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3.2古典概型



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绝密★启用前

A.

2013-2014 学年度???学校 12 月月考卷

>1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

【答案】B 【解析】

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?? 试题分析:由题意可知 a ? ?2,4?, b ? ? =(2,1) , (2,3) , (4,1) , 1,3?,? ? a
(4,3) , 从中取两个向量, 基本事件总数为 6, 分别为 (2,1) 和 (2,3) ; (2,1) 和(4,1) ; (2,1)和(4,3) ; (2,3)和(4,1) ; (2,3)和(4,3) ; (4,1)和 (4,3) ,其中,当所取的向量为(2,1)和(4,1) ; (2,1)和(4,3) ; (2,3) 和(4,3)时,所得三角形 OAB 面积为 1,所以 P ?

2 1 ? ,选 B,如图所示 6 3

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.同时抛掷两枚骰子,则两枚骰子向上的点数相同的概率为( A. )

1 2

B.

1 3

C.

1 6

D.

1 12
在 图 1 中 ,

【答案】C 【解析】 试题分析:记事件 A =“两枚骰子向上的点数相同” ,同时抛掷两枚骰子共有

S ?O

A

?

1 B ? 2 ?1 ? 1 2

,





2





6 1 ? ,选 C. 36 种结果,而事件 A 包含的结果数有 6 种,∴ P ( A) ? 36 6
考点:古典概型. 2.在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向 量 α =(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作 三角形,事件“所得三角形的面积等于 1”的概率为 ( )

S ?O

A

?

1 1 1 ? 2 ? 1 - ? 4 ? 2 ? 1 ,选 B. B? 4? 3 2 2 2

考点:1、向量;2、图形的面积;3、古典概型. 3.一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中 再取出一球,则取出的两个球同色的概率是( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

2 5

【答案】A
第 1 页 共 26 页 ◎ 第 2 页 共 26 页

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【解析】 试题分析:记两个红球分别为 a , b ,记两个白球分别为 1,2 ,现从袋中取出一 球 , 然 后 放 回 袋 中 再 取 出 一 球 , 则 基 本 事 件 总 数 是 16 , 分 别 为 : , (a, a), (a, b), (a,1 ) , (a,2) , (b, a) , (b, b) ( , b,1), (b,2) ( 1,a), (1, b) ,

试题分析:用 A 表示红球, B1 , B2 表示两个白球, C1 , C2 表示两个黑球,任 取两求的基本事件有 AB1 ,

AB2 , AC1, AC2 , B1B2 , B1C1, B1C2 , B2C1, B2C2 , C1C2 共 10 种,一白一黑的为 B1C1, B1C2 , B2C1 , B2C2 共 4 种,由古典概型的概率计算公式得 P ?
4 2 ? , 10 5

(1,1 ) , (1,2) , (2, a), (2, b), (2,1), (2,2) ,记事件 A =“袋中取出 1 球,然后放回
袋中再取出一球,则取出的两个球同色” ,事件 A 包含的基本事件个数是 8 个,分别为: :(a,a),(a,b), (b,a),(b,b), (1,1),(1,2), (2,1),(2,2),所以 P ( A) =

8 1 ? ,选 A. 16 2

选 B. 考点:古典概型概率的计算. 6.有 5 本不同的书,其中语文 2 本,数学 2 本,英语 1 本。若将其随机地 并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率为( )

考点:古典概型. 4.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 6

1 5 4 D. 5
A. 【答案】B 【解析】 试题分析:法一、 (将位置固定)
英 语 数 语 数

B.

2 5

C.

3 5

【答案】B; 【解析】解法一:由排列组合知识可知,所求概率 P ?

2 1 ? ; 2 C4 3

英语在第一或第五个位置,共有:

解法二: 任取两个数可能出现的情况为 (1,2) 、 (1,3) 、 (1,4) 、 (2,3) 、 (2,4) 、 (3,4) ;符合条件的情况为(1,3) 、 (2,4) ,故 P ?

2? ! 2?! 2 ? 2 ? 种; 16
英 数 数

1 . 3

英语在第二或第四个位置,共有:

【学科网考点定位】本题考查古典概型的概率运算,考查学生的基本运算能 力. 5.袋中共有 5 个除颜色外完全相同的小球,其中 1 个红球,2 个白球和 2 个 黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.

2!? 2!? 2 ? 2 ? 16 种;
语 数 英
1 1 英语在第三个位置,共有: C2 ? C2 ? 2!? 2! ? 16

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

种; 所以 p ?

