9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

圆锥曲线定义在高考中的应用



圆锥曲线定义在高考中的应用
一、教学目标 知识与技能 通过对一个习题及其引申问题的求解,使学生掌握利用圆锥曲 线的定义求解有关最值问题的方法. 过程与方法 通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般 方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法,培养 学生思维的深刻性、创造性、科学性与批准性.提高学生分析综合 能力及探索发现能力. 情感、态度、价值观

二、教学重点与难点 巧用圆锥曲线的定义求有关线段长之和的最值既是重点又是难 点. 三、 教学过程 师:我们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的有关概念、标准方程、 图形和性质.现在我想请三位同学分别回忆一下椭圆、双曲线、抛 物线的定义. 生 1:平面内与两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a(2a>|F1F2|)的 动点的轨迹称为椭圆. 生 2:平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数 2a(2a<|F1F2|) 的动点的轨迹称为双曲线.

生 3:平面内与一个定点及一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛 物线. 师:生 1、生 2、生 3 的回答都是正确的.对于圆锥曲线,除了刚才 说的定义以外,还有别的定义方式吗? 生 4:还有第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之 比等于常数 e(e>0)的点的轨迹是椭圆(0<e<1 时)、双曲线(e>1 时)或抛物线(e=1 时). 师:很好!圆锥曲线的定义揭示了圆锥曲线中最原始、最本质的数 量关系,它有着广泛的应用,本节课我们将利用圆锥曲线定义求解 几个最值问题. (板书)例已知动圆 A 过定圆 B:x2+y2+6x-7=0 的 圆心 B,且与定圆 C:x2+y2-6x-55=0 相内切,求△ABC 面积的最大 值. 师:本题欲求结果是什么?据此你联想到些什么? 生 5:求 ABC 的最大面积,应联想:三角形面积公式. 师:请回忆,三角形面积怎样表示? 师:你们准备选用哪一个公式?请简要说明理由. 生 6:选第一个公式.这是因为 B、C 都是定圆圆心,故它们都是定 点,因此 BC 是定长,这样只须求出 BC 边上高的最大值就可以了, 而第二组面积表示式中的 3 个公式中除了 BC 边的长即 a 不变以外, 其余的边和角都在变,不易求面积. 师:有道理,下面我们就按生 6 的方案来求解.关键的问题是 BC 边上的高的最大值怎么求?请大家思考.

生 7:由于圆 A 运动,所以 BC 边上的高随圆 A 的运动而变化,从而 导致△ABC 面积的变化,因此如果先求出 A 的轨迹,那么就不难求 出 BC 边上高的最大值了. 师:(赞许地)很好!那么如何求 A 的轨迹呢? 生 8:(师板书)将两已知圆配方得⊙B:(x+3)2+y2=16. ⊙C:(x-3)2+y2=64.所以 B(-3,0),C(3,0) 师:很好!圆锥曲线的定义揭示了圆锥曲线中最原始、最本质的数 量关系,它有着广泛的应用,本节课我们将利用圆锥曲线定义求解 几个最值问题. (板书)例已知动圆 A 过定圆 B:x2+y2+6x-7=0 的 圆心 B,且与定圆 C:x2+y2-6x-55=0 相内切,求△ABC 面积的最大 值. 师:本题欲求结果是什么?据此你联想到些什么? 生 5:求 ABC 的最大面积,应联想:三角形面积公式. 师:请回 忆,三角形面积怎样表示? 师:你们准备选用哪一个公式?请简要说明理由. 生 6:选第一个公式.这是因为 B、C 都是定圆圆心,故它们都是定 点,因此 BC 是定长,这样只须求出 BC 边上高的最大值就可以了, 而第二组面积表示式中的 3 个公式中除了 BC 边的长即 a 不变以外, 其余的边和角都在变,不易求面积. 师:有道理,下面我们就按生 6 的方案来求解.关键的问题是 BC 边上的高的最大值怎么求?请大家思考. 生 7:由于圆 A 运动,所以 BC 边上的高随圆 A 的运动而变化,从而 导致△ABC 面积的变化,因此如果先求出 A 的轨迹,那么就不难求 出 BC 边上高的最大值了.

