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两条直线的位置关系及曲线和方程



两条直线的位置关系及曲线和方程
知识要点: 1、两条直线的位置关系: 平行、相交、重合有两种判断方法。一是几何方 法——l1、l2 的倾斜角 ? 1 斜角 ? 1
??
2

??

2

?

?
2

, 即 K1 = K2 且纵截距 b 1

? b2

时 l1∥l2; l1、l2 的倾
??
2

?

?
2

且横截距 a 1

? a2

时 l1∥l2。l1、l2 的倾斜角 ? 1

, 即 K1
2

? K2



K1, K2 中一个存在一个不存在时, l1 与 l2 相交。1、2 的倾斜角 ? 1 l l K2 且纵截距 b1 = b2 时, l1 与 l2 重合; l1、2 的倾斜角 ? 1 l l1 与 l2 重合。另一种是代数方法,
??
2

??

?

?
2

, 即 K1 =

?

?
2

且横截距 a1 = a2 时,

l1 : A 1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 A 1 ? B 1 ? 0 、 l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 A 2 ? B 2 ? 0
? A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

?

2

2

?

?

2

2

? 通过方程组

解的情况判断两条直线的位置关系, 即: A2、B2、C2 均不为零
A1 A2 ? B1 B2

时:

A1 A2

?

B1 B2

?

C1 C2

有 l1∥l2;

有 l1 与 l2 相交;

A1 A2

?

B1 B2

?

C1 C2

有 l1 与 l2 重合。

若 A2、B2、C2 有为零时, 可以更容易判断。另外, 将上述分式变形一下便可得出 更普通的结论。 A1B2 = A2B1 且 A 1 C 2 ? A 2 C 1 时 l1∥l2; A 1 B 2 ? A 2 B 1 且 A 1 C 2 ? A 2 C 1 时 l1 与 l2 重合;
A 1 B 2 ? A 2 B 1 时 l1 与 l2 相交。

2、两条直线的平行与垂直: ①斜率互为负倒数 ? 两条直线互相垂直; ②两条直线互相垂直 斜率互为负倒数; ③两条有斜率的直线互相垂直 ? 斜率互为负倒数; ④ A 1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 ? 两条直线 A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 互直垂直。 ⑤斜率相等 两条直线平行; ⑥两条直线平行 斜率相等; ⑦两条有斜率且不重合的直线平行 ? 它们的斜率相等。 3、两条直线的数量关系: ①两条直线的交点——通过方程组求解:
? A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 ?x ? x0 有? ?y ? y0

,

两条直线交点为 P(x0, y0)。 ②两条直线所成的角:

Ⅰ、直线 l1: A1x + B1y + C1 = 0 的倾斜角为 ? 1 , l2: A2x + B2y + C2 = 0 的倾斜角 为 ? 2 , l1 到 l2 的角 ? 有 tg ?
? K 2 ? K1 1 ? K 2 K1

, 其中 ? 1 , ? 2 , ? 均不为直角,

0?? ??



Ⅱ、直线 l1: A1x + B1y + C1 = 0 的倾斜角为 ? 1 , l2: A2x + B2y + C2 = 0 的倾斜角 为 ? 2 , l1 与 l2 的夹角 ? 有: ③点到直线的距离: Ⅰ、点 P(x0, y0)到直线 l: Ax + By + C = 0 的距离 d 证明: 设直线 l 上任意一点为 Q(x, y), 则 若直线 l 中 B = 0, 则 x
? ? C A

tg ? ?

K 2 ? K1 1 ? K 2 K1

, 其中 ? 1 , ? 2 , ? 均不为直角,

0?? ?

?
2



?

Ax0 ? By0 ? C A
2


2

? B

2

PQ ?

?x

? x0 ?

2

? ? y ? y0 ?

,

Ax0 ? C C ? C? d ? x0 ? ? ? ? ? x0 ? ? ? A? A A

此时, 公式 d

Ax0 ? By0 ? C A ?
2

?

Ax0 ? C A

? B

2

Ax0 ? By0 ? C A
2

成立。
A B x ? C B

? B

2

若直线 l 中 B ∴
PQ ? x
2

? 0, 则 y ? ?
2 x0

? 2x0 x ?
2

? y

2

? 2 y0 y ? y0
2

2

?

x

2

? 2x0 x ? x0 ?
2

A B

2 2

x

?

2 AC B
2

x ?
2

C B

2 2

?

2A B C
2

y0 x ?
2

2C B
2

y0 ? y0

2

?

A

? B B
2

2

x

2

?