【答案】B 【解析】
第 3 页 共 26 页 ◎

48 48 2 ? ? . 5! 120 5

法二、 (不固定位置)首先排英语和数学,有两类:数学不相邻“数英数” ,
第 4 页 共 26 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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2 数学相邻“数数英或英数数”.数学不相邻,则语文来插空,有 2!? A4 ? 24

9.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 m ,第二次出现的点数记 为 n ,方程组 ? A.

种;数学相邻,则必先选一本语文插在数学中间,共有 2 ? 2!? 2 ? 3 ? 24 种。 所以 p ?

48 48 2 ? ? . 5! 120 5

?mx ? ny ? 3 只有一组解的概率是( ?2 x ? 3 y ? 2
3 4
C.

)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

排列的问题,有固定位置和不固定位置两种基本的方法;其次一定要想好分 类和分步的原则. 考点:古典概型,计数原理,排列知识. 7.两位同学一起参加某单位的招聘面试,单位负责人对他们说:“我们要 从面试的人中招聘 3 人,假设每位参加面试的人被招聘的概率相等,你们俩 同时被招聘的概率是

2 3

B.

1 5

D.

17 18

【答案】D 【解析】 试题分析:方程组只有一组解 ? 3m ? 2n ? 0 ,即除了 m ? 2 且 n ? 3 或

1 ”.根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单 70
(D) 21 人

m ? 4 且 n ? 6 这两种情况之外都可以,故所求概率 p ?

6 ? 6 ? 2 17 ? . 6?6 18

位招聘面试的人有( ) (A) 44 人 (B) 42 人(C) 22 人 【答案】D 【解析】

考点:1.概率;2.解方程组. 10.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球.从袋中任取两球,两球颜色不同 的概率为( ) .. A.
4 15

B.

1 3

C.

2 5

D.

11 15

试题分析:设参加面试的人数为 n ,根据已知得

1 Cn 1 ?2 ,解得 n ? 21 . ? 3 70 Cn

【答案】D 【解析】 试题分析:令红球、白球、黑球分别为 A, B1, B2 , C1, C2 , C3 ,则从袋中任取 两 球 有

故选 D. 考点:概率、古典概型的计算以及组合数的计算. 8.一种电子抽奖方式是:一次抽奖点击四次按钮,每次点击后,随机出现 数字 1,2,3,4.当出现的四个数字不重复,且相邻两数字不是连续数字(即 两个数字差的绝对值为 1)时,获头奖,则第一次抽奖获头奖的概率为( ) A.

? A, B1 ? , ? A, B2 ?

, ,

? A, C1 ? , ? A, C2 ? , ? A, C3 ? ? B2 , C1 ? , ? B2 , C2 ? , ? B2 , C3 ?

, ,

? B1, C1 ? , ? B1, C2 ? , ? B1, C3 ? , ? B1, B2 ? ?C1, C2 ? , ?C1, C3 ? , ?C2 , C3 ? 共
4 11 ? . 15 15

1 128

B.

3 256

C.

1 64

D.

1 12

15 种取法,其中两球颜色相同有 ? B1, B2 ? ,

【答案】A 【解析】 试 题 分析 :所 有头 奖的结 果 为: 3142,2413 , 而所 有 可能 出现 的结 果有

?C1, C2 ? , ?C1, C3 ? , ?C2 , C3 ? 共 4 种取法,由古典概型及对立事件的概率公式
可得 p ? 1 ?

44 ? 256 种,故选 A.
考点:古典概型.
第 5 页 共 26 页 ◎

考点:古典概型.

第 6 页 共 26 页

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 11.一个袋子中装有 3 个红球和 2 个白球,假设每一个球被摸到的可能性是 相等的.现从袋子中摸出 2 个球,则摸出的球为 1 个红球和 1 个白球的概率 是___________. 【答案】

足这个条件的有 6 种情况,所以 ? 为锐角的概率是 考点:古典概型.

1 . 6

2 3 4 5 6 7 8 9? 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是 13.从集合 ?1,,,,,,,,
另一个数的 3 倍的概率为 【答案】 1 12 【解析】 试题分析:从 9 个数中任取两个不同的数为 36 个,符合条件的有(1,3), (2,6),(3,9)三个,故概率为 .

3 5

【解析】 试题分析:从装有 5 个球的袋子中摸出 2 个球的所有可能的情况总数为
2 1 1 C5 ? 10 ,其中 1 个红球 1 个白球的情况总数为 C3 C2 ? 6 ,所以所求的概率

p?