师:(赞许地)很好!那么如何求 A 的轨迹呢? 生 8:(师板书)将两已知圆配方得⊙B:(x+3)2+y2=16. ⊙C:(x3)2+y2=64.所以 B(-3,0),C(3,0) ⊙C 的半径 r=8.画出⊙C 与⊙A 相内切的图形(如图 2-64),利用两圆内切的性质及椭圆的定 义可判定 A 的轨迹是椭圆. 师:能说得具体些吗? 生 8:设已知圆 C 与动圆 A 内切于点 P,则 P、A、C 必在同一条直 线上,且|PC|=8. 因为|AP|=|AB|, 所以 |AB|+|AC|=|AP|+|AC|=|PC|=8. 所以点 A 的轨迹是椭圆. 师:生 8 仅根据|AB|+|AC|=8,就判断 A 的轨迹是椭圆,对吗? 生 9:基本正确,但应说明|AB|+|AC|>|BC|. 生 8:对了,|AB|+|AC|=8>6|BC|. 所以,点 A 的轨迹是椭圆. 师:很好!我们已经确认点 A 的轨迹是椭圆,现在该如何确定△ABC 面积的最大值呢? 生 10:当△ABC 的高等于椭圆的短半轴长时,高最大,从而 S△ABC 最大. 师:同学们是否赞同生 10 的判断? 生:??(有的赞同,有的相互小 声议论.) 师:让我们借助于计算机演示一下点 A 的运动过程,请同学们认真 观察 A 运动到什么位置时,△ABC 底边 BC 上的高最大. ⊙C 的半径 r=8.画出⊙C 与⊙A 相内切的图形(如图 2-64),利用两 圆内切的性质及椭圆的定义可判定 A 的轨迹是椭圆. 师:能说得具体些吗?

生 8:设已知圆 C 与动圆 A 内切于点 P,则 P、A、C 必在同一条直 线上,且|PC|=8. 因为|AP|=|AB|, 所以 |AB|+|AC|=|AP|+|AC|=|PC|=8. 所以点 A 的轨迹是椭圆. 师: 生 8 仅根据|AB|+|AC|=8,就判断 A 的轨迹是椭圆,对吗? 生 9: 基本正确,但应说明|AB|+|AC|>|BC|. 生 8:对了,|AB|+|AC|=8>6|BC|. 所以,点 A 的轨迹是椭圆. 师:很好!我们已经确认点 A 的轨迹是椭圆,现在该如何确定△ABC 面积的最大值呢? 生 10:当△ABC 的高等于椭圆的短半轴长时,高最大,从而 S△ABC 最大. 师:同学们是否赞同生 10 的判断? 生:??(有的赞同,有的相互小 声议论.) 师:让我们借助于计算机演示一下点 A 的运动过程,请同学们认真 观察 A 运动到什么位置时,△ABC 底边 BC 上的高最大. 生 12:求最小值问题,确切地说是求动点 A 到两定点 C、M 的距离 之和的最小值. 师:不错!那么如何求|AM|+|AC|的最小值呢? 生:??(似乎一时束 手无策) 师:(启发一下)点 C 在椭圆内,点 A 在椭圆上,那么点 M 相对于椭圆的位置又是怎样的呢? (片刻后) 生 13:我想先求出 Q 的方程,画出 Q 的图形及点 M 位置,如果点 M 在 Q 外,那么由三角形两边之和大于第三边知(|AM|+|AC|)最小 =|MC| 师:生 13 给出了求解问题的基本思路,我们请生 13 具体说 说. 点 M(2,1)在 Q 内(如图 2-66) (|AM|+|AC|)最小=?(一时 语塞).

