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【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:1.2.2《充要条件》



1.2 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件

本课件以《三国演义》影片中曹操败走华容道为导入,引 出充分条件、必要条件和充要条件问题,激发学生的学习热 情。由学生自主探究充要条件的概念,通过合作探究,深刻

理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件及既不充
分也不必要条件的判断方法。再从命题或集合的角度来理解

充分条件、必要条件等概念及其相互关系。 本节课要建立充要条件和推出符号的对应关系 ,理清 对应关系后,重点是判断推出符号成立与否。

《三国演义》影片中曹操败走华容道是这样展现的:
曹操投南郡,除华容道外,还有一条便于通行的大路,前者
路险,但近50余里;后者路平,却远50余里,曹操令人上山观 察敌情虚实,回报说:“小路山边有数处起烟,大路并无动 静.”曹操说:“诸葛亮多谋, 却 使人于山僻烧烟,使我军 不敢从这条山路上走,他却伏兵于大路等着,吾已料定,偏 不中他计!”结果致使曹操败走华容道。

曹操败走华容道

请用数学知识解释这种现象,并填空. 影片中“诸葛亮多谋”是“虚则实之,实则虚之”

的 充分

条件,“虚则实之,实则虚之”是“小路山边有烟
条件.即

,而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的 充分

曹操因为诸葛亮多谋是事实,所以必然运用兵法,“虚则实之 ,实则虚之”,而不以调查事实为依据,诸葛亮抓住了曹操的 心理,所以曹操必然兵败.

1
复 习

充要条件的含义 判断充分条件、必要条件的 方法

2
3

从集合的角度理解四种条件关系

充要条件的含义

1.上节课我们学习了充分、必要条件,
若有 p ? q 若有 p ? ? q 则 P是q的充分条件, q是p的必要条件。

则P不是q的充分条件,
q不是p的必要条件。

可以总结为箭头所在为必要,箭尾跟着是充分。

练习1:判断下列各组问题中,p是不是q的充分条件以 及p是不是q的必要条件?

①p: x ? x
p是q的充分条件

? ? ?

q: x 2 ? 0 ;
p不是q的必要条件

? ②p: tan ? ? 1 ? ?
p不是q的充分条件

q: ? ?

?
4



p是q的必要条件

③p: 直线与平面内的两条相交线垂直 ? ? q: 直线与平 面垂直; p是q的充分条件 p是q的必要条件

? q: 函数是奇函数. ④p:函数 f ( x) 满足 f (0) ? 0 ?

? ?

p不是q的充分条件

p不是q的必要条件

1.充要条件:
定义:一般地,如果既有 ,又有 q ? p p?q 我们就说p是q的充分必要条件,简称充要条件, 记作:

p?q

说明: (1)符号“ ? ”称为等价符号, 与“当且仅当”含义相同. (2)若 p ? q,则p与q互为充要条件.

2.命题p与q的条件关系通常有四种

p ?q

p是q的充要条件;
p是q的充分不必要条件;

?q p?
? ? ? q p? ? ? q p? ?

p是q的必要不充分条件;
P是q的既不充分也不必要条件;

学习这四类条件时,一定注意结合逻辑联结 符号的方向理解记忆。

典例展示
例1.下列命题中,哪些p是q的充要条件?

(1)p:b=0,q:函数

是偶函数

由于P ?q,所以P是q的充要条件;

(2)p: x>0,y>0, q:xy>0.
由于P ?q,所以P是q的充分不必要条件;

? ?

(3)p:a>b, q:a+c>b+c.
由于P?q,所以P是q的充要条件;

(4) p: x >1,

? ? q,所以P是q的必要不充分条件。 由于P ?

q: x >4.

练习3:指出下列各组命题中,p是q的什么条件: (1) p:x-1=0;q:(x-1)(x+2)=0.

?q,所以P是q的充分不必要条件; 由于P ? ?
(2) p:两条直线平行;q:内错角相等. 由于P ?q,所以P是q的充要条件; (3) p:a>b;q:a2>b2

? q,所以P是q的既不充分也不必要条件; 由于P ? ?
? ? q,所以P是q的必要不充分条件。 由于P?

?

(4) p:四边形的四条边相等;q:四边形是正四边形.

判断充分条件、必要条件的方法 【1】直接用定义判断

可按以下三个步骤进行:
①确定条件是什么,结论是什么; ②尝试从条件推导结论,从结论推导条件; ③确定条件是结论的什么条件。 若

p ? q ,且 p ? ? q,则p是q的充分不必要条件;
,则p是q的必要不充分条件;

若 p ? q ,且


p ? q ,且 p ? q ,则p是q的充要条件;
,且 p



? ? q,则p是q的既不充分也不必要条件.

【2】利用命题的四种形式进行判定
p是q的充分不必要条件, 原命题为真逆命题为假; p是q的必要不充分条件, 原命题为假逆命题为真; p是q的充要条件, 原命题、逆命题都为真; p是q的既不充分也不必要条件,

原命题、逆命题都为假.

1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 必要而不充分 “a∈N”的____________________ 条件。 x>1 2.x>2的一个必要而不充分条件是_____________ 。 3.条件p:“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”,

条件q:“直线l的斜率为-2”,则p是q的充分而不必要 _____________ 条件。 3 5? 必要而不充分 4. “cos? ? ? ” 是 “ ? ? 2k? ? , k ? Z”的___________ 2 6 条件。
5.设p、r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s 充分 条件, 的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的_______ 充要 条件。 r是t的________

从集合的角度理解四种关系
设p、q对应的集合分别为P、Q.
(1)若p是q的充分不必要条件, 则P ? Q (2)若p是q的必要不充分条件, 则P ? Q 1)
Q P

2)

P

Q

(3)若p是q的充要条件, 则P=Q
(4)若p是q的既不充分也不必要条件,则P 3 )
P =Q P

? ? Q且P ? ?
Q

Q

4)

典例展示
1、已知p:|x+1|>2,q:x2<5x-6,则p是q的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N” 是“x∈M∩N”的( B ) A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要

D.不充分不必要 )

3、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( A
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.-3<a<3

1.在下列电路图中,开关A闭合是灯泡B亮的什么条件:

充分不必要 条件; ⑴如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的______________
⑵如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的______________ 必要不充分 条件;

充要 条件; ⑶如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________
既不充分也不必要 ⑷如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____________________
条件.

2、用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必 要”填空 ⑴若p:∣2x-3∣≤5, q: -1≤x≤4,则p是q的( 充要 条件. ⑵已知 p: 2≤x≤3, q: 0≤x≤5, 则 p是q的 ( 条件,q是p的( 必要不充分 )条件。 ⑶在解析几何中, “两直线斜率相等” 是“两直线平行”的 ( ( 充分不必要 )条件. 必要不充分 )条件. ) )

⑷在空间中, “两直线没有公共点” 是 “两直线平行”的

1.充要条件判断:
如果p ? q,那么p与q互为充要条件。

2.形如“若p,则q ”的命题中存在以下四种关系 : (1)p是q的充分不必要条件

(2)p是q的必要不充分条件
(3)p是q的充分必要条件

(4)p是q的既不充分又不必要条件
3.条件的判断方法: 定义法 集合法 等价法(逆否命题)

课后练习

课后习题



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