3 1 ? . 36 12

考点:古典概型. 14.从 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字中任意取 4 个数字组成一个没有重复 数字的四位数,这个数能被 3 整除的概率为____________. 【答案】

C1C1 6 3 为 3 22 ? ? . C5 10 5
考点:等可能事件及其概率. 12 .连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n , 若记向量 a = (m,n) 与向量

8 25

【解析】 试题分析:从 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字中任意取 4 个数字组成没有重

?

3 1 3 4 复数字的四位数,共有 C5 ,因为 0+1+2+3+4+5=15, C3 A3 ? A5 ? 300 (个)

? b ? (1 , ? 2) 的夹角为 ? ,则 ? 为锐角的概率是
【答案】 【解析】

.

所以这个四位数能被 3 整除只能由数字: 1,2,4,5; 0,3,4,5;0,2,3,4;0,1,3,5;0,1,2,3 组成,所以
4 1 3 能被 3 整除的有: A4 ? 4 ? C3 A3 ? 96 ,

1 6

试题分析:连掷两次骰子得到的点数记为 ? m, n ? ,其结果有 36 种情况,若 向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1 , ? 2) 的夹角 ? 为锐角,则 ?

所以所求概率为 P ?

96 8 ? . 300 25

考点:1.排列组合;2.概率. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

?

?

?m ? 2n ? 0 ,满 ??2m ? n ? 0


第 7 页 共 26 页

第 8 页 共 26 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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? P ( A) ?
15.高三某班有两个数学课外兴趣小组,第一组有 2 名男生, 2 名女生,第 二组有 3 名男生, 2 名女生.现在班主任老师要从第一组选出 2 人,从第二组 选出 1人,请他们在班会上和全班同学分享学习心得. (Ⅰ)求选出的 3 人均是男生的概率; (Ⅱ)求选出的 3 人中有男生也有女生的概率. 【答案】 (Ⅰ)

1 3 1 ? ,所以选出的 3 人均是男生的概率为 10 30 10

8分

(Ⅱ)设“选出的 3 个人有男生也有女生”为事件 B,则事件 B 含有 25 个基 本事件, 10 分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? P( B) ?

25 5 5 ? , 所以选出的 3 人中有男生也有女生的概率为 . 30 6 6

13

1 5 ; (Ⅱ) 10 6

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先列举出从第一组选出 2 人,从第二组选出 1人的所有基本 事件共有 30 种,然后从中可数出选出的 3 人均是男生的共有 3 种,故可得

分 考点:古典概率的求法 16.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (Ⅰ)两数之和为 5 的概率; (Ⅱ)两数中至少有一个为奇数的概率. 【答案】 (Ⅰ)

P?

3 1 ? ; (Ⅱ)由(Ⅰ)所列举的事件可知“选出的 3 个人有男生也 30 10 25 5 ? . 30 6

1 3 ; (Ⅱ) . 9 4

有女生”的事件有 25 种,所以选出的 3 人中有男生也有女生的概率为

P?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)通过列举可发现此问题中含有 36 个基本事件,而两数之和 为 5 的有(1,4) 、 (4,1) 、 (2.3) 、 (3、2)4 种,利用古典概型概率计算公式 可得概率为

试题解析: (Ⅰ)记第一组的 4 人分别为 A 1, A 2 , a1 , a2 ;第二组的 5 人分别为

1 ; (Ⅱ)求出对立面的概率:对立面含的基本事件为(2,2)、 9 9 3 ? . 36 4

(4,4)、(6,6)、(2,4)、(4,2)、(2,6)、(6,2)、(4,6)、(6、 4)共 9 种,所以所求的概率为 1 ?

B1 , B2 , B3 , b1 , b2

1分

设“从第一组选出 2 人,从第二组选出 1 人”组成的基本事件空间为 ? ,则

? ? {( A1 , A2 , B1 ), ( A1 , A2 , B2 ), ( A1 , A2 , B3 ), (A1 , A2 ,b1 ), (A1 , A2 ,b2 ), (A1 ,a1 , B1 ),

试题解析:将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件. (Ⅰ)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件,所以

( A1 , a1 , B2 )( A1 , a1 , B3 )( A1 , a1 , b1 )( A1 , a1 , b2 )( A1 , a2 , B1 ), ( A1 , a2 , B2 ), (A1 , a2 , B3 ), P(A)= 4 = 1 . 36 9 ( A1 , a2 , b1 ), ( A1 , a2 , b2 ), ( A2 , a1 , B1 )( A2 , a1 , B2 )( A2 , a1 , B3 )( A2 , a1, b1 )( A2 , a1 , b2 ), ( A2 , a2 , B1 )( A2 , a2 , B2 )( A2 , a2 , B3 )( A2 , a2 , b1 )( A2 , a2 , b2 ), (a1 , a2 , B1 )( a1, a2 , B2 )
(a1, a2 , B3 )(a1, a2 , b1 )(a1, a2 , b2 )} 共有 30 种.
4分 6分 答:两数之和为 5 的概率为

