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太和二中2014届高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案



太和二中 2014 届高三第一次模拟考试数学(理)试题
注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案实用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚

。 3.请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={ x x ? 5k ? 1 , k ∈N},B={ x x ? 6, x ?Q },则 A∩B 等于

( )

A.{1,4} 1? i 2.复数 ? 1? i A. ? i

B.{1,6}

C.{4,6}
( ) C. i

D.{1,4,6}

B. ? 1

D.1

3.若 ?a n ? 是等差数列, a1 ? 0, 的最大正数 n 是 A. 48

a 23 ? a 24 ? 0,

a 23 ? a 24 ? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成立
( ) D.45

B.47

C.46

4. 在区间[- π ,π ]内随机取两个数分别记为 a, 则使得函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? b ? π 有 b,
2 2

零点的概率为 A.

( B.

) D.

7 8

3 4

C.

1 2 1 2

1 4

5. 设 min{ p, q } 表示 p , q 两者中的较小的一个,若函数 f ( x ) = min{3 则满足 f ( x ) < 1 的 x 的集合为 A. (0,

log 2 x, log 2 x } ,
( )

2)

B. (0, + ? )

C. (0, 2) U (16, +

)

D. (

1 16

, +

)

6.函数 f ( x ) 的定义域为 R, 且满足: f ( x ) 是偶函数, f ( x ? 1) 是奇函数, f (0.5) =9, 若

则 f (8.5) 等于 A. ? 9 B.9 C. ? 3 D.0





7. 已知 x、y 使方程 x2+y2-2x -4y + 4 = 0,则 3x + y 的最小值是





A. 2 +

3

B. 3

C. 2

D.3

8. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x ) ? sin x 和 g ( x ) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则

MN 的最大值为
A.1 9. 过原点与曲线 y ? A. y ? B. 2 C. 3

( D.2 ( C. y ? x D. y ?



x ? 1 相切的切线方程为
B. y ? 2 x



1 2

x
1 x

1 3

x


10. 已知 p : x ? 1, q : A. 充分不必要条件 C. 充要条件

? 1, 则 ?p 是 q 的
B. 必要充分不条件 D. 既非充分又非必要条件



? x?2?0 ? 11. 若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2,则实数 a ?2 ? 2 y ? a ? 0 ?
的值是 A.-2 B.0 C.1 ( D.2 )

12. 设 a,b 为大于 1 的正数,并且 ab ? a ? b ? 10 ? 0 ,如果 a ? b 的最小值为 m,则满足

3 x 2 ? 2 y 2 ? m 的整点 ? x , y ? 的个数为
A.5 B.7 C.9

( D.11



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13. 设 l 为平面上过点 (0, 的直线, 的斜率等可能地取 ?2 2 、? 3 、? l) l

5 2

、 2 2、 0、

3、

5 2

用 ξ 表示坐标原点到直线 l 的距离,则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ=_________.

14. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线
2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 有相同的焦点 F , A 是两曲线的 点


一个交点,且 AF ⊥ x 轴,则双曲线的离心率为 15. 设 a,b,c 依次是 ?ABC 的角 A、B、C 所对的边,若

tanA ? tan B tan A ? tan B

? 1005 tan C ,且

a 2 ? b 2 ? mc 2 ,则 m=________________.
16. 在平面直角坐标系中, 点集 A ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1} ,B ? {( x, y ) | x ? 4, y ? 0,3x ? 4 y ? 0} ,

则(1)点集 P ? {( x, y ) x ? x1 ? 3, y ? y1 ? 1, ( x1 , y1 ) ? A} 所表示的区域的面积为_________; (2)点集 Q ? {( x, y ) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区域的面积为 _________ . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的三边,已知 b +c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ?

3 , cos C ?

3 3

,求 c 的长.

18. (本小题满分 12 分)如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ? 底面

ABCD ,且 PA ? AD ? 2 , E , F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

19. (本小题满分 12 分)为了参加广州亚运会,从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子 排球国家队,队员来源人数如下表: 队别 北京 上海 天津 八一 4 6 3 5 人数 (Ⅰ)从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一支队的概率; (Ⅱ)中国女排奋力拼搏,战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言,设其中来 自北京队的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,及数学期望 E? .

