9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:导数及其应用



山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数
一、选择题 1、(德州市 2016 届高三上学期期末) f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f '(?1) ? 3 ,则函数在 x ? ?1 处的切线方程为 A. y ? 3 x ? 5 B. y ? 3 x ? 5 C. y ? ?3x ? 5 D. y ? ?3x ? 5

2 、 ( 济 南 市 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f ? ? x ? ? ?2 , 则 不 等 式
2 f ? x?1? ? x 3 ? 1? 2 x ? 的解集是 ? 3 ? 2 l n?x ?

A. ? 0, ?

? ?

1? e?

B.

? 0,1?

C. ?1, ?? ?

D.

?e, ???
[

3、(济宁市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,且 f ' ( x) ? 3 f ( x) ,则 tan 2 x 的值是( ) A. ?

4 3

B.

4 3

C. ?

3 4

D.

3 4

4、(胶州市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? = 图象大致是

1 2 x ? cos x , f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的 4

5、(临沂市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? 值,满足 x1 ? ? ?1,0? , x2 ? ? 0,1? ,则 A. ? 0, 2 ? B. ?1,3? C.

1 3 1 2 x ? ax ? bx ? c 在 x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小 3 2

a ? 2b ? 4 的取值范围是 a?2
D. ?1,3?

?0,3?

6、(青岛市 2016 届高三上学期期末)若 a , b 在区间 ?0, 3 ? 上取值,则函数 f ? x ? ?

?

?

1 3 1 ax ? bx 2 ? ax 在 R 上有两 3 4

个相异极值点的概率是 A.

1 4

B. 1 ?

3 2

C.

3 4

D.

3 2

7、(泰安市 2016 届高三上学期期末)设 f ? x ? 在定义域内可导,其图象如右图所示,则导函数 f ? ? x ? 的图象可能 是

8、(威海市 2016 届高三上学期期末)设函数 f ? x ? ? 2 ln x ?

1 2 mx ? nx ,若 x ? 2是f ? x ? 的极大值点,则 m 的取 2
1

值范围为 A. ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

B. ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

C.

?0, ???

D. ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ?

? ?

1? 2?

9、 (潍坊市 2016 届高三上学期期末)若函数 f ? x ? ? 是 A.

x?a 在区间( ??, 2 )上为单调递增函数,则实数 a 的取值范围 ex
D.

?0, ???

B.

? 0, e?

C.

? ??, ?1?

? ??, ?e?

10、(烟台市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? x2e x ,当 x ?? ?1,1? 时,不等式 f ? x ? ? m 恒成立,则实 数 m 的取值范围为 A. ? , ?? ? ?e ? 参考答案 1、A 2、B 3、 A 详细分析: 因为 f ' ( x) ? cosx? sinx ? 3sinx? 3cos x , 所以 tan x ? ?
[

?1

?

B. ? , ?? ?

?1 ?e

? ?

C.

?e, ?? ?

D.

?e, ???

1 2 tan x ?1 4 , 所以 tan 2 x ? ? ?? , 2 2 1 ? tan x 1 ? 1 3 4

故选 A. 4、A 5、B 二、填空题

6、C

7、B

8、A

9、C

10、D

1 、 ( 滨 州 市 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 设 函 数 f ( x) ?

x , f '(x ) 为 f ( x ) 的 导 函 数 , 定 义 f1 ( x) ? f '( x ), ex 1? x x?2 3? x f 2 ( x) ? f1 '( x) ,…, f n?1 ( x) ? f n '( x) (n ? N *) ,经计算: f1 ( x ) ? x , f 2 ( x) ? x , f3 ( x) ? x ,…,根 e e e

据以上事实,由归纳推理可得:当 n ? N * 时, fn ( x) ? 2、(胶州市 2016 届高三上学期期末)一位数学老师希望找到一个函数 y ? f ? x ? ,其导函数 f ? ? x ? = ln x ,请您帮 助他找一个这样的函数 参考答案 .(写出表达式即可,不需写定义域)

1、 2、 f ( x) ? x ln x ? x ? C (C ? R) 三、解答题 1、(滨州市 2016 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ,其中 a ? 0。 2

(I)若曲线 y ? f ( x ) 在点(1,f(1))处的切线方程为 y ? 2 x ? b ,求 a ? 2b 的值; (II)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
2 (III)设函数 g ( x) ? x ? 3x ? 3 ,如果对于任意的 x, t ? (0,1] ,都有 f ( x ) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2

2、(德州市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax2 ? x(a ? R) . (I)当 a ?