师:前面生 13 曾经就 M 在 Q 外时由三角形两边之和大于第三边判 定(|AM|+|AC|)最小=|MC|,这里,偏偏点 M 在 Q 内,怎么解决? 生 14:可以利用椭圆定义并结合三角形两边之和大于第三边的结论 来求解.只须连 MB、AB(如图 2-67),那么|BM|+|AM|+|AC|≥ |AB|+|AC|=2a, 生 12:求最小值问题,确切地说是求动点 A 到两定点 C、M 的距离 之和的最小值. 师:不错!那么如何求|AM|+|AC|的最小值呢? 生:??(似乎一时束 手无策) 师:(启发一下)点 C 在椭圆内,点 A 在椭圆上,那么点 M 相对于椭 圆的位置又是怎样的呢? (片刻后) 生 13:我想先求出 Q 的方程,画出 Q 的图形及点 M 位置,如果点 M 在 Q 外,那么由三角形两边之和大于第三边知(|AM|+|AC|)最小 =|MC| 师:生 13 给出了求解问题的基本思路,我们请生 13 具体说 说. 点 M(2,1)在 Q 内(如图 2-66) (|AM|+|AC|)最小=?(一时 语塞). 师:前面生 13 曾经就 M 在 Q 外时由三角形两边之和大于第三边判 定(|AM|+|AC|)最小=|MC|,这里,偏偏点 M 在 Q 内,怎么解决? 生 14:可以利用椭圆定义并结合三角形两边之和大于第三边的结论 来求解.只须连 MB、AB(如图 2-67),那么|BM|+|AM|+|AC|≥ |AB|+|AC|=2a, 生 16:我想是否可以利用椭圆定义并结合三角形两边之差小于第三 不一定出自学习成绩突出者,而常常出自思维活跃且胆大者. ) 师: (欣喜地)能说说你的具体想法吗?

生 16:联想到刚才我们用椭圆定义及三角形两边之和大于第三边求 师:大胆合理的猜想往往是获得重大发现的前奏,同学们不妨都来 猜一猜. 生:(片刻后绝大多数同学)同意生 16 的猜想. 师:那么,就请同学们来验证这个猜想吧!肯定与否都要说明理由. 生 17:如图 2-67, |AM|+|AC|=|AM|+(2a-|AB|)=2a+(|AM||AB|). 因为|AM|-|AB|≤|BM|(当点 A 在 MB 的延长线上时取等号), 师:非常好!生 15 为我们提出了一个值得思考的问题,生 16 通过 联想对问题的解法及结果作出了大胆的猜想,而生 17 从理论上给出 了严格的证明,三位同学相得益彰,使问题的解决一气呵成,我为 同学们祝贺,大家还有新的问题吗? (鼓励学生提出问题,即使是 事先未估计到的问题,并通过大胆地猜想,严格地证明,使问题得 到满意的解决,这对于培养学生的发现能力,创新精神及实事求是 的科学态度无疑是十分有益的.) 生:(互相观望)似乎不再有什么问题. 师:我再提一个问题 有何异同? (一石激起千层浪,学生思维的平湖上又一次

荡起层层波澜.) 生:(议论纷纷) 师:这里的结论与引申 1 作比较 师:还能挖掘出某些相关的因素吗? 生:??(一时想 不出) 师:|AC|是椭圆 Q 上的点 A 到右焦点 C 的距离,它的系数是 离心率的倒数,涉及到焦半径,离心率,你有何新的联想? 生 19: 联想到椭圆第二定义. 师:能具体说说吗? 生 19:??(其余学生似 乎也无从下手) 师:利用椭圆第二定义,除了要有离心率、点 A 的 焦半径以外,还 l 于 D(如图 2-69), (师边叙述边板书) 因此, 问题转化为求|AM|+|AD|的最小值了,这个最小值是什么呢? 生 19: 应当是点 M 到准线 l 的距离 师:涉及到圆锥曲线上的点到焦点 的距离(即焦半径)及离心率问题,联想第二定义是很自然的,这里 不妨再提出一个问题. 引申 3:将例题中的条件改为“动圆 A 与定 圆 B、定圆 C 都内切,且⊙B、⊙C 在⊙A 内. 师:大家见过与本

题相仿的问题吗?能拟出一个大体的求解方案吗? 生 20:第一个问 题与前面的例题类似,只是需要求出 Q 的方程.所以可利用动圆 A 与定圆 B、定圆 C 都内切的性质,或许也要用到圆锥曲线的定义来 求解.求出了 Q 的方程后,第(2)个问题就与引申 2 类似了,我想也 可以利用圆锥曲线的第二定义求解.