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数) .
2

(Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? ?2 ? b ,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

21. 本小题满分 12 分) 已知点 A(1, 2 ) 是离心率为 (

2 2

的椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) b2 a2

上的一点.斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值; 若不存在,请说明理由? (Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值.

22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 A ? {a1 , a 2 , ? , a n } 中 的 元 素 都 是 正 整 数 , 且

a1 ? a 2 ? ? ? a n ,对任意的 x, y ? A, 且 x ? y ,有 x ? y ?
(Ⅰ)求证:

xy 25



1

a1 a n 25 (Ⅱ)求证: n ? 9 ; (Ⅲ)对于 n ? 9 ,试给出一个满足条件的集合 A .

?

1

?

n ?1



太和二中 2014 届高三第一次模拟考试数学(理)试题 参考答案
一.选择题:每小题 5 分,满分 60 分. 题 号 答 案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 B 9 A 10 A 11 D 12 A

二.填空题:每小题 5 分,满分 20 分. 13. 4 提示: 显然本程序框图反映的是统计产量大于 950 件的车间个数的一个算法流程图, 故答案 为 4. 14.

4 7

∵直线 l 的方程分别为:

y = ?2 2 x +1、 = ? 3 x +1、 = ? y y ∴原点到它们的距离分别为

5 2

x +1、 = 1、 = 2 2 x+1、 = 3 x+1、 = y y y y

5 2

x+1,

1 3



1 2



2 3

、1、

2 3



1 2



1 3

所以随机变量 ξ 的分布列为:

ξ P

1 3 2
7 2 7
× +

1 2 2
7
× +

2 3 2
7 4 7

1

1 7

所以 Eξ= 15.2011 提示:由已知

2 7

× +

1

1

2 7

2 3

1 7

3

2

× 1=

tan A ? tan B tan A ? tan B

?

sin A ? sin B sin A cos B ? cos A sin B

?

sin A ? sin B sin ? A ? B ?

? 1005

sin C cos C



sin A ? sin B sin C

? 1004

sin C cos C

,亦即

sin A ? sin B ? cos C sin 2 C

? 1005

由正余弦定理有

? a 2 ? b 2 ? c 2? ab ? ? ? 2 ab ? ? ? 1005 c2



a2 ? b2 ? c2 2c
2

? 1005 ,将 a 2 ? b 2 ? mc 2 代入



? m ? 1?
2

? 1005 ,于是 m ? 2011

16.π;18+π 提示:已知点集 A 表示以原点为圆心,半径为 1 的圆的边界及其内部,点集 B 表示以点 0 (0,0) ,M(4,0) ,N(4,3)为顶点的三角形及其内部, (1) 本题相当于把点集 A 中的圆向右平移 3 个单位, 向上平移 1 个单位, 因此其面积不变, 为 π. (2)相当于把点集 A 沿点集 B 扩大如图所示: 其面积为: S ?

1 2

3 ? 4 ? 5 ? 1 ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? ? ? 18 ? ?

三.解答题: 17.本小题主要考查三角变换公式、正弦定理、余弦定理,考查三角基础知识和基本运算能 力.满分 10 分. 〖解析〗 (Ⅰ)? b +c ? a ? bc ,
2 2 2

cos ? A

b2 ? c 2? a 2bc

2

?

1 2

………………3 分

?0 ? A ? ? ? ∴A? …………………………………………………………5 分 3
(Ⅱ)在 ?ABC 中, A ?

?
3

,a ?

3 , cos C ?

3 3

∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ?
2

1 3

?
,

6 3

………………………………………7 分

由正弦定理知:

a sin A

?

c sin C

∴c ?

a sin C sin A

3? ?

6 3 ? 2 6 .…………………………………………9 分 3 3

2
∴c ?

2 6 3

……………………………………………………………………10 分

18.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系,线面平行与垂直的论证、二面角的计算等

基础知识,考查空间想象能力、思维能力和运算能力.满分 12 分. 〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

? A(0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0), D(0, 2, 0) , P (0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) , H (1, 0, 0) .…………1 分
(Ⅰ)证明: ∵ PB ? (2, 0, ?2) , EH ? (1, 0, ?1) , ∴ PB ? 2 EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH .………………………………4 分 (Ⅱ)证明:

??? ?