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 4

(II)若对任意实数 b ? (1, 2), 当 x ? (? 1 , ] b 时,函数 f ( x) 的最大值为 f (b) ,求 a 的取值范围. (备注:ln2≈0.69)

3、(菏泽市 2016 届高三上学期期末) 已知函数 f ? x ? =

2 ? a ln x ? 2 ? a ? 0 ? . x

(1)若曲线 y=f ? x ? 在点 P 1 ,f ?1? 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y=f ? x ? 的单调区间; (2)若对于 ?x ? ? 0, ??? 都有 f ? x ? ? 2 ? a ?1? 成立,试求 a 的取值范围;
?1, (3)记 g ? x ? ? f ?x ? ? x ?b ?b ?R ? . ,当 a ? 1 时,函数 g ? x ? 在区间 ? ?e e ? ? 上有两个零点,求实数 b 的取值范围.

?

?

4、(济南市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? ln x ? (I) a ? 1 时,求函数 y ? f ? x ? 的零点个数;

1 2 ax ? ? a ? 1? x ? a ? R ? . 2

(II)当 a ? 0 时,若函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最小值为 ?2 ,求 a 的值; (III)若关于 x 的方程 f ? x ? ?

1 2 ax 有两个不同实根 x1 , x2 ,求实数 a 的取值范围并证明: x1 ? x2 ? e2 . 2

5、(济宁市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? ?2a ln x ? 2 ? a ?1? x ? x (1)若函数 f ? x ? 的图象在点 2, f ? 2? 处的切线与 x 轴平行,求实数 a 的值; (2)讨论 f ? x ? 的单调性; (3)若 f ? x ? ? ?x ? 2ax ? b 恒成立,求实数 a ? b 的最大值.
2

2

? a ? 0? .

?

?

3

6、(胶州市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? = x 2 -3 x ? 3 e x 的定义域为 ? -2,t ? ,设 f ? -2 ? =m,f ? t ? ? n . (Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ? x ? 在 ? -2,t ? 上为单调函数; (Ⅱ)求证: m ? n ; (Ⅲ) 若不等式

?

?

f ? x? 14 求的最大值, 并证明 ln x ? (解 ? 7 x ? 2 ? k ? x ln x ? 1? ? k 为正整数 ? 对任意正实数恒成立, . x e 9

答过程可参考使用以下数据 ln 7 ? 1.95, ln 8 ? 2.08 )

7、(莱芜市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ln x, a ? R . (I)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)设 g ? x ? ?

f ? x? ,若函数 g ? x ? 在?1, ??? 上为减函数,求实数 a 的最小值; ln x

2 (III)在区间 ? ? e, e ? ? 上,若存在 x0 ,使得 g ? x0 ? ? g? ? x ?max ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

8、(临沂市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? (1)求函数 f ? x ? 的解+析+式;

ax ? b ? ?1,f ? ?1? ? 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 . x2 ? 1

(2)设 g ? x ? ? ln x ,当 x ??1, ?? ? 时,求证: g ? x ? ? f ? x ? ; (3)已知 0 ? a ? b ,求证:

ln b ? ln a 2a ? 2 . b?a a ? b2

9、(青岛市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x ? bx (a 为实常数).
2

(I)若 a ? ?2, b ? ?3,求f ? x ? 的单调区间; (II)若 b ? 0,且a ? ?2e ,求函数 f ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值及相应的 x 值;
2

(III)设 b=0,若存在 x ??1, e? ,使得 f ? x ? ? ? a ? 2? x 成立,求实数 a 的取值范围.

4

10、(泰安市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax 在点 t , f ? t ? 处切线方程为 y ? 2 x ? 1 (I)求 a 的值 (II)若 ?

?

?