2 AC ? 2 ABy0 ? 2 B x0 B
2

2

x ?

? B x0 ? 2 BCy 0 ? B y0 B
2

2

2

2 AC ? 2 ABy0 ? 2 B x0

当x ? ?
2 ?

B A
2

2

? B B
2

2

?

B x0 ? ABy0 ? AC A
2

2

? B

2



4? PQ
最小

A

2

? B B
2

2

?

C

2

? B x0 ? 2 BCy0 ? B y0 B
2 2

2

2

2

2

?2 AC ? 2 ABy ?
B

0 4

? 2B x0

2

?

2

?

4?

A

? B B
2

2

分子继续 ? B 4 x 02
2 2 2 2

? 2 A BCy 0 ? 2 AB Cx 0 ? 2 AB x 0 y 0 )
2

2

2

3

?

A B x0 ? B C

? 2 B Cy0 ? B y0 ? 2 AB Cx0 ? 2 AB x0 y0 B
2

3

4

2

2

3

?A

2

? B

2

?

?

A x0 ? C

2

2

2

? 2 BCy0 ? B y0 ? 2 ACx0 ? 2 ABx0 y0 A
2

2

2

? B

2

?

? Ax0

? By0 ? C ? A
2

2

?

Ax0 ? By0 ? C A
2

? B
?

2

? B

2

∴d

? PQ

Ax0 ? By0 ? C A
2

最小

,

? B

2

因此,

d ?

Ax0 ? By0 ? C A
2

成立。
? C 2 ? C1 A
2

? B

2

Ⅱ、两条平行线 l1: Ax + By + C1 = 0, l2: Ax + By + C2 = 0 的距离 d 证明: 设 l1: Ax + By + C1 = 0 上任意一点为 P(x0, y0) 则 P 点到 l2: Ax + By + C2 = 0 的距离为: d ∵P(x0, y0)在 l1: Ax + By + C1 = 0 上, ∴Ax0 + By0 + C1 = 0 故 Ax0 + By0 = -C1 代入 d
? Ax0 ? By0 ? C2 A
2

? B

2

?

Ax0 ? By0 ? C 2 A
2

? B

2

?

? C1 ? C 2 A
2

?

C 2 ? C1 A
2

? B

2

? B

2

? B

2

4、曲线和方程: (1)曲线的方程、方程的曲线的概念: 曲线: 符合某一特定条件的点的集合, 也可以定义为平面内按某一特定条件 运动的动点的轨迹; 平面直角坐标系下的二元方程的一般形式为 F(x1y) = 0。 如果曲线上的点的坐标都是方程的解, 并且以这个方程的解为坐标的点都在 曲线上。那么这条曲线叫这个方程的曲线, 这个方程叫这条曲线的方程。 (2)求曲线方程的步骤: Ⅰ、恰当建立平面直角坐标系, 设定点、动点坐标——使图形上的点尽可能 多地落在坐标轴上, 尽量考虑图形的对称性。 Ⅱ、依题意, 列方程或方程组——方程的个数 = 未知数的个数-1。 Ⅲ、化简方程, 得 F(x1y) = 0 。 Ⅳ、考虑曲线与方程的一致性。 (3)充要条件问题: Ⅰ、四种命题: 原命题 A ? B 逆命题 B ? A 否命题 A ? B 逆否命题 B ? A 其中, 原命题与逆否命题等价; 逆命题与否命题互为逆否命题亦等价。另外, A B 并不是 A ? B 的否命题, 而是一对矛盾不相容命题, 确切地讲, A B 并不是 A ? B 的否命题, 而是另一个新的命题。

Ⅱ、充要条件问题: 对于命题 A ? B , 在初中我们通常把 A 叫条件, B 叫结论。 在充要条件问题中, 把 A、B 均称为条件。 若 A ? B 且 B A, 则称 A 为 B 的充分非必要条件; 若 A B 且 B ? A , 则称 A 为 B 的必要非充分条件; 若 A ? B 且 B ? A , 则称 A 为 B 的充要条件; 若 A B 且 B A, 则称 A 为 B 的既不充分也不必要条件; 若 A ? B , 则称 A 为 B 的充分条件; 若 B ? A , 则称 A 为 B 的必要条件。 (4)曲线的交点 Ⅰ、两条曲线的交点: 解二元一次方程组 Ⅱ、直线与曲线的交点: 解方程组, 判别式法 Ⅲ、两条非直线的曲线的交点: 通过方程组, 用判别式, 并结合图形考虑。



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