1 . 9 9 3 = . 36 4 3 . 4

6分

(Ⅱ)记“两数中至少有一个为奇数”为事件 B, 则事件 B 与“两数均为偶数” 为对立事件,所以 P(B)=1-

设“选出的 3 人均是男生”为事件 A ,则事件 A 含有 3 个基本事件

答:两数中至少有一个为奇数的概率为
◎ 第 10 页 共 26 页

12 分

第 9 页 共 26 页

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考点:古典概型概率的计算. 17.为预防 H7N9 病毒爆发,某生物技术公司研制出一种 H7N9 病毒疫苗,为 测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于 90%,则认为测试没有通过) , 公司选定 2000 个样本分成三组,测试结果如下表: 分组 疫苗有效 疫苗无效 A组 673 77 B组 C组

(Ⅰ)从中不放回地摸球,每次摸 2 个,摸到的 2 个球中至少有 1 个红球则 中奖,求摸 2 次恰好第 2 次中奖的概率; (Ⅱ)每次同时摸 2 个,并放回,摸到的 2 个球中至少有 1 个红球则中奖, 连续摸 4 次,求中奖次数 X 的数学期望 E(X). 【答案】 (Ⅰ)

90

c

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (1)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,应在 C 组抽取 样本多少个? (2)已知 b ? 465, c ? 30, 求通过测试的概率.

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用排列组合、古典概率公式可求; (Ⅱ)按照分布列的取 值情况求对应的概率即可. 试题解析:(Ⅰ) 设“摸 2 次恰好第 2 次中奖”为事件 A,则

P ( A) ?

2 1 1 C2 4 ? C3 ? C3 C2 ?

2 【答案】(1) 90(个) ;(2) . 3
【解析】 试题分析:(1)根据比例计算即可; (2)列举出满足题意的基本事件,根据 古典概型概率的计算公式计算. 试题解析: (I)∵

CC

2 7

2 5

?

9 35
9 . 35
5分

所以,摸 2 次恰好第 2 次中奖的概率为

(Ⅱ) 设“每次同时摸 2 个,恰好中奖”为事件 B,则

a ? 0.33 ,∴ a ? 660 2000 500 ; ? 90 (个) 2000

P( B) ?

1分 2分 4分

2 1 1 C3 ? C3 C4 5 ? 2 C7 7

∵ b ? c ? 2000 ? 673 ? 77 ? 660 ? 90 ? 500 , ∴ 应在 C 组抽取样个数是 360 ?

随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

6分 ,

(II)∵ b ? c ? 500 , b ? 465 , c ? 30 , ∴( b , c )的可能性是(465,35) , (466,34) , (467,33) , (468,32) , (469,31) , (470,30) ,共 6 种. 7分 若测试通过,则 673 ? a ? b ? 2000 ? 90% ? 1800 ,解得 b ? 467 , ( b , c )的可能性是(467,33) , (468,32) , (469,31) , (470,30) ,共 4 种 10 分 通过测试的概率是

5 ? 5 ? 160 P( X ? 1) ? C ? ? ?1 ? ? ? 4 7 ? 7? 7
1 4

3

?5? P( X ? 2) ? C ? ? ?7?
2 4 3 4

2

? 5 ? 600 ? ?1 ? ? ? 4 , 7 ? 7?


2

4 2 ? . 6 3

? 5 ? ? 5 ? 1000 P( X ? 3) ? C ? ? ? ?1 ? ? ? 4 7 ?7? ? 7? 625 4?5? P( X ? 4) ? C4 ? ? ? 4 , 10 分 7 ?7?
4

3

12 分

考点:1.分层抽样;2.古典概型概率的计算. 18.一个口袋中有红球 3 个,白球 4 个.
第 11 页 共 26 页 ◎

第 12 页 共 26 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

a

b

9 6860 ; (Ⅱ) EX ? , 2401 35

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????○????外????○????装????○????订????○????线????○????