师:请同学们一起来评判生 23 的求解是否正确? 生:“正 确”. 师:生 23 的求解既迅速又准确,我们请生 23 说说解法思 路. 生 23:我是与引申 2 的解法作类比而得出上述解法的. 师: 很好,类比的作用是巨大的!生 21、生 22、生 23 三位同学的意见 合起来,就是本题的完整解法.这里,同学们通过联想、类比、猜 测等推理方式,巧用了双曲线的两种定义进行严密推证,使问题的 解决显得那样的明快、简捷.事实上,圆锥曲线定义在求圆锥曲线 的方程、求点的轨迹、求焦点三角形(以椭圆或双曲线上的点 P 及两 个焦点 F1、F2 为顶点的△PF1F2)的面积,求解最值问题等方面都有 着广泛的应用,希望通过今天的学习能引起同学们的重视(代小 结). 作业:(略) 设计说明 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本 质属性,利用圆锥曲线的定义解决有关最值问题是重要的解题策 略.因此选择这一内容作为一节习题课是很有必要的. 21 世纪不 仅是一个高新科技处于伟大变革的新世纪,而且更是一个充满竞争 的新世纪.这种竞争,归根结底是人才的竞争,特别是高素质,开 拓创新型人才的竞争.因此,如何培养跨世纪的高素质人才,怎样 培养学生的开拓创新精神,以适应 21 世纪对人才素质的需求,是我 们值得研究的一个课题.据此制定了教学目标 2,旨在贯彻教学、 学习、发现同步协调原则和既教证明,又教猜想的原则.努力帮助、 引导学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题,培养学生良 好的思维品质,提高学生的能力和素质. 现代教育十分强调课堂教 学中双主作用的发挥,在教师的主导下,如何使学生积极参与教学

的全过程,真正发挥学生的主体作用,培养学生的主体意识,引导 学生大胆、主动地获取知识,这是执教者在进行教学设计时应当注 意的一个问题,教学目标 3 正是基于这样的想法制定的 根据制定的教学目标,本节课按如下 4 个层次逐步深入: (1)求解例 题中由 3 个圆的圆心构成的△ABC 的面积的最大值; (2)对例题进行 引申(引申 1),另给一定点后,求两线段和|AM|+|AC|的最小值; (4)对问题进一步引申(引申 3),修改例题的条件,将问题改为⊙A 与定⊙B、定⊙C 都内切,且⊙B、⊙C 在⊙A 内,求 A 的轨迹 Q 的 方 三角形面积的最值及线段长度的最值是常见的一类最值问题, 具有一定的典型性和代表性,作为习题课,编拟这样的习题作范例 是值得推崇的. 引申 1 中,由条件到结论有一定的跨度.若将引申 1 改为:在例题的条件下,设点 A 的轨迹为 Q,试判断 M(2,1)与 Q 的关系,并求|AM|+|AC|的最小值,则可减小跨度,同时也可使引 申 1 显得更自然些.在利用椭圆定义及“三角形两边之和大于第三 边”求|AM|+|AC|最小值的过程中,原本只能得到|AM|+|AC|>2a|BM|,无法获得最值,因此讨论等号是否可取是必要的.事实上, 当|AM|+|AC|>2a-|BM|时,A 必在 BM 的延长线上,此时,ABM 已 退化为一条段线 AB. 生 15 提出的“|AM|+|AC|是否有最大值”的 问题应当事先有所估计. 生 16 受到引申 1 解法的启示,猜想可利 用椭圆定义及三角形两边之 又将问题进行了严格的推算.所有这 些都是值得赞誉的,由学生发现问题,提出问题(即使是教师事先未 估计到的问题,甚至“一时不能马上解决的“尖锐”的问题),这是 对学生最高层次的要求.在全面推进素质教育的今天,教师应当认 真保护、积极鼓励、大力支持学生求知的欲望,既教证明,又教猜 想,使教学、学习、发现同步协调发展 在教学设计时,教师不但要了解学生已有的知识状况,而且要善于 洞察学生的心理需求,不失时机地向学生播洒“及时雨”.前面的 例题及引申 1 都是椭圆第一定义的应用,学生一个本能的想法就是

