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2.2一元二次不等式的解法



2.2 一元二次不等式的解法
【教学目标】1、掌握一元二次不等式的解法 2、知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组 3、弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 4、学会用区间的形式表示不等式的解集 【教学重点】一元二次不等式的解法 【教学难点】弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 一、课前预习反馈: 1、设 a, b 都为实数,并且 a ?

b ,我们规定⑴集合 x a ? x ? b 叫做 表示为 。

与 y 轴交点坐标是__________________;与 x 是否相交由_________________决定。

练习画出下列函数的图像: (1 ) y ? x 2 ? 3 x ? 1 (2) y ? ?2 x 2 ? 3 x ? 1

(3 ) y ? 3 x 2 ? 2 x ? 2 区间,

(4 ) y ? ? x 2 ? 4 x ? 5

?

?

⑵集合 x a ? x ? b 叫做

? ?

?

区间,表示为

。 区间,表示为 或 。

⑶集合 x a ? x ? b 或 x a ? x ? b 叫做 在上述所有区间中, a, b 叫做区间的 2、实数 R 用区间表示为 集合 x x ? a 用区间表示为 集合 x x ? b 用区间表示为 点。

? ?

?

二、课堂学习探索: 1、解法的研究 [例]解不等式的解集 :

(1) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

(2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

,集合 x x ? a 用区间表示为 ,集合 x x ? b 用区间表示为 。“ ?? ”读作 ,“ ?? ”读作

?

?

, , 。

解法一:一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组(转化思想) 解法二:利用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系(数形结合思想) 2、完成表格:

? ?

?

?

?

?

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
根的判别式

??0

??0

??0

3、我们把含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 式叫做一元二次不等式。 一元二次不等式的一般形式为 或 4、 (1)一元二次方程的根与系数的关系——韦达定理

次,这样的 ( )

不等

y
y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)
的图像

y

y

已 知 关 于 x 的 方 程 ax ? bx? c ? 0( a ? 0)的 两 个根 x1 、 x2 , 则 x1 ? x2 ? ___________ ;
2

x
1

O

x x
2

1 1 ? x1 ? x2 ? _____________; ? x1 x2
(2)描述二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的草图
2

O x1=x2 x

O

x

; x1 ? x2 ? ___________。

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

解集是:

解集是:

解集是:

开口方向由____________________决定;对称轴是__________________________;
1

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

解集是:

解集是:

解集是:

解集是:

解集是:

解集是:

例 3、求解下列不等式组 ①?
2 ? ?x ? 5x ? 6 ? 0 2 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0

解集是:

解集是:

解集是:

②?

2 ? ? 3 x ? 7 x ? 10 ? 0 2 ? ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0

③?

2 ? ?6 ? x ? x ? 0 2 ? ? x ? 2x ? 2 ? 0

3、解一元二次方程的步骤: [总结]解一元二次不等式的步骤:①把二次项的系数变为正的。 (如果是负, ) ②解对应的一元二次方程。 (先看能否因式分解,若不能,再看 ? ,然后求根) ③结合对应的二次函数图像,根据对应一元二次方程的根及不等式的方向,求解一元二次不等式。 例 1、求解下列不等式 ① x ? 3x ? 4 ? 0
2

例 4、求解下列关于 x 的不等式 ① x ? (2 ? a ) x ? 2a ? 0
2 2 2

② x ? (a ? 2) x ? 2a ? 0
2

② x ? 3x ? 4 ? 0
2

③ 2x ? 3x ? 2 ? 0
2

③ ax ? 2ax ? 3a ? 0
2

④ ( x ? 1)(ax ? 1) ? 0 ( a ? 0)

④ 2x ? 3x ? 2 ? 0
2

⑤ ?3 x ? x ? 1 ? 0
2

⑥ ?3 x ? x ? 1 ? 0
2

⑤ ( x ? 1)(ax ? 1) ? 0 ( a ? 0) 例 2、求解下列不等式 ① 9x ? 6x ? 1 ? 0
2

⑥ ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
2

② 4x ? x ? 5
2

③ 2x ? x ? 1 ? 0
2

④ x ? 2x ? 2 ? 0
2

⑤ x ? 2x ? 1 ? 0
2

⑥ 6x ? 5x ? 7 ? 0
2

例 5、①写出一个一元二次不等式,使它的解集为 ( ?1, 3)

2

②写出一个一元二次不等式,使它的解集为 ( ??, ?1) ? (3, ??) ②当 k 为何值时,关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? ( k ? 1) x ? 4 ? 0 的解集为 R ? ③写出一个一元二次不等式,使它的解集为 ?1, 3

?

?

③当 k 为何值时,关于 x 的一元二次不等式 x ? ( k ? 1) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ?
2 2 2 例 6、①若不等式 x ? px ? q ? 0 的解为 2 ? x ? 3 ,求不等式 qx ? px ? 1 ? 0 的解。

④当 k 为何值时,关于 x 的一元二次不等式 x ? ( k ? 1) x ? 4 ? 0 恒成立?
2

②设关于 x 的不等式 ax ? abx ? b ? 0 的解集为 (2, 3) ,求不等式 bx ? abx ? a ? 0 的解集。
2 2

三、课后巩固练习: 1、解下列不等式: ③若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ( ?1, 2) ,求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集。
2 2

⑴ (2 x ? 1)(4 x ? 3) ? 0

⑵ (2 x ? 1)( ?4 x ) ? 0

⑶ 2 x ? 9 x ? 35 ? 0
2

⑷ x ? 7x ? 8 ? 0
2

⑸ ( x ? 1)( x ? 2) ? 12

⑹ 3 ? 10 x ? 8 x ? 0
2

例 7、①当 k 为何值时,二次函数 y ? x ? ( k ? 1) x ? 4 的图像在 x 轴上方?
2

⑺ x ? 2x ? 8 ? 0
4 2

⑻ 2x ? 3x ? 2 ? 0
2

⑼ x ? x ?1? 0
2

3

⑽ 9x ? 6x ? 1 ? 0
2

⑾ 4x ? x ? 4
2

⑿ x ? 2x ? 1 ? 0
2

6、若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (2, 5) ,求不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的值。
2 2

⒀ x ? 2x ? 1 ? 0
2

⒁ 4x ? x ? 4
2

⒂ 2x ? x ? 1
2

2 7、已知集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x x ? m

?

?

?

?

2、解下列不等式组

①若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围;②若 A?B ,求实数 m 的取值范围。
2 ? ?3 x ? 4 x ? 4 ? 0 ⑵? 2 ? ? x ? 4 x ? 12 ? 0 2 ? ?x ?1 ? 0 ⑶? 2 ? ?x ? 5x ? 6 ? 0

?x ? 2 ⑴? 2 ? x ? 2x ? 3 ? 0

8、若不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

3、①设 a ? R ,解关于 x 的不等式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 。
2

9、某品牌文具每件 60 元,每件大约销售 80 万件,为了扩大市场,每销售百元投入 m 元广告费, ②若 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 ( a ? x )( x ?

1 )?0。 a

同时每年销售量将增加

20 m 万件。要使每年广告费不多于 256 万元,销售量不多于 100 万 3

件,那么每销售百元,广告费最多投入多少元?

4、若不等式 ax ? bx ? 3 ? 0 的解集为 ( ?1, 3) ,求 a, b 的值。
2

5、若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ( ?
2

1 1 , ) ,求 a ? b 的值。 2 3

4



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