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所以随机变量 X 的分布列是 X P 1 2 3 4

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1000 625 4 74 7 160 600 1000 625 6860 随机变量 X 的数学期望 EX ? 1? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? . 7 7 7 7 2401
14 分 考点:组合公式、概率,分布列,期望 19.某校高三有甲、乙两个班,在某次数学测试中,每班各抽取 5 份试卷, 所抽取的平均得分相等(测试满分为 100 分) ,成绩统计用茎叶图表示如下: 甲 乙 9 8 2 1 0 8 9 4

160 74

600 74

a?3 解 得 4分 ( 2)从甲班的 5 份试卷中任取 2 份的所有结果有: ( 88,89 ) , ( 88,90 ) , (88,91) , (88,92) , (89,90) , ( 89,91 ),( 89,92 ),( 90,91 ),( 90,92 ),( 91,92 ) 6分 共 10 种 7分
其中至多有一份得分在 ?80,90? 之间的所有结果有: ( 88,91 ) , ( 88,92 ) , ( 89,91 ),( 89,92 ),( 90,91 ),( 90,92 ),( 91,92 ) 9分 共 7 种 10 分 所 以 在 抽 取 的 样 品 中 , 至 多 有 一 份 得 分 在 ?80,90? 之 间 的 概 率 P ? 11 分 答 : 在 抽 取 的 样 品 中 , 至 多 有 一 份 得 分 在 ?80,90? 之 间 的 概 率 P ?

a

8 9 6

(1)求 a ; (2)学校从甲班的 5 份试卷中任取两份作进一步分析,在抽取的两份样品 中,求至多有一份得分在 ?80,90? 之间的概率. 【答案】(1) a ? 3 (2) P ? 【解析】

7 10 7 10

7 . 10

试题分析:(1)平均数公式为 x ?

?x
i ?1

n

12 分 考点:等可能事件,茎叶图. 20.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所科研单位 A、B、C 的相 关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) : ; (2)列举出从甲班的 5 份试卷中任 科研单位 A B C 相关人数 16 12 8 抽取人数

i

n

x
3

?80,90? 之间的结果 7 种,则概率为 取 2 份的结果 10 种,至多有一份得分在
P?


y

7 . 10
题 解 析 : ( 1 ) 依 题 意 2分


(1)确定 x 与 y 的值; 得 (2)若从科研单位 A、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自科 研单位 A 的概率. 【答案】 (1) x ? 4 , y ? 2 ; (2)
第 14 页 共 26 页

88 ? 89 ? 90 ? 91 ? 92 84 ? 88 ? 89 ? (90 ? a) ? 96 ? 5 5

2 . 5

第 13 页 共 26 页

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【解析】 试题分析: (1)根据分层抽样的特点列式求 x 与 y 的值; (2)先将科研单位

A 、C 中抽取的人用不同的符号进行表示,然后利用列举法将总事件中的基
本事件以及问题中所考查事件的基本事件列举出来,然后利用古典概型的概 率计算公式计算出来即可. 试题解析: (1)依题意得,

(2)记从科研单位 A 抽取的 4 人为 a1 , a2 , a3 , a4 ,从科研单位 C 抽取的 2 人 为 c1 , c2 ,则从科研单位 A、C 抽取的 6 人中选 2 人作专题发言的基本事件有:

所以 P(A)=

{a1, a2},{a1 , a3},{a1 , a4},{a1 , c1},{a1, c2}, {a2 , a3},{a2 , a4},{a2 , c1},{a2 , c2}, {a3 , a4},{a3 , c1},{a3 , c2},{a4 , c1},{a4 , c2},{c1, c2}, 共 15 种.
记“选中的 2 人都来自科研单位 A”为事件 M ,则事件 M 包含的基本事件 有:

3 . 4

6分

(2)设 B 表示事件“至少一次抽到 2”, 每次抽 1 张,连续抽取两张全部可能的结果有: (1、1) (1、2) (1、3) (1、 4) (2、1) ( 2 、 2) (2、3) ( 2 、4 ) (3、1) (3、2) (3、3) ( 3、 4) (4、1) (4、2) (4、3) (4、4) , 共 16 个. 8分 事件 B 包含的结果有(1、2) (2、1) (2、2) (2、3) (2、4) (3、2) (4、2) , 共 7 个. 10 分 所以所求事件的概率为 P(B)=

{a1, a2},{a1, a3},{a1, a4},{a2 , a3},{a2 , a4},{a3 , a4}, 共 6 种.
6 2 2 ? .所以选中的 2 人都来自科研单位 A 的概率为 . 则 P(M ) ? 15 5 5
考点:分层抽样、古典概型 21. (12 分)一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分 别是 1、2、3、4,现从盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次从中随机抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于或等于 7 的 概率; (Ⅱ)若第一次随机抽取 1 张卡片,放回后 再随机抽取 1 张卡片,求两次抽取 ... 的卡片中至少一次抽到数字 2 的概率. 【答案】(Ⅰ)

