M,N 两点,且点 M 是线 段 PN 的中点,求 r 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分)如图,将长为 4,宽为 1 的长方形折叠成长方体 ABCD-A1B1C1D1 的四个侧面,记底面上一边 AB ? t , ? 0 ? t ? 2? ,连接 A1B,A1C,A1D. ⑴ 当长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积最大时,求二面角 B-A1C-D 的值; ⑵ 线段 A1C 上是否存在一点 P,使得 A1C ? 平面 BPD,若有,求出 P 点的位置,没有请说 明理由. A1 B1 1 A B C C1 D D1 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? ax . ⑴ 求函数 f ? x ? 的单调区间和极值;

?? ? x 的图像上存在 P ⑵ 若 a ? ? ?1,0? , 函 数 g ? x? ? a f 1, P 2 两点,其横坐标满足

1 ? x1 ? x2 ? 6 ,且 g ? x ? 的图像在此两点处的切线互相垂直,求 a 的取值范围.

t

2?t

t

2?t

2015届 广 东 六 校 联 盟 第 三次 联 考 试 题

16.解:设甲组 x 名同学,乙组 y 名同学,根据题意有:……………………1 分

数学参考答案及评分标准
一、选择题: CBAD DABC 二、填空题: 9. 2 x ? y ? e ? 0 ; 14. r ? 10.

1 ?1 ? 2 x ? 5 y ? 20 ? 1 1 ? ? x ? y ? 10 整理得: 5 ?4 ?1 3 ? x ? y ? 18 5 ?4 ? ? x ? 0, y ? 0
4 ; 3
13. 900;

y

5 x ? 4 y ? 200 5 x ? 2 y ? 200
A(24,20)

5x ? 12 y ? 360

2 6 ; 3

11. 2 n

12.0 或者 ?

2 或者填写 r ?

?

2, ?? 或者直接

?

?

2, ?? 均可

?

三、解答题: 15. 解:⑴ f ? x ? ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 1 ? 2sin(? x ?

?5 x ? 2 y ? 200 ?5 x ? 4 y ? 200 ? 可行域如图: ? 5 x ? 12 y ? 360 ? ? ? x ? 0, y ? 0

O

y ? ?x

x

………7 分,约束条件和图像各 3 分,不化简不扣分

?
3

) ?1

…………3 分

参加活动的总人数 z ? x ? y ,变形为 y ? ? x ? z ,当经过可行域内的点,斜率为 ?1 的直线 在 y 轴上截距最大时,目标函数 z ? x ? y 取得最大值. 由可行域图像可知,直线 y ? ? x ? z 经过 5 x ? 4 y ? 200 和 5x ? 12 y ? 360 的交点 A 时,在

T?

2?

1 ? f ? x ? ? 2sin( x ? ) ? 1 3 3

?

? 6? ,所以 ? ?

1 . 3

………………………………………………6 分

注:如果 f ? x ? ? ?2 cos(? x ? ⑵ f ? 3? ?

?
6

y 轴上截距最大.

…………………………………………………………………………8 分 ……………………………………10 分

) ? 1 等正确结果的话相应给分即可.

? ?

??

? ?? ?? 1 ?1 ? ? ? 2sin ? (3? ? ) ? ? ? 1 ? 2sin ? ? ? ? ? 1 ? ?2cos ? ? 1 ? 2? 2 3? 2? 17 ?3 ?
8 17
………………………………………………………………7 分

解方程组 ?

?5 x ? 4 y ? 200 得: x ? 24, y ? 20 ?5 x ? 12 y ? 360

所以 zmax ? x ? y ? 24 ? 20 ? 44

…………………………………………………11 分

所以 cos ? ?

答:甲组 24 名同学参加,乙组 20 名同学参加,此时总人数达到最大值 44 人.………12 分 17.解:法一: ⑴ 根据题意,长方体体积为 A1
2

?? 11 ?1 f ? 3? ? ? ? ? 2sin ? (3? ? ? ) ? ? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 3? 5 ?3
所以 sin ? ?