1 ? 3? ? k ? 2 ,证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? k ?1 ? ? ? x ? 1 2 ? x?
f ? x0 ?1? ? 2 x0 ?1

(III)对于在 ? 0,1? 中的任意一个常数 b,是否存在正数 x0 ,使得: e

?

b 2 x0 ? 1 2

11、(威海市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? ex ? ax . (I)若 f ? x ? 在x ? 0 处的切线过点 ? 2, ?1? ,求 a 的值; (II)讨论函数 f ? x ? 在?1 , ? ?? 上的单调性; (III)令 a ? 1 ,F ? x ? ? xf ? x ? ? x2 ,若 F ? x1 ? ? F ? x2 ?? x1 ? x2 ? ,证明: x1 ? x2 ? ?2 .

12、(潍坊市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? ln x ? (I)求函数 f ? x ? 在?1 , ? ?? 上的最小值.

a ? a ? 0? . x

(II)若存在三个不同的实数 xi ? i ? 1, 2,3? ,满足方程 f ? x ? ? ax .

? a 2 ? a3 (i)证明: ?a ? ? 0,1? , f ? ?? ; ? 2? 2
(ii)求实数 a 的取值范围及 x1 ? x2 ? x3 的值.

13 、 ( 烟 台 市 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? e ( e 为 自 然 对 数 的 底 数 , e=2.71828 … ) ,
x

g ? x? ?

a x? b , b ? ? R . ? a 2 a ,求 h ? x ? 在?0, 1? 上的最大值 ? ? a ? 的表达式; 2

(1)若 h ? x ? ? f ? x ? g ? x ? , b ? 1 ?

(2)若 a ? 4 时,方程 f ? x ? ? g ? x ? 在?0, 2? 上恰有两个相异实根,求实数 b 的取值范围; (3)若 b ? ?

15 , a ? N ? ,求使 f ? x ? 的图象恒在 g ? x ? 图象上方的最大正整数 a. 2

5

4 4 14、(枣庄市 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? x ln x ? a x ? 1 , a ? R .

?

?

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)若当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) f ? x ? 的极小值为 ? ? a ? ,当 a ? 0 时,求证: ? e

?

?

1? 4?

1?

1 4a

? ? e 4 a ?1 ? ? ? ? a ? ? 0 .( e ? 2.71828 ? ? ? 为自然对数的底) ?

参考答案 1、

6

2、

7

3、详细分析: (Ⅰ)直线 y ? x ? 2 的斜率为 1.函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 因为 f ?( x) ? ?

2 a 2 2 a x?2 ? ,所以 f ?(1) ? ? 2 ? ? ?1 ,所以 a ? 1 .所以 f ( x) ? ? ln x ? 2 . f ?( x) ? 2 . 2 1 1 x x x x

? ? 由 f ( x) ? 0 解得 x ? 2 ;由 f ( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 .
所以 f ( x ) 的单调增区间是 (2, ??) ,单调减区间是 (0, 2) . ……………………………3 分

2 a ax ? 2 f ?( x) ? 0 解得 x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 ? ? , 由 . 2 2 x x x a a 2 2 所以 f ( x ) 在区间 ( , ? ?) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减. a a 2 2 所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 取得最小值, ymin ? f ( ) . a a 2 因为对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,所以 f ( ) ? 2( a ? 1) 即可. a 2 2 2 2 2 则 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) .由 a ln ? a 解得 0 ? a ? . 所以 a 的取值范围是 (0, ) . ……………8 分 2 a e e a a
(Ⅱ) f ?( x) ? ? (Ⅲ)依题得 g ( x) ?

x2 ? x ? 2 2 ? ln x ? x ? 2 ? b ,则 g ?( x) ? . x x2

? ? 由 g ( x) ? 0 解得 x ? 1 ;由 g ( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 .
所以函数 g ( x) 在区间 (0, 1) 为减函数,在区间 (1, ? ?) 为增函数.……………………10 分

? g (e ?1 ) ≥ 0, ? 又因为函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,所以 ? g (e) ≥ 0, ? g (1) ? 0. ?
?1

解得 1 ? b ≤

2 2 ? e ? 1 . 所以 b 的取值范围是 (1, ? e ? 1] . ………………………13 分 e e
2

? x ?1? ? 0 . 1 1 4、解:(I)当 a ? 1 时 f ( x) ? ln x ? x 2 ? 2 x, f '( x) ? ? x ? 2 ? 2 x x
所以函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增;………………2 分

3 ? 0, f ? 4 ? ? ln 4 ? 0 又因为 .所以函数 y ? f ( x) 有且只有一个零点………3 分 2 1 2 (0, ? ?) (II)函数 f ( x ) ? ln x ? ax ? ( a ? 1) x 的定义域是 . 2 f (1) ? ?
当 a ? 0 时, f '( x) ?