7 . 16

12 分

考点:1.随机事件的概率;2.古典概型. 22.某经销商试销 A、B 两种商品一个月(30 天)的记录如下: 日销售量(件) 商品 A 的频数 商品 B 的频数 0 2 4 1 5 4 2 7 6 3 7 8

4 5 5

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

x 3 y ? ? ,解得 x ? 4 , y ? 2 . 16 12 8

【解析】 试题分析:(Ⅰ)写出任取三张的所有可能的结果,然后找出数字之和大于或 等于 2 的结果,最后根据随机事件的概率公式求解即可.(Ⅱ)写出每次抽 1 张,连续抽取两张所有可能的结果,然后找出含有数字 2 的所有结果,最后 根据随机事件的概率公式求解即可. 试题解析: (1)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于或等于 7”, 任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1、2、3) , (1、2、4) , (1、3、4) , (2、3、4) ,共 4 种 2分 其中数字之和大于或等于 7 的是(1、2、4) , (1、3、4) , (2、3、4) , 共3种 4分

????○????外????○????装????○????订????○????线????○????

5

4

3

3 4

(Ⅱ)

7 16
第 15 页 共 26 页 ◎

若售出每种商品 1 件均获利 40 元,将频率视为概率。 (Ⅰ)求 B 商品日销售量不超过 3 件的概率; (Ⅱ)由于某种原因,该商家决定只选择经销 A、B 商品的一种,你认为应 选择哪种商品,说明理由。

第 16 页 共 26 页

????○????外????○????装????○????订????○????线????○????

????○????内????○????装????○????订????○????线????○????

【答案】 (Ⅰ)

11 15

(Ⅱ)应选择经销商品 A

试题分析: (1)将样本数据取出来,分别记为 x1 , x2 ,?, xn ,然后利用样本 平均数计算公式

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据题意 B 商品日销售量不超过 3 件拆分为 B 商品日销售 量为 0,1,2,3 这四个互斥事件,逐一求出其概率相加就可; (Ⅱ)比较商品 A, B 的日均利润平均值的大小,选平均值较大者. 试题解析: (Ⅰ)记事件“商品 B 日销售量为 i 件”为 Bi,i=0,1,2,3,4, 5. 商品 B 日销售量不超过 3 件的概率为 P=P (B0)+P (B1)+P (B2)+P (B3)=

x?

x1 ? x2 ? ? ? xn 即可计算样本数据的平均数; (2)先将样本视力的平均 n

数对用列举法表示出来,然后在选取符合条件的视力的平均数,最后利用古 典概型的概率计算公式即可计算。 试题解析: (1)高三文科(1)班抽取的 8 名学生视力的平均值为

4 4 6 8 11 + + + = . 30 30 30 30 15

4.4 ? 2 ? 4.6 ? 2 ? 4.8 ? 2 ? 4.9 ? 5.1 ? 4.7 . 8
据此估计高三文科 (1) 班学生视力的平均值约为 4.7 . 分 3

(Ⅱ)商品 A,B 的日均利润平均值分别为

0 ? 2+1? 5+2 ? 7+3 ? 7+4 ? 5+5 ? 4 320 = , 30 3 0 ? 4+1? 4+2 ? 6+3 ? 8+4 ? 5+5 ? 3 =100, x B =40× 30

x A =40×

(2)因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为 4.3 、 4.4 、 4.5 、 4.6 、 4.7 、 4.8 , 所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有 ? 4.3, 4.4? , ? 4.3, 4.5? ,

因为 x A > x B ,所以应经销商品 A. 考点:1、古典概型;2、计算平均值. 23.某校高三学生体检后,为了解高三学生的视力情况,该校从高三六个班 的 300 名学生中以班为单位(每班学生 50 人) ,每班按随机抽样抽取了 8 名 学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的 8 名学生的视力数据与人数见下 表: 视力数据 人数

4.6? , ? 4.3, 4.7 ? , ? 4.3, 4.8? , ? 4.4, 4.5? , ? 4.4, 4.6? , ? 4.4, 4.7 ? , ? 4.4, 4.8? , ? 4.5, 4.6? , ? 4.3, 4.7 ? , ? 4.5, 4.8? , ? 4.5, 4.7 ? , ? 4.6, 4.8? , ? 4.7, 4.8? ,共 15 种情形. ? 4.6,
7

4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 分 2 2 2 1 1

(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值; (2) 已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3 、 若 4.4 、4.5 、4.6 、4.8 . 从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学 生视力的平均值之差的绝对值不小 于 .. .0.2 的概率. 【答案】 (1) 4.7 ; (2) 【解析】
第 17 页 共 26 页 ◎

其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于

0.2 的 有

, 4.? 5, ? 4.3, 4.6? , ? 4.3, 4.7 ? , ? 4. 3 4.8? , ? 4.4, 4.6? , ? 4.4, 4.7 ? , ? 4.4, 4.8? , ? 4.5, 4.7 ? , ? 4.5, 4.8? , ? 4.3, 4.8? ,共 10 种. ? 4.6,
第 18 页 共 26 页

2 . 3

????○????内????○????装????○????订????○????线????○????