D C1 M

3 5

…………………………………………………………………8 分

15 4 ? ?? 2 , cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,10 分 因为 ? , ? ? ?0, ? ,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 17 5 ? 2?
所以 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

? t ? 2?t ? V ? t ? 2 ? t ? ?1 ? t ? 2 ? t ? ? ? ? ? 1 ……2 分 ? 2 ?
当且仅当 t ? 2 ? t ,即 t ? 1 时体积 V 有最大值为 1 所以当长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积最大时,底面四边 形 ABCD 为正方形 ……4 分

B1

A B C

D

13 . …………………………12 分 85

作 BM ? A1C 于 M,连接 DM,BD ……………5 分 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 ?A1 BC 与 ?A1 DC 全等,故 DM ? A1C,所以 ?BMD 即 为所求二面角的平面角 ……6 分

当且仅当 t ? 2 ? t ,即 t ? 1 时体积 V 有最大值为 1

…………………………………3 分 ……4 分

所以当长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积最大时,底面四边形 ABCD 为正方形 则 A1 ? 0, 0,1? , B ?1, 0, 0 ? , C ?1,1, 0 ? , A1 B ? ?1, 0, ?1? , BC ? ? 0,1, 0 ? , 设平面 A1BC 的法向量 m ? ? x, y, z ? ,则 ? 取 x ? z ? 1 ,得: m ? ?1,0,1?

因为 BC ? 平面 AA1B1B,所以 ?A1 BC 为直角三角形

6 A B ? BC 2 6 又A ,同理可得, DM ? ? ? ? 3 ,所以 BM ? 1 1B ? 2, AC 1 3 AC 3 3 1

?x ? z ? 0 ?y ? 0

z
A1 B1 C1 D1

………………6 分

6 6 ? ?2 1 9 9 在 ? BMD 中,根据余弦定理有: cos ?BMD ? ?? 2 6 6 2? ? 3 3
因为 ?BMD ? ? 0?,180?? ,所以 ?BMD ? 120? 即此时二面角 B-A1C-D 的值是 120? .

同理可得平面 A1CD 的法向量 n ? ? 0,1,1? ……7 分 ………………8 分 所以, cos m, n ?

O(A) B

D y C

m?n m?n

?

1 2

………………8 分

x

又二面角 B-A1C-D 为钝角,故值是 120? .…………9 分 (也可以通过证明 B1A ? 平面 A1BC 写出平面 A1BC 的法向量) ⑵ 根据题意有 B ?t,0,0? , C ?t,2 ? t,0? , D ? 0,2 ? t,0? , 若线段 A1C 上存在一点 P 满足要求, 不妨 A ,可得 P 1P ? ? AC 1

……………………………………………………9 分

⑵ 若线段 A1C 上存在一点 P,使得 A1C ? 平面 BPD,则 A1C ? BD ………………10 分 又 A1A ? 平面 ABCD,所以 A1A ? BD,所以 BD ? 平面 A1AC 所以 BD ? AC ……………………………………………………………………12 分

??t, ? ? 2 ? t ? ,1? ? ?

底面四边形 ABCD 为正方形,即只有 ABCD 为正方形时,线段 A1C 上存在点 P 满足要求, 否则不存在 由⑴知,所求点 P 即为 BM ? A1C 的垂足 M

BP ? ? ?t ? t , ? ? 2 ? t ? ,1 ? ? ? , BD ? ? ?t , 2 ? t , 0 ?
2 ? ? ? BP ? A1C ? 0 ?t ? ?t ? t ? ? ? ? 2 ? t ? ? ?1 ? ? ? ? 0 即: ? …………………………11 分 ? 2 2 BD ? A C ? 0 ? ? t ? 2 ? t ? 0 ? ? ? ? 1 ? 2 解得: t ? 1, ? ? …………………………………………………………13 分 3

A1B2 2 2 3 此时, A1P ? ? ? AC 3 3 1
法二:

……………………………………………………14 分

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点 P,位置是线段 A1C 上 A 1P : PC ? 2 :1 处. 18.解:⑴
2

………………………………………………………14 分

根据题意可知,AA1, AB,AD 两两垂直,以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系:

an?1 ? 1 ? 2 ?

2a ? 2 4 ? n an ? 3 an ? 3

…………………………………………2 分

? t ? 2?t ? ⑴长方体体积为 V ? t ? 2 ? t ? ?1 ? t ? 2 ? t ? ? ? ? ? 1 ………………………2 分 ? 2 ?

bn?1 ?

