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高中数列求和方法



一般数列的求和
非等差数列或非等比数列称之为一般数列;

对于一般数列求和,可采用化归策略。
即把一般数列化成我们熟悉的等差数列或等比数列。

一、公式法
所求数列为等差、等比数列,直接利用其求和公式求和。
n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2 ? na1

(q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? (q ? 0且q ? 1) ? 1? q ? 1? q 公比含字母,要分类讨论

等差数列求和公式 等比数列求和公式
[题组1]

(1)求和S n ? 2 ? 4 ? 6 ? ... ? 2n 2n ?1 (2)数列的 {an }的通项公式为 an ? ? log2 4n , 它的前n项和S n n n ?1
分析: an ? 2 ? 2n ? 2 n , 利用等比数列求和公式得 n S n ? 2 n ?1 ? 2

二、分组求和法
原数列非等差、等比数列,把通项拆分重新组合为 若干个等差、等比数列,再求和。 [题组2]求下列数列的前n项和

(1)2 ? 1 , 22 ? 2, 23 ? 3,
1 1 1 1 (2)1 , 2 , 3 , 4 ? ? ? 2 4 8 16

, 2n ? n
n2 ? n ? 1 ? 1n 2 2

(3)数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 2 2 ,?, (1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ),? n 1 ? 2 前n项和等于_______ 析 : an ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? ? 2n ? 1 1? 2 分组求和得S n ? (2 ? 1) ? (22 ? 1) ? ? ? ? ? (2n ? 1)

? (2 ? 22 ? ? ? ?2n ) ? n ? 2n?1 ? 2 ? n

二、分组求和法
原数列非等差、等比数列,把通项拆分重新组合为 若干个等差、等比数列,再求和。

适用题型 :
{an}, {bn}是等差或等比数列,则数列{an±bn}的求和可用 分组求和法。

通项公式特点:{等差±等比}

三、错位相减法
一般地,如果数列{an} 是等差数列,{bn}是等比数列, 则数列{anbn}的求和可用错位相减法。
[题组3]求下列数列的前n项和

(1)Sn ? x ? 2x ? 3x ? ?? nx
2 3

n

1 3 5 2n ? 1 (2) S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2

三、错位相减法
适用题型 :
一般地,如果数列{an} 是等差数列,{bn}是等比数列, 则数列{anbn}的求和可用错位相减法。

通项公式特点: {等差×等比}

四、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 [题组4]求下列数列的前n项和
1 1 1 1 ? ? ? ... ? (1) S n ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

(2) Sn ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 1 (3) S n ? 1 ? 1 ? .....? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? n
(提示:研究通项)

?n

四、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见裂项技巧 :
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( 1 ) an ? ? ( ? ) (2) an ? n(n ? 1) n n ? 1 n ? n ? k ? k n n ?1 1 1? 1 1 ? ? ? ? (3)an ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 2 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ?? ? ? ? 1 ? n ?1 ? n (4)an ? n ?1 ? n

对通项有形如上述特点的数列求和,可采用裂项相消法, 裂项关键是裂通项,相消要注意哪些项消去,哪些项保留 .

五、倒序相加法
等差数列的前n项和的推导方法
12 22 32 102 ? 2 ? 2 2 ??? 2 2 [题组5]求和 S ? 2 2 2 1 ? 10 2 ? 9 3 ? 8 10 ? 1

S ?5

适用题型 :
数列{an}中,与首、末项等距离的两项之和相等,则 可采用倒序相加法求和。

常见求和方法
公式法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法

适用范围及方法
等差、或等比数列用求和公式, 常数列直接运算。 数列{ an±bn}的求和,其中{an} 、{bn} 是等差或等比数列。 数列{ anbn}的求和,其中{an} 是等差 数列、{bn}是等比数列。
1 通项形如 的数列求和, n(n ? 1)

把每一项拆为两项之差,相加相消。 等差数列的求和方法。

倒序相加法



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