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? ax ? (a ? 1) ? ( x ? 0) x x ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ( x ? 1)(ax ? 1) ? ? 0, x x
所以 x ? 1 或 x ?

令 f ' ( x) ? 0 ,即 f '( x) ?

1 .………………4 分 a

8

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a 1 所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ? a ? 1 ? ?2 ,解得 a ? 2 ;…………5 分 2 1 1 1 1 1 ? 1令 ? 1 ? ?2 , 即 l n a ? 当 1 ? ? e , 即 ? a ? 1 时 , f ( x) 在 ?1, e? 上 的 最 小 值 是 f ( ) ? ? ln a ? a 2a a 2a e 1 1 1 2a ? 1 1 ' h(a ) ? ln a ? ? ? 0, 可得 , a ? , h (a) ? ? 2 2 2a a 2a 2a 2
当0 ?

1 e 1 ?1 1? ?1 ? ? h ? a ? 在 ? , ? 单调递减,在 ? ,1? 单调递增;而 h( ) ? ?1 ? ? 1 , h(1) ? ? 1 ,不合题意;……7 分 e 2 2 ?e 2? ?2 ?

1 1 ? e 即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 ?1, e? 上单调递减, e a 6 ? 2e 1 2 ? 0, 所以 f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值是 f (e) ? 1 ? ae ? (a ? 1)e ? ?2 ,解得 a ? 2e ? e 2 2 不合题意 综上可得 a ? 2 . …………8 分 1 2 ln x (III) 因为方程 f ? x ? ? ax 有两个不同实根 x1 , x2 ,即 ln x ? ? a ?1? x ? 0 有两个不同实根 x1 , x2 ,得 a ? 1 ? , 2 x ln x ' 1 ? ln x ln x ,? ? x ? ? ?? ? x ? ? 令? ? x? ? 在 ? 0, e ? 上单调递增, ? e, ??? 上单调递减 2 x x x ln x 1 取得最大值 ,………………………9 分 ? x ? e 时,?? ? x ? ? x e
当 由 ? ?1? ? 0 ,得当 x ? ? 0,1? 时, ? ? x ? ? 0 ,而当 x ? ?1, ?? ? , ? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 图像如下 ∴ a ? 1? ? 0, ? 即当 ?1 ? a ?

? ?

1? e?

1 1 ? 1 时 f ? x ? ? ax 2 有两个不同实根 x1 , x2 ……10 分 e 2

满足 ln x1 ? ? a ? 1? x1 , ln x2 ? ? a ? 1? x2 两式相加得: ln x1x2 ? ? a ?1?? x1 ? x2 ? ,两式相减地 ln

x2 ? ? a ? 1?? x2 ? x1 ? x1

?

ln x1 x2 x1 ? x2 x ? x2 x .不妨设 x1 ? x2 ,要证 x1 ? x2 ? e2 ,只需证 ln x1 x2 ? 1 ? ? ln 2 ? 2 , x x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ln 2 x1

?x ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? t ? 1? 2 ? x2 ? x1 ? x 4 x x ? ln t ? ? 2 ,………12 分 即证 ln 2 ? ? ? 1 ? ,设 t ? 2 ? t ? 1? ,令 F ? t ? ? ln t ? x2 1 ? t t ? 1 x x1 x1 ? x2 1 1? x1

? t ? 1? ? 0 ,∴函数 1 4 ' ? 则 F ?t ? ? ? F ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,而 F ?1? ? 0 . 2 2 t ? t ? 1? t ? t ? 1?
2

∴ F ? t ? ? 0 ,即 ln t ? 5、

2 ? t ? 1? .? x1 ? x2 ? e2 .………………………14 分 1? t

9

6、解:(Ⅰ)因为 f ?( x) ? ( x ? 3 x ? 3) ? e ? (2 x ? 3) ? e ? x( x ? 1) ? e
2 x x

x

………………1 分

令 f ?( x) ? 0 ,得: x ? 1 或 x ? 0 ;令 f ?( x) ? 0 ,得: 0 ? x ? 1 所以 f ( x) 在 (??, 0), (1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减………………………………3 分 要使 f ( x) 在 [ ?2, t ] 为单调函数,则 ?2 ? t ? 0 所以 t 的取值范围为 (?2, 0] ……………4 分

(Ⅱ)证:因为 f ( x) 在 (??, 0), (1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减,所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 e 又 f (?2) ?

