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《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计方案



《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计方案

一、概述
1. 《空间中直线与直线之间的位置关系》是人教课标高一必修2第二章第一节; 2.本节课所需课时为一课时,45分钟; 3. 空间中直线与直线之间的位置关系是在平面中两条直线位置关系以及平面的基本性质的 基础上提出来的,它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始,又是学习这些位 置关系的

基础,使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯,进一步提高学生的空间想象能力,发 展推理能力.

二、教学目标分析
1.能理解异面直线的定义; 2.了解空间中两条直线的三种位置关系,知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的 概念; 3.能正确理解平行公理和等角定理,并会运用进行相关的推理证明; 4.通过对实际模型的认识,能将文字语言转化为图形语言和符号语言,能准确地使用数学 语言表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题; 5. 通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系, 逐步提高将立体图形转为平 面图形的能力; 6.在学习空间中两直线间的位置关系时,逐步提高辩证唯物主义观点和公理化思想、空 间想象能力和思维能力.

三、学习者特征分析
1.空间直线的三种位置关系在现实中大量存在,学生对他们已有一定的感性认识.其中, 相交直线和平行直线都是共面直线,学生对它们已经很熟悉,异面直线的概念学生比较生疏; 2.学生善于形象思维,思维活跃,能积极参与讨论; 3.学生的求知欲比较强,表现欲强.

四、教学策略选择与设计
1.以长方体为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中两直线的位置关系; 2. 通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程展开, 得到平行公理和等角定理.

五、教学资源与工具设计
1.本节课多媒体课件; 2.高中新课程标准实验教科书《数学》(人教A版)必修2; 3.一套三角尺作图工具.

六、教学过程
(一)创设情境,归纳概念,练习巩固 1.提出问题:思考“同一平面内的两条直线有几种位置关系?空间中的两条直线呢?” 利用课件展示生活中实例,从图片中抽象出空间中直线的位置关系.让学生观察空间图形 中直线的位置关系,直观感受空间中的两条直线间的位置关系. 让学生观察长方体中线段 A?B 所在直线与线段 C?C 所在直线的位置关系如何?

给出异面直线的定义,结合直观感知,引导学生总结出:

? ?相交直线 ?共面直线? 空间中两条直线的三种位置关系 ? ?平行直线 . ?异面直线 ?
2.实例辨析,巩固概念。完成下面的判断题: (1)没有公共点的两条直线是异面直线. (2)平面内一点与平面外一点的连线,和平面内的直线一定是异面直线. (3)分别在两个平面内的两条直线是异面直线. (4)在空间既不平行也不相交的直线是异面直线. (5)和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线. (6)不在平面 ? 内的两条直线是异面直线. (7)不可能在同一平面内的两条直线是异面直线. 答案: (4) (7)正确,其余错误. 对于错误的叙述,在课件中给出相应的图形,帮助学生理解.

3.阐明异面直线的画法:

4.探究(借助于媒体展示正方体的直观图) 下图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段 所在的直线是异面直线的有 对.

设计意图:提出问题,调动学生思考.通过生活中实例展示,抽象出空间中两条直线的位 置关系,给学生直观感知.练习从不同的角度帮助学生加深对概念的理解.培养学生的空间图 形与平面图形之间的相互转换的能力. (二)直观感知,操作确认,灵活运用 1.直观感知:让学生将一本打开的书倒扣在桌面上,书脊所在的直线 l与书的各页另一边 都平行(即与书的每一页与桌面的交线平行) ,书各页的在同一侧的边均是平行的. 2.观察:长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, BB ? // AA? , DD ? // AA? , BB ? 与 DD ? 什么关 系?

3.问题:能否再举出生活中与此相关的实例? 学生归纳平行的传递性,得出公理4:平行于同一条直线的两条直线相互平行. 并能用图形、文字、符号三种数学语言的相互转化: 平行于同一条直线的两条直线相互平行.

a // b, ? b // c ? a // c
学生讨论,思考公理4的作用: (1)判断两条直线平行的依据. (2)证明两条直线平行. 4.公理4的应用,引导学生注意空间图形与平面图形之间的联系与区别 例2 如图 ,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证: 四边形EFGH是平行四边形.

5.探究: ( 1 )在上例题中,若把条件改为: E , F , G , H 分别是 AB , BC , CD , DA 上的点,且

AE AH CF CG ? ? ? ? 1 ,那么四边形EFGH是什么图形? EB HD FB GD
(2)在例2中,如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形? 设计意图: 通过动手操作、观察使学生形成对公理4的直观感知,然后再从理性层面上确认,例题和探 究是公理4的应用,培养学生的空间想象能力和推理能力. (三)类比推广,探究应用 1.提出问题: 在平面上, 我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相 等或互补”.空间中,结论是否仍然成立?

学生借助长方体观察,与平面时类比并加以推广得出定理: 定理 空间中如果有两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

并能用图形、文字、符号三种数学语言的相互转化: 空间中如果有两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

AC // A?C ?, ? AB // A?B? ? ?CAB ? ?C ?A?B ? 或 ?CAB ? ?C ?A?B? ? 180? .
2.通过平面内两相交直线的夹角对比引入异面直线的夹角:

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线 a? // a, ?b? // b ,把 a ? 与 b ? 所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a与b 所成的角. (或夹角)

异面直线夹角的求解过程: 异面直线 数学思想: 平移 相交直线 异面直线所成的角

空间图形 3.提出问题:

平面图形

由平面中两条直线垂直的定义,能否类比得到异面直线垂直的定义? 如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线相互垂直.

记作: a ? b . 4.探究: (1)在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线? (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线 垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

可以提示学生借助教室、课本等实例观察. 5.例题讲解: 已知正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? . (1)哪些棱所在直线与直线 BA? 是异面直线? (2)直线 BA? 和 CC ? 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA? 垂直? 解题过程同课本一致. 设计意图: 由于等角定理和直线夹角问题在平面图形中都有接触, 因此可以通过类比推广的形式得到, 也能让学生更好的认识平面图形与立体图形的异同,以及两者的内在联系,逐步培养学生将立 体图形转化为平面图形的能力. 探究和例题3使学生在直观感知的基础上, 认识空间中一般的直

线与直线的位置关系,使学生初步掌握依据定义、定理对空间图形进行推理论证、计算的方法. (四)知识梳理,系统化 相交直线 空 间 中 直 线 间 的 位 置 关 系 平行公理 平行直线 定理

共面直线

画法 异面直线 异面直线的夹角 异面直线的垂直

设计意图: 结构框图可以清晰地展示整节知识间的联系,使知识系统化.

七、教学评价设计
供课后练习: 1.已知 a 、 b 是异面直线,直线 c // 直线 a ,那么 c 与 b ( ) . A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 2.若 a // b , b ? c ? A ,则 a , c 的位置关系是( ) . A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线 3.两条异面直线指的是( ) . A.在空间内不相交的两条直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D.不在同一平面内的两条直线 4. 如果两条异面直线称作 “一对” , 那么在正方体的十二条棱中, 共有几对异面直线 ( ) . A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 5.由四个全等的等边三角形的三棱锥称为正四面体,如图,正四面体 ABCD 中, E 、 F 分别是棱 BC 、 AD 的中点, CF 与 DE 是一对异面直线,在图形中适当的选取一点作出异面 直线 CF 、 DE 的平行线,找出异面直线 CF 与 DE 成的角.

6.已知 E 、 E1 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 AD 、 A1 D1 的中点. 求证: ?BEC ? ?B1E1C1 .

(该教学设计方案由 中央电教馆教育信息资源开发部 王新民 提供)



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