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2013年金版高考数学 第一章第九节 函数与方程优化训练(文) 北师大版必修1



(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) (x-1)lnx 1.函数 f(x)= 的零点有( ) x-3 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 (x-1)ln x 【解析】 由 f(x)= =0 得:x=1, x-3 (x-1)ln x ∴f(x)= 只有一个零点,故选 B. x-3 【答案】 B 2.若已知 f(a

)<0,f(b)>0,则下列说法中正确的是( ) A.f(x)在(a,b)上必有且只有一个零点 B.f(x)在(a,b)上必有正奇数个零点 C.f(x)在(a,b)上必有正偶数个零点 D.f(x)在(a,b)上可能有正偶数个零点,也可能有正奇数个零点,还可能没有零点 【解析】 若 f(x)不连续则可能没有零点,若 f(x)在该区间有二重零点则可能有正偶数 个零点,同样也有可能有正奇数个零点.故应选 D. 【答案】 D 3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间 [-a,a]内根的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】 由二分法和函数的单调性可知函数在区间[0,a]上有且只有一个零点,又函 数为一偶函数,故其在对称区间[-a,0]上也只有一个零点,即函数在区间[-a,a]上存在两 个零点. 【答案】 B 4. 若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点, 要使零点的近似值满足精确度为 0.01, 则对区间(1,2) 至少二等分( ) A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次 【解析】 设对区间(1,2)至少二等分 n 次,此时区间长为 1,第 1 次二等分后区间长为 1 1 1 ,第 2 次二等分后区间长为 2,第 3 次二等分后区间长为 3,?,第 n 次二等分后区间长 2 2 2 1 1 为 n,依题意得 n<0.01,∴n>log2100 由于 6<log2100<7,∴n≥7,即 n=7 为所求. 2 2 【答案】 C 5.函数 f(x)=ln x+2x-1 零点的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 在同一坐标系内分别作出函数 y=ln x 与 y=1-2x 的图象, 易知两函数图象 有且只有一个交点,即函数 y=ln x-1+2x 只有一个零点. 【答案】 D 6.已知函数 f(x)=log2(a-2x)+x-2,若 f(x)存在零点,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.[4,+∞) 4 - x 【解析】 据题意令 log2(a-2 )=2-x?22 x=a-2x,令 2x=t 则原方程等价于 =a- t
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t?t2-at+4=0 有正根即可,根据根与系数的关系 t1t2=4>0,即若方程有正根,必有两正 ? ?t1+t2=a>0 根,故有? 2 ?a≥4. ?a -16≥0 ? 【答案】 D 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.若一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a>0)的两根 x1、x2 满足 m<x1 <n<x2 <p,则 f(m)· f(p)________0(填“>”、“=”或“<”). f(n)· 【解析】 ∵a>0,∴f(x)=ax2+bx+c 的图象开口向上. ∴f(m)>0,f(n)<0,f(p)>0. 【答案】 < 8.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可 得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________,这时可判断 x0∈________. 【解析】 由二分法知 x0∈(0,0.5),取 x1=0.25, 这时 f(0.25)=0.253+3×0.25-1<0, 故 x0∈(0.25,0.5). 【答案】 (0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5) 9.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是 ________. 【解析】 ∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根, ?-2+3=-a ?a=-1 ? ? 由根与系数的关系知? ,∴? , ? ? ?-2×3=b ?b=-6 ∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式 af(-2x)>0,即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0, ? ? 3 解集为?x?-2<x<1 ?. ? ? ? ? ? 3 ? 【答案】 ?x?-2<x<1 ? ? ? 三、解答题(共 46 分) x 1 10.(15 分)已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1 证明:存在 x0∈?0,2?,使 f(x0)=x0, ? ? 【证明】 令 g(x)=f(x)-x. 1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g?2?=f?2?- =- , ? ? ? ? 2 4 8 1? ∴g(0)·?2?<0. g? 1 又函数 g(x)在?0,2?上连续, ? ? 1? 所以存在 x0∈?0,2?,使 g(x0)=0. ? 即 f(x0)=x0. 11.(15 分)已知函数 f(x)=x2+2mx+2m+3 的零点为 x1,x2,求 x12+x22 的最小值. 【 解 析 】 由 题 意 知 , 方 程 x2 + 2mx + 2m + 3 = 0 的 两 个 根 为 x1 , x2 , 则

?x1+x2=-2m, ? x ?x1·2=2m+3, ?Δ≥0. ?
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-2(2m+3) =4m2-4m-6
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1 =4?m-2?2-7. ? ? ∵Δ≥0,∴4m2-4(2m+3)≥0. ∴m2-2m-3≥0,∴m≤-1,或 m≥3. ∴当 m=-1 时,x12+x22 取最小值 2. 12.(16 分)函数 f(x)=x3-3x+2, (1)求 f(x)的零点; (2)求分别满足 f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0 的 x 的取值范围; (3)画出 f(x)的大致图象. 【解析】 f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1) =(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2). (1)令 f(x)=0, 得函数 f(x)的零点为 x=1 或 x=-2. (2)令 f(x)<0, 得 x<-2; 令 f(x)>0, 得-2<x<1 或 x>1, 所以满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-∞,-2); 满足 f(x)=0 的 x 的取值范围是{1,-2}; 满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞). (3)函数 f(x)的大致图象如图所示:

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