13 ? e ,所以 f ( x) 在 [?2, ??) 的最小值为 f (?2) ………………………6 分 e2

从而当 t ? ?2 时, f (?2) ? f (t ) ,即 m ? n ………………………………………8 分

f ( x) k ?1 ? 7 x ? 2 ? k ( x ln x ? 1) 等价于 x 2 ? 4 x ? 1 ? k ( x ln x ? 1) 即 x ? ? 4 ? k ln x ? 0 …………9 分 x e x k ?1 k ? 1 k ( x ? 1)( x ? k ? 1) 记 g ( x) ? x ? , ? 4 ? k ln x , 则 g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x x2
(Ⅲ) 由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? k ? 1 , 所以 g ( x) 在 (0, k ? 1) 上单调递减,在 (k ? 1, ??) 上单调递增,
10

所以 g ( x) ? g (k ? 1) ? k ? 6 ? ln(k ? 1) 等价于 k ? 6 ? ln(k ? 1) ? 0 ,即 1 ? 记 h( k ) ? 1 ?

g ( x) ? 0 对任意正实数 x 恒成立,

6 ? ln(k ? 1) , k

6 ? ln(k ? 1) ? 0 ………………………………11 分 k 6 1 则 h( x ) ? ? 2 ? ? 0 , 所以 h( x ) 在 (0, ??) 上单调递减, x x ?1

又 h(6) ? 2 ? ln 7 ? 0 , h(7) ?

13 ? ln 8 ? 0 , 7

所以 k 的最大值为 6 …………12 分

当 k ? 6 时,由 x ? 4 x ? 1 ? 6( x ln x ? 1)
2

令 x ? 3 ,则 ln 3 ?

14 ………14分 9

7、

8、解:(1)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 , ∴ f (?1) ? 化简得 b ? a ? ?4 . f ?( x) ?

b?a ? ?2 ,…………1 分 1?1

2a ? 2(b ? a) 2b b a( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x ? ? ? ?1 , ,……………2 分 f ?(?1) ? 2 2 4 4 2 (1 ? x )

解得: a ? 2, b ? ?2 .∴ f ( x) ? (2)由已知得 ln x ?

2x ? 2 在 [1,?? ) 上恒成立, x2 ?1
2

2x ? 2 . …………4 分 x2 ?1

2 化简 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,?? ) 上恒成立.…………5 分

11

设 h( x) ? x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ? ∵ x ?1 ∴ 2 x ln x ? 0,

1 ? 2 , …………7 分 x

x?

1 ? 2 ,即 h?( x) ? 0 , x

∴ h( x) 在 [1,?? ) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 ,∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成立 .…………10分

b 2 ?2 b b (3)∵ 0 ? a ? b , ∴ ? 1 ,由(Ⅱ)知有 ln ? a , ……12 分 a ( b )2 ? 1 a a ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a 整理得 ,∴当 0 ? a ? b 时, . …………13 分 ? 2 ? 2 2 b?a b?a a ?b a ? b2
9、解:(Ⅰ) a ? ?2, b ? ?3 时, f ( x) ?? 2ln x ? x2 ? 3x ,

2 2 x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 2)(2 x ? 1) ? ? 定义域为 (0, ??) , f ( x) ? ? ? 2 x ? 3 ? x x x
在 (0, ??) 上, f ' (2) ? 0 ,当 x ? (0, 2) 时, f ' ( x) ? 0 当 x ? (2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (2, ??) ;单调减区间为 (0, 2) ………4 分

(Ⅱ)因为 b ? 0 ,所以 f ( x) ? a ln x ? x2

f ?( x) ?