能否利用第二定义解决有关问题,引申 2 的提出满足了学生这方面 的心理需求. 波利亚的一般解题方法应当是习题课中处理习题方法 的首选.在学生已经有了成功的解决例题及引申 1 与引申 2 的经验 后,引导学生根据波利亚的一般解题方法拟定求解引申 3 的方案是 十分恰当的.联想、类比、猜测、证明,是数学家探求数学命题的 有效方法,是合情推理与逻辑推理的有机结合,在数学教学中,有 意识地引导学生学习上述两种推理方式,对于学生思维能力、探索 精神的培养有着极大的作用,常此以往,学生的数学素质将会不断 地提高,学生有所发现、有所发明、有所创新的欲望将会更加强烈, 而这正是 21 世纪高素质人才必须具备的重要条件之一. 本教案通 过例题、引申 1、引申 2、引申 3 由浅入深逐步展开,符合学生的认 知规律,符合循序渐进的原则,通过一题多变,层层深入的探索, 通过对猜测结果的检测研究,培养了学生思维的深刻性,创造性, 科学性和批判性,使学生从学会一个问题的求解到学会一类问题的 求解中,领略数学的统一美.



更多相关文章:
圆锥曲线定义在高考中的应用
圆锥曲线定义在高考中的应用一、教学目标 知识与技能 通过对一个习题及其引申问题的求解,使学生掌握利用圆锥曲 线的定义求解有关最值问题的方法. 过程与方法 通过...
2011届高考数学圆锥曲线定义应用
2011届高考数学圆锥曲线定义应用_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。圆锥曲线定义的应用一、基本知识概要 1、 知识精讲: 涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的...
圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线定义的应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线定义的应用四川...应用知识分析问题和解决 问题的能力的好题材, 因而在历年的数学高考中都是重点...
解析高考中的圆锥曲线方程
圆锥曲线基本概念和性质的考查,加强对于分析和解决问题 能力的考查.因此,教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活 应用. 高考...
圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线定义的应用 1、P 为椭圆 22 x2 y2 它到右焦点的距离为 ,则 P 到左准线距离为___. ? ? 1 上的一点, 5 25 16 2、双曲线 x2 y 2 ?圆锥...
高考圆锥曲线题型归类总结
高考圆锥曲线题型归类总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考圆锥曲线题型分类高考圆锥曲线的七种题型 题型一:定义的应用 1、圆锥曲线定义: (1)椭圆 (2)椭...
高考数学圆锥曲线专题复习
(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四.对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 ...
圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用
切点弦定义入手,对圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中常见的曲线的切点弦方程进行证明,再到一般 的圆锥曲线的切点弦方程的结论,以及切点弦方程在近年来高考中的应用...
高中数学 圆锥曲线的统一定义
掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单 应用。...3 两题以椭圆作为背景,这是因为江苏高考对椭圆的要求较高, 对双曲线、抛物线...
更多相关标签:
圆锥曲线定义的应用    圆锥曲线的统一定义    圆锥曲线第二定义    圆锥曲线的第二定义    圆锥曲线统一定义    圆锥曲线定义    圆锥曲线第三定义    圆锥曲线的定义    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图