1 an?1 ? 1

?

an ? 3 ? an ? 1? ? 2 1 1 1 ? ? ? ? bn ? 2an ? 2 2 ? an ? 1? an ? 1 2 2

…………………6 分

1 1 n 1 ,所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, bn ? …………8 分 2 2 2 2 1 2 3 4 (也可以求出 b1 ? , b2 ? , b3 ? , b4 ? ,猜想并用数学归纳法证明,给分建议为计算 2 2 2 2
又 b1 ? 前 2 项 1 分,计算前 3 项或者更多 2 分,猜想通项公式 2 分,数学归纳法证明 4 分 数学归纳法证明过程如下: ① 当 n ? 1 时, b1 ?

? x ? 4 ? ?4? ? ? y ? 4?

消去 ? 并注意到 0 ? ? ? 1 可得动点 P 的轨迹 C 即为线段 AB,方程为: ……5 分,不写出 x 的范围扣 1 分

x ? y ? 4 ? 0, ? 0 ? x ? 4?

⑵ 设 N ? x0 , y0 ? , P ?t ,4 ? t ? , ? 0 ? t ? 4? ,则 M (

x0 ? t y0 ? 4 ? t , ) 2 2

n 1 符合通项公式 bn ? ; 2 2

② 假设当 n ? k 时猜想成立,即 bk ? 那么当 n ? k ? 1 时

2 1 k ? , ak ? ? 1 k ak ? 1 2

? x0 2 ? y0 2 ? r 2 2 2 2 ? ? x0 ? y0 ? r ? 方程组 ? x ? t 即 有解 ……7 分 ? y0 ? 4 ? t 2 2 2 2 2 2 0 ( x ? t ) ? ( y ? 4 ? t ) ? 4 r ( ) ? ( ) ? r ? 0 ? 0 ? ? 2 2
2 2 法一:将方程组两式相减得: 2tx0 ? 2 ? 4 ? t ? y0 ? t ? ? 4 ? t ? ? 3r ? 0 2 2

………8 分

2 ?1 ?1 ak ? 1 k 1? k 1 1 k ?1 , bk ?1 ? ak ?1 ? ? ? ? ? ak ? 3 2 ? 1 ? 3 1 ? k ak ?1 ? 1 1 ? k ? 1 2 k 1? k
即 n ? k ? 1 时猜想也能成立
* 综合①②可知,对任意的 n ? N 都有 bn ?

2 2 原方程组有解等价于点 ? 0, 0 ? 到直线 l : 2tx ? 2 ? 4 ? t ? y ? t ? ? 4 ? t ? ? 3r ? 0 的距离小于

或等于 r ,即

t 2 ? ? 4 ? t ? ? 3r 2
2

4t 2 ? 4 ? 4 ? t ?

2

?r
2 2

…………………………………………………………9 分

n . 2

整理得: 2t ? 16 ? 8t ? 3r
2
2 2 即 2t ? 8t ? 16 ? r

?

?

? 4t 2 ? 4 ? 4 ? t ? r 2
2

?

?

⑵ 当 n ? 1 时,左边=

1 ? 4 ? 7 不等式成立;……………………………………9 分 b12

?

?? 2t

2

? 8t ? 16 ? 9r 2 ? ? 0
……………………10 分

2 2 2 也就是, r ? 2t ? 8t ? 16 ? 9r 对任意的 0 ? t ? 4 恒成立

1 1 当 n ? 2 时,左边= 2 ? 2 ? 4 ? 1 ? 5 ? 7 不等式成立; …………………………10 分 b1 b2
当 n ? 3 时,

2 根据二次函数 y ? 2t ? 8t ? 16 的图像特征可知,在区间 ? 0, 4? 上,当 t ? 0 或者 t ? 4 时,

1 4 4 1? ? 1 ? 2? ? 4? ? ? 2 bn n n ? n ? 1? ? n ?1 n ?
1 1 1 1 1 ? 2 ? 4 ? 1 ? 4( ? ? ? ? bn 2 3 3 4 1 1 ? ? ) n ?1 n

? 2t

2

? 8t ? 16?
所以

max

? 16 ;当 t ? 2 时, ? 2t 2 ? 8t ? 16 ?

min

?8

…………………………12 分

1 1 左边= 2 ? 2 ? b1 b2

16 4 ? r2 ? 8 , ? r ? 2 2 9 3

……………………………………………………13 分

2 2 特别的,当 r ? 2 2 时,圆 x ? y ? 8 与 x ? y ? 4 ? 0 切于点 ? 2, 2 ? ,此时过 C 上的点

1 1 4 ? 5 ? 4( ? ) ? 7 ? ? 7 2 n n
不等式成立 …………………………………………………………………………14 分 19.解:⑴ 设 P ? x, y ? ,因为 AP ? ? AB, ? 0 ? ? ? 1? ,所以

?4 ? P ? 2, 2? 没有合乎要求的直线,故 r ? 2 2 ,即所求 r 的范围为 r ? ? , 2 2 ? . ……14 分 ?3 ?
法二:上述方程组有解即以 ? 0, 0 ? 为圆心, r 为半径的圆与以 ? ?t, t ? 4? 为圆心, 2 r 为半径

的圆有公共点,故对于任意的 0 ? t ? 4 都有 r ?