2x2 ? a ( x ? 0) , x ? [1, e] , 2x2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e2 ] x

(i) 若 a ? ?2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2, x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ), 故函数 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数, 此时 [ f ( x)]min ? f (1) ? 1 ………6 分

a a a 2[ x 2 ? (? )] 2( x ? ? )( x ? ? ) 2 2 , x ? [1, e] 2 2 2 ? (ii)若 ?2e ? a ? ?2 , a ? 2 ? 0, a ? 2e ? 0 , f ?( x) ? x x

当x?

?a ?a 2 时, f ?( x) ? 0 , ?2e ? a ? ?2 ,1 ? ?e 2 2 ?a ?a 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 是减函数; 当 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数. 2 2 ?a a a a ) ? ln(? ) ? …………………………9 分 2 2 2 2
2 不等式 f ( x) ? (a ? 2) x ,即 a ln x ? x ? (a ? 2) x

当1 ? x ?

故 [ f ( x)]min ? f (

2 (Ⅲ) b ? 0 , f ( x) ? a ln x ? x

可化为 a( x ? ln x) ? x ? 2x .
2

因为 x ? [1, e] , 所以 ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,

所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 ,因而 a ?

x2 ? 2x ( x ? [1, e] )…………………11 分 x ? ln x
12

x2 ? 2 x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) 令 g ( x) ? ( x ? [1, e] ),又 g ?( x) ? , x ? ln x ( x ? ln x)2
当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x ? 1 时取等号),所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数, 故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以实数 a 的取值范围是 [?1, ??) ……………………14 分 10、

13

11、

14

12、

15

13、

14、.解:(1) f ?( x) ? 4x3 ln x ? x3 ? 4ax3 .………………………………………………1 分 则 f ?(1) ? 1 ? 4a .又 f (1) ? 0 , 所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (1 ? 4a)( x ? 1) .……3 分

(2)解法 1:由(1)得 f ?( x) ? x3 (4ln x ? 1 ? 4a) . ① 当 a?

1 1 时, 时,因为 y ? 4ln x ? 1 ? 4a 为增函数,所以当 x… 4 4ln x ? 1 ? 4a… 4ln1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 4a ? 0 ,因此 f ?( x)… 0. 1 ,且 x ? 1 时等号成立.所以 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数. 4
16

当且仅当 a ?

1 时, f ( x)… f (1) ? 0 . 因此,当 x…

所以, a?

1 满足题意.……………6 分 4
1

② 当a ?

a? 1 1 时,由 f ?( x) ? x3 (4ln x ? 1 ? 4a) ? 0 ,得 ln x ? a ? . 解得 x ? e 4 . 4 4 1

a? 1 1 因为 a ? ,所以 a ? ? 0 ,所以 e 4 ? e0 ? 1. 4 4

当 x ? (1, e

a?

1 4)

时, f ?( x) ? 0 ,因此 f ( x) 在 (1, e
a? 1 4)

a?

1 4 ) 上为减函数.

所以当 x ? (1, e

时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,不合题意.

1 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, ] .………9 分 4

解法 2: f ( x) ? x4 ln x ? a( x4 ? 1)… 0 ? ln x ? a(1 ?

1 )… 0. x4 1 4a x 4 ? 4a 1 令 g ( x) ? ln x ? a(1 ? 4 ) ,则 g ?( x) ? ? 5 ? .…………………………4 分 x x x5 x 1 1 ,得 x4… 1 时, g ?( x )… 0, 1 . 因此,当 x… ① 当 a? 时, 4a? 1 . 由 x… 4
当且仅当 a ?

1 ,且 x ? 1 时等号成立. 4

所以 g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数. 所以, a?

1 时, g ( x)… g (1) ? 0 ,此时 f ( x)… 0. 因此,当 x…

1 满足题意.……7 分 4

② 当a ?

1 时,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 4a ? 1 .当 x ? (1, 4 4a ) 时, g ?( x) ? 0 , 4

因此 g ( x) 在 (1, 4 4a ) 上为减函数.所以,当 x ? (1, 4 4a ) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 .

1 此时 f ( x) ? 0 ,不合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 (??, ] .……………………9 分 4 方法 3:当 x ? 1 时, f (1) ? 0 满足题意.
x 4 ln x .…………………………4 分 x4 ? 1 t ln t 1 令 x 4 ? t ,则 ln x ? ln t , t ? 1 .上述不等式可化为 a? . 4(t ? 1) 4
x ? 1 时, f ( x) ? x4 ln x ? a( x4 ? 1)… 0 ? a?