????

??? ?

????

??? ? ???? ??? ? PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1, 0, 0) , AF ? (0,1,1) ,
??? ???? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? ( ? 2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? ( ? 2) ? 0 ? 0.
? PD ? AF , PD ? AH , 又? AF ? AH ? A , ∴ PD ? 平面 AHF . ………………………………………………8 分

(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , 因为 EF ? (0,1, 0) , EH ? (1, 0, ?1) ,

??? ?

????

? ??? ? ? n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). ? n ? EH ? x ? z ? 0, ?
又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0 ),

?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 ? ? , 所以 cos ? m , n ?? ?? ? ? 2 | m || n | 2 ?1 2
?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .…………………………………12 分
?

19.本小题主要考查概率统计的概念,考查随机变量的分布列和数学期望的计算,以及利用 概率统计的基础知识解决实际问题的能力.满分 12 分. 〖解析〗

(Ⅰ)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A, . ………………………………………5 分 9 C (Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2. …………………………………………………7 分
2 18

则 P ( A) ?

2 C 4 ? C62 ? C32 ? C52

?

2

∵ P (? ? 0) ?

2 C14

C

2 18

?

91 153
?

, P (? ? 1) ?

1 1 C 4 C14

C

2 18

?

56 153

, P (? ? 2) ?

2 C4

C

2 18

?

6 153



∴ ? 的分布列为: 0
91 153

1
56 153

2
6 153

P

……………………10 分 ∴ E (? ) ? 0 ?

91 153

? 1?

56 153

? 2?

6 153

?

4 9

. ……………………………12 分

20.本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数单调区间的求法,考查运用基本 概念进行论证和计算的能力.满分 12 分. 〖解析〗 (Ⅰ)因为 a ? 1, b ? ?1 ,所以函数 f ( x ) ? x ? x ? ln x , f (1) ? 2
2

又 f ?( x ) ? 2 x ? 1 ?

1 x

, f (1) ? 2 ………………………………………………2 分
'

所以 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 2 x ? y ? 0 …………………………………5 分 (Ⅱ)因为 a ? ?2 ? b ,所以 f ( x ) ? x ? (2 ? b ) x ? b ln x ,则
2

b ( 2 x? b ) ( ? 1 ) x ( x ? 0) f ?( x )? 2 x ( ? b? ) ? ? 2 x x b 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 .……………………………………………7 分 2 b (1)当 ? 0 ,即 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , 2
单调递增区间为 (1, ?? ) ;…………………………………………8 分 (2)当 0 ?

b 2

? 1 ,即 0 ? b ? 2 时, f ?(x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

b (0, ) 2

b ( ,1) 2
?

(1, ?? )

?
?

?
?

?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ?? ) ,

b

2

单调递减区间为 ( ,1) ;…………………………9 分

b

2

(3)当 (4)当

b 2

? 1 ,即 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ?? ) ;………10 分

b 2

? 1 ,即 b ? 2 时, f ?(x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1)

b (1, ) 2
?

b ( , ?? ) 2

?
?

?
?

?

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , ?? ) ,

b

2

单调递减区间为 (1, ) ;……………………………………11 分

b

2

综上,当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ?? ) ; 当 0 ? b ? 2 时, 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ,(1, ?? ) , 单调递减区间为 ( ,1) ;

b

b

2

2

当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ?? ) ;当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增 区间为 (0,1) , ( , ?? ) ,单调递减区间为 (1, ) .…………………………12 分

b

b

2

2

21. 本小题主要考查椭圆的方程的求法, 考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方 法,考查思维能力、运算能力和综合解题的能力.满分 12 分. 〖解析〗 (Ⅰ)? e ?

2 c ? , 2 a

1 2 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 2 b a
2

∴ a ? 2,b ? ∴

2 ,c ?

x2 y2 ? ?1 2 4

………………………………………………4 分

(Ⅱ)设直线 BD 的方程为 y ?

2x ? b

? y ? 2x ? b ? 4 x 2 ? 2 2bx ? b 2 ? 4 ? 0 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 4
2 ? ? ? ?8b ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2

x1 ? x2 ? ?