10 分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的概率为

因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为

P 1 ?

3 1 ? 6 2.

6分

10 2 = . 15 3

12 分

24.某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及 体重指标(单位:千克/米 )如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9
2

(1) 从该小组身高低于 1. 80 的同学中任选 2 人, 求选到的 2 人身高都在 1. 78 以下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体 重指标都在[18.5,23.9)中的概率.

概率为

P2 ?

3 10 .

12 分

P?
【答案】 (1)

1 3 P? 10 . 2 ;(2)

考点:1.列举法表示基本事件;2.古典概型概率求法 25. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生, 将其数学成绩(均 为整数)分成六组[90,100),[100,110), [140,150)后得到如下部分频率分 布直方图.观察图形的信息,回答下列问题.

【解析】 试题分析:这是一个古典概型题目(1) 、 (2)先用列举法写出总的事件情况

m 个,再写出满足条件的子事件的情况 n 个,由

P?

n m 求解
(Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率; (Ⅱ)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中 点值为 100+110 = 105) 作为这组数据的平均分,据此估计本次考试的平均 2

试题解析: (1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组 成的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能 的. 4分 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个.
第 19 页 共 26 页 ◎

分; (Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段
第 20 页 共 26 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

考点:样本的平均数计算,古典概型的概率计算

(2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A, B),(A,C),(A,D), (A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能 的. 10 分 选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有: (C,D),(C,E),(D,E),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的

????○????外????○????装????○????订????○????线????○????

????○????外????○????装????○????订????○????线????○????

????○????内????○????装????○????订????○????线????○????

[120,130)内的概率.

3 【答案】 (Ⅰ)0.3; (Ⅱ)121; (Ⅲ) . 5
【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用频率的和为 1 进行求解; (Ⅱ)利用平均分的计算公式 求解; (Ⅲ)首先利用分层抽样的原理确定抽取各段人数,然后利用古典概 型的公式求解满足条件的概率. 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) 分 数 在 [120,130) 内 的 频 率 为

(m ,n), (m ,a), (m ,b), (m ,c), (m ,d ),, (n a),, (n b),, (n c) , (n,d ) 共 9
种 11 分 ∴ .

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

P ? A? ?

9 3 ? 15 5

.

1 ? (0.1 ? 0.15 ? 0.15 ? 0.25 ? 0.05) ? 1 ? 0.7 ? 0.3 ;
2分 (Ⅱ)估计平均分为

x ? 95 ? 0.1 ? 105 ? 0.15 ? 115 ? 0.15+ 125 ? 0.3+ 135 ? 0.25 ? 145 ? 0.05 ? 121
. 5分 (Ⅲ)由题意,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人).[120,130)分 数 段 的 人 数 为 60×0.3 = 18( 人 ) . 7分 ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样 本, ∴ 需 在 [110,120) 分 数 段 内 抽 取 2 人 , 并 分 别 记 为 m 、 n ; 8分 在 [120,130) 分 数 段 内 抽 取 4 人 , 并 分 别 记 为 a 、 b 、 c 、 d ; 9分 设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A,则基 本事件共有 ( m,n) ,

12 分 考点:1.频率分布直方图;2.平均数的估算;3.古典概型. 26.甲、乙两个盒子中各有 3 个球,其中甲盒中有 2 个黑球 1 个白球,乙盒 中有 1 个黑球 2 个白球,所有球之间只有颜色区别. (Ⅰ)若从甲、乙两个盒子中各取一个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率; (Ⅱ)将这两个盒子中的球混合在一起,从中任取 2 个, 求取出的 2 个球 中至少有一个黑球的概率. 【答案】(1)

4 4 ;(2) 9 5

【解析】 试题分析: (Ⅰ)列出所有可能结果计算符合条件的结果数 . (Ⅱ)列出所 有基本事件可能结果,计算符合条件的事件结果数. 试题解析:将甲盒中的 2 个黑球 1 个白球分别记为 A1 , A2 , B1 ; 乙 盒 子 中 的 1 个 黑 球 2 个 白 球 分 别 记 为 A3 , B2 , B3 .

