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高二数学离散型随机变量的分布列


随机变量:如果随机试验的结果可以用 一个变量来表示,那么这样的变量叫做随 机变量。 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值, 我们可以按一定次序一一列出,这样的随机 变量叫做离散型随机变量。 连续型随机变量:随机变量可以取某一区间 内的一切值,这样的随机变量叫作连续型随 机变量。

抛掷一枚骰子,设得到的点数为ξ,则ξ可 能取的值有:1,2,3,4,5,6.由概率 1 知识可知,ξ取各值的概率都等于
6

ξ

p

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

此表从概率的角度指出了随机变量在随机 试验中取值的分布情况,称为随机变量ξ的 概率分布.

例如:抛掷两枚骰子,点数之和为ξ,则ξ可 能取的值有:2,3,4,……,12. ξ的概率分布为:
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 p 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

例1:一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球, 已知红球的个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个 数的一半,现从该盒中随机取出一球,若取出红球得 1分, 取出绿 球得0分,取出黄球得-1分,试写出从该盒内随 机取出一球所得分数ξ的分布列. 解:设黄球的个数为n,则绿球的个数为2n,红球的个 数为4n,盒中球的个数为7n,所以 2 2n 4n 4 P(ξ=1)= 7 n = 7 ,P(ξ=0)= = , 7 7n

n 1 P(ξ=-1)= 7 n= 7 .
所以从该盒中随机取出一球

ξ P

1

0

-1

所得分数ξ的分布列为:

4 7

2 7

1 7

一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值 为:x1,x2,……,xi,…….ξ取 每一个xi(i=1,2,……)的概率 P(ξ=xi)=Pi,则称表:
ξ


X1
P1

X2
P2




Xi
Pi




为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分 布列.

ξ

X1

X2



Xi





P1

P2



Pi



离散型随机变量的分布列的两个性质: (1)Pi≥0,i=1,2,……; (2)P1+P2+……=1

例2.一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次 分裂为四,如此进行有限多次,而随机终止,设分裂 n 1 次终止的概率是 2 n (n=1,2,3,……)记ξ为原物 体在分裂终止后所生成的子块数目,求P(ξ≤10).

解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的 子块数目ξ的分布列为:

ξ
P

2

4

8

16




2

n




1 2

1 2 2

1 3 2

1 4 2

1 n 2

所以,P(ξ≤10)=P(ξ=2)+P(ξ=4) +P(ξ=8)=
1 1 1 7 ? 2 ? 3 ? 2 8 2 2

在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发 生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ 是一个随机变量.

如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么 在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的 k k n ?k 概率是 Pn (? ? k ) ? Cn p q
(其中k=0,1,2,…,n, q ? 1 ? p) 于是得到随机变量ξ的概率分布如下: ξ P 0 1 … k
k k n?k Cn p q



n
n n 0 Cn p q

0 0 n 1 1 n ?1 Cn p q Cn pq





由于 C p q
n k n k n ?k

k n

k

n ?k

恰好是二项展开式
0 n 0 n 1 1 n ?1 n

(q ? p) ? C p q ? C p q Cpq ??? C p q
n n n 0

???

中的各项的值,所以称这样的随机变量ξ服从 二项分布,记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数, 并记 C k p k q n ?k =b(k;n,p).
n

例3.(2000年高考题)某厂生产电子元件,其产 品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续 取出2件,写出其中次品数ξ的概率分布. 解:依题意,随机变量ξ~B(2,5%).所以,
95 ? 95 ? 1 5 P(ζ? 0)? C ? ? ? 0.095 ? ? 0.9025, P(ζ? 1)? C 2 100 100 ? 100 ?
0 2 2

? 5 ? P(ζ? 2)? C ? ? ? 0.0025 ? 100 ?
2 2

2

因此,次品数ξ的概率分布是 ξ P 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025

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例4.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数 记为ξ,求P(ξ>3). 1 解:依题意,随机变量ξ~B (5, ) 6 25 4 1 4 5 所以P(ζ? 4)? C 5( ) ? ? , 6 6 7776 1 5 1 5 P(ζ? 5)? C 5( ) ? 6 7776


13 所以P(ζ? 3)? P(ζ? 4)? P(ζ? 5)? 3888


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