2 b, ………………………① 2
………………………②

b2 ? 4 x1 x2 ? 4
2

? 64 ? 8b 2 6 ? BD ? 1 ? ( 2 ) x1 ? x2 ? 3 ? 3 ? 8 ? b2 , 4 4 2
设 d 为点 A 到直线 BD: y ? ∴d ?

2 x ? b 的距离,

b 3

∴ S ?ABD ?

1 2 BD d ? 2 4

(8 ? b 2 )b 2 ?

2 ,当且仅当 b ? ?2 时取等号.

因为 ?2 ? (?2 2 , 2 2 ) ,所以当 b ? ?2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为 2 ………9 分 (Ⅲ)设 D ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 、 AD 的斜率分别为: k AB 、 k AD ,则

k AD ? k AB ?

y1 ? 2 y 2 ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1

2 x1 ? b ? 2 ? x1 ? 1

2 x2 ? b ? 2 x2 ? 1

= 2 2 ? b[

x1 ? x2 ? 2 ] …………………………(*) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

将(Ⅱ)中①、②式代入(*)式整理得

2 2 ? b[

x1 ? x2 ? 2 ] =0, x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

即 k AD ? k AB ? 0………………………………………………………………12 分 22.本小题考察对数学概念的阅读理解能力,考查不等式、集合知识的综合应用,考查运用 学过的数学知识解决问题的能力, 考查思维能力、 论证能力、 运算能力和综合解题的能力. 满 分 12 分. 〖解析〗 (Ⅰ) 证明:依题意有 a i ? a i ?1 ?

a i a i ?1 25

(i ? 1,2, ? , n ? 1) ,又 a1 ? a 2 ? ? ? a n ,

因此 a i ?1 ? a i ?

(i ? 1,2, ? , n ? 1) . 25 1 1 1 可得 ? ? (i ? 1,2, ? , n ? 1) . a i a i ?1 25
1 a1 ? ? 1 an 1 a2 ? ? 1 a2 25 ? 1 a3 ?? 1 ai ? 1 ai ?1 ?? ? 1 an ?1 ? 1 an ? n ?1 25


a i a i ?1

所以 即

1 a1

n ?1



…………………4 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得

1 a1

?

n ?1 25

. ,因此 n ? 26 .

又 a1 ? 1 ,可得 1 ? 同理

n ?1 25

1 ai

?

1 an

?

n?i 25

,可知 ,

1 ai

?

n?i 25



i 25 所以 i ( n ? i ) ? 25 (i ? 1,2, ? , n ? 1) 均成立. 当 n ? 10 时,取 i ? 5 ,则 i ( n ? i ) ? 5( n ? 5) ? 25 , 可知 n ? 10 . i?n?i 2 n 又当 n ? 9 时, i ( n ? i ) ? ( ) ? ( ) 2 ? 25 . 2 2 所以 n ? 9 . ……………………………………………………8 分 (Ⅲ)解:对于任意 1 ? i ? j ? n , a i ? a i ?1 ? a j ,


又 a i ? i ,可得

1

?

n?i

1 ai

?
1 aj

1 a i ?1
? 1 ai

?

1 25

(i ? 1,2, ? , n ? 1) 可知,
? 1 25
,即 a i ? a j ?

1 ai

?

?

1 a i ?1

ai a j 25



因此,只需对 1 ? i ? n , 因为 1 ?

1 ai

?

1 a i ?1


?

1 25

成立即可.

1

2 25 2 3 25 3 4 25 4 5 25 因此可设 a1 ? 1 ; a 2 ? 2 ; a 3 ? 3 ; a 4 ? 4 ; a 5 ? 5 .
由 由 由 由

?

1



1

?

1

?

1

1

?

1

?

1



1

?

1

?

1



1 a5
1 a6

?
?

1 a6
1 a7

?
?

1 25
1 25

,可得 a 6 ? ,可得 a 7 ? ,可得 a 8 ?

25 4 18

,取 a 6 ? 7 . ,取 a 7 ? 10 .

175

1 a7
1 a8

?
?

1 a8
1 a9

?
?

1 25
1 25

50 3

,取 a 8 ? 20 .

,可得 a 9 ? 100 ,取 a 9 ? 100 .

1 所以满足条件的一个集合 A ? ? ,2,3,4,5,7,10 ,20 ,100 ? .……………12 分
其它解法,请酌情给分.



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