? 0 ? t ? ? ? 0 ? t ? 4?
2

2

? 3r 成立 ……9 分
1 a

………………………………………………………………………8 分 当 x ? ( ? a, ? a ? ) 时, g ? x ? ?

2 2 2 整理得: r ? 2t ? 8t ? 16 ? 9r 对任意的 0 ? t ? 4 恒成立

……………………10 分

a a ? a 2 ,函数在点 P1 处的切线斜率为 k1 ? ? ; 2 x?a x ? a ?1 ?

根据二次函数 y ? 2t 2 ? 8t ? 16 图像特征可知,在区间 ? 0, 4? 上,当 t ? 0 或者 t ? 4 时,

? 2t

2

? 8t ? 16?
所以

max

? 16;当 t ? 2 时, ? 2t 2 ? 8t ? 16 ?

当 x ? (?a ?

min

?8

…………………………12 分

1 a a , ??) 时,g ? x ? ? ? ? a2 , 函数在点 P ; 2 处的切线斜率为 k2 ? 2 a x?a ? x2 ? a ?
………………………………………………………………10 分

16 4 ? r2 ? 8 , ? r ? 2 2 9 3
2 2

……………………………………………………13 分 函数图像在两点处切线互相垂直即为:

特别的,当 r ? 2 2 时,圆 x ? y ? 8 与 x ? y ? 4 ? 0 切于点 ? 2, 2 ? ,此时过 C 上的点

a
2

?4 ? P ? 2, 2? 没有合乎要求的直线,故 r ? 2 2 ,即所求 r 的范围为 r ? ? , 2 2 ? . ……14 分 ?3 ?
20.解:⑴函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? ax 的定义域为 ? ?a, ?? ? , f ? ? x ? ?

? x1 ? a ? ? x2 ? a ?

?

a
2

? 1 ,即 ? x1 ? a ? ? x2 ? a ? ? a 2
2 2

………………………………11 分

因为 0 ? 1 ? a ? x1 ? a ? ?

1 ? a ……1 分 x?a

1 ? x2 ? a ? 6 ? a ,故上式即为 ? x1 ? a ?? x2 ? a ? ? ?a …12 分 a

当 a ? 0 时,原函数在区间 ? ?a, ?? ? 上有 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增,无极值; 当 a ? 0 时,原函数在区间 ? 0, ??? 上有 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增,无极值;……2 分 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ?

? 1 ? ?1 ? a ? ? ? a ? 1? 5 ? a 所以 ? ,解得: ?2 ? a ? 2 ?? 1 ? 6 ? a ? ? ?a ? ? a
综合得:所求 a 的取值范围是 a ? (?1,

1 1 ? a ? 0 得: x ? ? a ? x?a a

………………………………3 分

当 x ? ( ? a, ? a ? ) 时, f ? ? x ? ? 0 , 原函数单调递增; 当 x ? (?a ? 原函数单调递减

1 a

1 , ??) 时, f ? ? x ? ? 0 , a

1? 5 ). 2

………………………………14 分

…………………………………………………………………………………4 分

所以 f ? x ? 的极大值为 f ? ?a ? ⑵ 由⑴知,当 a ? ? ?1,0? 时

? ?

1? 2 ? ? ? ln ? ?a ? ? a ? 1 a?

………………………………5 分

1 ? a ? a 2 , x ? ( ? a, ? a ? ) ? 1 ?x?a a g ? x? ? a f ?? x? ? a ?a ? ? x?a ?? a ? a 2 , x ? (?a ? 1 , ??) ? a ? x?a
函数图像上存在符合要求的两点,必须 1 ? x1 ? ? a ?

……………………6 分

1 ? x2 ? 6 ,得: ?1 ? a ? ?3 ? 2 2 ; a



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