1分 (Ⅰ) “从甲、乙两个盒子中各取一个球”的基本事件有:

( A1, A3 ) ( A1, B2 ) ( A1, B3 ) ( A2 , A3 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( B1, A3 ) ( B1, B2 ) ( B1, B3 ) ,共 9 个.
3分

(m ,a), ?, (m ,d ),, (n a), ?,, (n d ),, (a b), ?,, (c d )
种. 则 事 件 10 分 A 包 含 的 基 本 事



15

记 取 出 的 2 个 球 颜色 相同 为 事 件 M , 则 事件 M 包 含 的 基 本 事 件 有:

( A1, A3 )
件 有


( A2 , A3 )

( B1, B2 )

( B1, B3 )





4



.

5分
第 22 页 共 26 页

第 21 页 共 26 页

????○????内????○????装????○????订????○????线????○????

? P(M ) ?

4 . 9
6

6

甲 8 2 2 11 12 8



分 ( Ⅱ )“ 从

个 球 中 任 取 两 个 球 ” 的 基 本 事 件 有 :

7 △ 0

0 4 6 8 2 5 1

( A1, A2 ) ( A1, A3 ) ( A1, B1 ) ( A1, B2 ) ( A1, B3 )
( A2 , A3 ) ( A2 , B1 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( A3 , B1 ) ( A3 , B2 ) ( A3 , B3 ) ( B1, B2 )

3 1 13 14

( B1, B3 ) ( B2 , B3 ) ,
共 15 个 . 8分 设“取出的 2 个球中至少有一个黑球”为事件 N,则事件 N 包含的基本事件 有 :

【答案】 (1)3; (2) . 【解析】 试题分析: (1)根据平均数概念,求出污损不清的数字; (2)先选出甲乙两 班分数在 130 分以上的学生共有 5 人,甲班 2 人,乙班 3 人,从 5 人中抽取 2 人共有 10 种取法, 不在同一个班的学生的取法有 6 种, 则最后的概率为

3 5

( A1, A2 ) ( A1, A3 ) ( A1, B1 ) ( A1, B2 ) ( A1, B3 ) ( A2 , A3 ) ( A2 , B1 ) ( A2 , B2 )
( A2 , B3 )
10 分

6 . 10

试题解析: (1)设污损不清的数字为 x ,由平均数的概念得

( A3 , B1 )
12 4 ? . 15 5

( A3 , B2 )

( A3 , B3 )



12



.

? P( N ) ?

12 分

(也可用间接法) 考点:概率的概念及分类讨论方法. 27.某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩 110 分以上的同学中各随机抽 取 8 人,将这 16 人的数学成绩编成如下茎叶图. (Ⅰ)茎叶图中有一个数据污损不清(用△表示) ,若甲班抽出来的同学平 均成绩为 122 分,试推算这个污损的数据是多少? (Ⅱ)现要从成绩在 130 分以上的 5 位同学中选 2 位作数学学习方法介绍, 请将所有可能的结果列举出来,并求选出的两位同学不在同一个班的概率.

[110 ? 3 ? 120 ? 3 ? 130 ? 2] ? 2 ? 2 ? 8 ? 0 ? x ? 7 ? 1 ? 3 ? 122 , 解 得 8 x ? 3. (2)依据题意,甲班 130 分以上的有 2 人,编号为 A , B ,乙班 130 分以 上的有 3 人,编号为 c 、 d 、 e ,从 5 位同学中任选 2 人,所有的情况列举如 下: AB , Ac , Ad , Ae , Bc , Bd , Be , cd , ce , de 共 10 种结果 其中两位同学不在同一班的有 Ac , Ad , Ae , Bc , Bd , Be 共 6 种 x?
所以所求概率为

6 3 ? . 10 5

考点:对茎叶图的理解,平均数,古典概型的求解. 28.现有一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 7 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 7 的概率是多少? 【答案】一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次的不同情况有 36 种,其中向
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????○????外????○????装????○????订????○????线????○????

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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上的点数之和为 7 的结果有 6 种;向上的点数之和为 7 的概率为

1 。 6

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【解析】 试题分析: (1)一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次的不同情况如下: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) , 共有 36 种不同结果。 (2)其中向上的点数之和为 7 的结果有: (1,6) , (6,1) , (2,5) , (5,2) , (3,4) , (4,3)共 6 种 (3)向上的点数之和为 7 的概率为 P ?

6 1 ? 36 6 1 。 6

答:一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次的不同情况有 36 种,其中向上的 点数之和为 7 的结果有 6 种;向上的点数之和为 7 的概率为

考点:古典概型概率的计算 点评:中档题,古典概型概率的计算问题,关键是计算事件数。为防止重复 或遗漏,常常利用“树图法”或“坐标法” 。

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