令 h (t ) ?

t ln t ? ln t ? t ? 1 ,则 a? h(t ) 在 (1, ??) 上恒成立. h?(t ) ? . 4(t ? 1) 4(t ? 1)2

1 令 p(t ) ? ? ln t ? t ? 1 ,则当 t ? 1 时, p?(t ) ? ? ? 1 ? 0 , p (t ) 在 (1, ??) 上为增函数. t 因此,当 t ? 1 时, p(t ) ? p(1) ? 0 . p (t ) ? 0 ,所以 h (t ) 在 (1, ??) 上为增函数.……………6 分 所以,当 t ? 1 时, h?(t ) ? 4(t ? 1) 2
令 q(t ) ? t ln t ,由导数定义得 q?(1) ? lim
t ?1

q(t ) ? q(1) t ln t . ? lim t ? 1 t ?1 t ?1
因此,当 t ? 1 时, h(t ) ?
t ln t 1 恒大于 .…………8 分 4(t ? 1) 4

又 q?(1) ? (t ln t )? |t ?1 ? 1 ,所以 lim

t ln t ?1. t ?1 t ? 1

1 所以,实数 a 的取值范围是 (??, ] .………………………………………………9 分 4
(3) 由 f ?( x) ? x3 (4ln x ? 1 ? 4a) ? 0 ,得 ln x ? a ?
a? 1 ,x?e 4. 4 1

17

当 x ? (0, e

a?

1 4 ) 时, 1 4)

f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( e

a?

1 4,

? ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. 所以 f ( x) 的极

小值 ? (a) ? f (e

a?

1 ? a ? e4a?1 .………………………………10 分 4

由 ? ?(a) ? 1 ? e4a ?1 ? 0 ,得 a ?

1 . 4

1 1 当 a ? (0, ) 时, ? ?(a) ? 0 , ? (a) 为增函数;当 a ? ( , ??) 时, ? ?(a) ? 0 , ? (a) 为减函数. 4 4 1 所以 ? (a)? ? ( )=0 .……………11 分 4

? (a) ? (e

1 4

1?

1 4a

1 1 1? 1 1? ? e4 a ?1 ) ? a ? e4 a ?1 ? (e 4 a ? e4 a ?1 ) ? a ? e 4 a . 4 4 4
1

1

1

1 1? 0. 下证: a ? 0 时, a ? e 4 a … 4
1? 1 1? 1 1 a ? e 4a … 0 ? 4a… e 4 a ? ln(4a)… ? ln(4a) ? 1? ? 1…0 .………………12 分 4 4a 4a
1

1

令 r (a) ? ln(4a) ?

1 1 4a ? 1 1 . ? 1 ,则 r ?(a) ? ? 2 ? 4a a 4a 4a2

1 1 1 当 a ? (0, ) 时, r ?(a) ? 0 , r (a ) 为减函数;当 a ? ( , ??) 时, r ?(a) ? 0 , r (a ) 为增函数 . 所以 r ( a)…r ( )=0 ,即 4 4 4 ln(4a )? 1 ?1 … 0. 4a
1 1 1

1 1? 1 1? 1 1? 0 ,即 ? (a) ? (e 4 a ? e4 a ?1 )… 0. 所以 ? (a)… (e 4 a ? e4 a ?1 ). 所以 a ? e 4 a … 4 4 4

综上所述,要证的不等式成立.……………………………………………………14 分

18



更多相关文章:
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:函数
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:函数_数学_高中教育_教育专区。山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 函数一、选择题 1...
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:函...
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:函数 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类...
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:三...
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:三角函数 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。广东省各地级市2016届高三期末考试理科数学分类 ...
山东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
山东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:函数_数学_初中教育_教育专区。山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 函数 一、选择...
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:立...
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:立体几何 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 ...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学(理科)试题分...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学(理科)试题分类汇编:导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学(理科)分类汇编 ...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用_数学_初中教育_教育专区。广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 导数...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用_高中教育_教育专区。广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 导数及其应用...
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:概...
山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:概率与统计 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图