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1.1.1集合的含义与表示



§1.1.1 集合的含义与表示 初中时,我们已经接触过“集合”一词。 在初中学习数的分类时,就用到“正数的集合” , “负数的集合”等,此外,对于一元一 次不等式 2x ? 1 ? 3 所有大于 2 的实数都是它的解。我们也可以说,这些数组成这个不等式的解的集合,简称为 这个不等式的解集。 在初中几何学习圆时, 说圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 几何图形可以看成点 的集合。 那么集合的含义是什么呢?我们再来看下面的一些例子: (1)1~20 以内的所有素数; (2)我国从 1991~2003 年的 13 年内所发射的所有人造卫星; (3)金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车; (4)2004 年 1 月 1 日之前与中华人民共和国建立外交关系的所有国家; (5)所有的正方形; (6)到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; (7)方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根; (8)新华中学 2004 年 9 月入学的所有高一学生。 我们把例(1)中,1~20 以内的每一个素数作为元素,这些元素的全体就是一个集合; 同样的,例(2)中,把我国从 1991~2003 年的 13 年内所发射的每一颗人造卫星作为元素, 这些元素的全体也是一个集合。 那例(3)~(8)也都能组成集合吗?什么样的组合才能称为集合呢? 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称集。 元素的性质 (1)元素的确定性:给定一个集合,任何一个元素在不在这个集合中就确定了。判定 能不能构成集合。例如, “中国的直辖市”构成一个集合,北京、上海、天津、重庆在这个 集合中,杭州、南京、广州,不在这个集合中。 “身材较高的人” “高一(2)班 1.78 米以上的同学” 、 “16 岁的少年” 、 “大于 1 的数” 、 “高一(2)班高 个子的同学” 、 “年轻人” 、 “帅哥” 、 “接近 0 的数” (2)元素的互异性:集合中的元素是互不相同的。这个特性通常被用来判断集合的表 示是否正确,或用来求集合中的未知元素。 (3)元素的无序性:集合中的元素是没有先后顺序的。 (这个特性通常被用来判断两个 集合的关系) 数学的表述和推理离不开符号,集合作为数学的基本语言当然也不例外。 集合与元素的表示 我们通常用大写拉丁字母 A,B,C, ?表示集合,用小写拉丁字母 a, b, c, ?表示集 合中的元素。 元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记为 a ? A ;如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记为 a ? A 。任一元素与集合 A 的关系只能是其中一种。 例如,我们用 A 表示“1~20 以内的所有素数”组成的集合,则有 3 ? A , 4 ? A 。 常见数集及其记法

常见数集 记法

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

N

N ? 或N *

Z

Q

R

注: (1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数 0 (2)非负整数集内排除 0 的集 记作 N*或 N+ Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集,也 是这样表示,例如,整数集内排除 0 的集,表示成 Z* 集合的分类 (以引例说明)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

方程 x 2 ? 1 ? 0 的所有实数解组成的集合,可以表示为

{x ? R | x 2 ? 1 ? 0} ,
这个集合是没有元素的。

有限集 无限集 空集

元素个数有限的集合 元素个数无限多的集合 没有元素的集合叫空集,记为?

注:空集是存在的, “?”或 “?” 1.用 填空。 1 1
N , -3 N, 0

N? ,

5
5

N,

Z , -3

Q, 0

Z,

R。

2.0,{0},?有何区别与联系。 0 是一个元素 {0}是只含一个 0 元素的集合 ?不包含任何元素 集合的表示方法 表示一个集合,就是把它有哪些元素交代清楚。 生活中常见的方法, 是把集合中的元素一一写出, 饭馆中的菜单, 计算机里的 “文件夹” , 都是这样做的。这叫做列举法。 数学里用列举法表示一个集合,通用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字,相 邻的名字用逗号分隔。例如:小于 10 的正偶数组成的集合,用列举法可以表示为{2,4,6,8}。 2 3 2 2 如:{1,2,3,4,5},{x ,3x+2,5y -x,x +y }. 说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 用列举法必须注意的事项: (1)大括号不能缺失. (2)有些集合种元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦

可如下表示:从 1 到 100 的所有整数组成的集合:{1,2,3,?,100} 自然数集 N:{1,2,3,4,?,n,?} (3)区分 a 与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素. a 表示这个集合的一个元素. (4)用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次. 例 1 用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数的集合; (2)方程 x 2 ? x 的所有实数根组成的集合; (3)1~20 以内的所有素数组成的集合。 列举法可以明确集合中的具体元素及元素的个数,常用来表示有限集或有特殊规律的无 限集。用列举法表示无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以用省略号。 无限集一般不能用列举法表示,有限集如果元素太多或者叫不出名字来,例如池塘里所 有鱼的集合,也不便于用列举法来表示。这就可以把集合中元素共有的,也只有该集合中元 素才有的特性描述出来,以确定这个集合。这叫作描述法。 在数学里更多的是用描述法来表示集合。通用的格式是在一个大括号内先写上表示这个 集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素 所具有的共同特征。 2 2 2 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x +1},{直角三角形},{(x,y)|y= x +3x+2}与 {y|y= x +3x+2}不 同, 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}, {R}也是错误的。 注意:①写清集合中元素的代号,如实数或实数对; ②说明该集合中元素具有的性质,如方程、不等式、函数或几何图形; ③不能出现未被说明的字母; ④所有描述的内容都要写在大括号内,用于描述的语句力求简明、确切; 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x 2 ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 例 3 用适当的方法表示下列集合: (1) A ? {(x,y) | x ? y ? 4,x ? N ?,y ? N ? } ; (2) B ? {

6 ? Z | x ? N} ; 1? x

(3)方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0 的解集; (4)平面直角坐标系中所有第二象限的点。 先确定给出集合的元素的特征,是数,是点还是其它元素? 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图成为 Venn 图。 , 2, 3, 4, 5} 。 例如,图 1-1 表示任意一个集合 A;图 1-2 表示集合 {1 1,2 3,4,5

A

而对于 {x | x ? 3 ? 2} ,即 {x | x ? 5} 这类关于不等式的数集可以用数轴表示;对于类似于

C ? {(x,y) | y ? x 2 ? 1 ,x ? R} 的点集可以用平面直角坐标系表示。
图形更形象直观

例 4 下列四个集合:① A ? {x ? R | y ? x 2 ? 1} ;② B ? { y | y ? x 2 ? 1 ,x ? R} ; ③ C ? {(x,y) | y ? x 2 ? 1 1 的实数} ,其中相同的集合是 ( ) ,x ? R} ;④ D ? {不小于 A.①与② B.①与④ 例5 下列说法: C.②与③ D.②与④

0, 1} ; ①集合 {x ? N | x 3 ? x} 用列举法表示为 {?1,
②实数集可以表示为 {x | x为所有实数 } 或 {R} ;

?x ? y ? 3 ③方程组 ? 的解集为 {x ? 1,y ? 2} 。 ? x ? y ? ?1
其中正确的有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个

? x ? y ? 3, ?x ? 1 2)} 注:③解集可以表示为 {( x,y ) | ? } , {( x,y ) | ? } , {(1, ?y ? 2 ? x ? y ? ?1

例 6 若 2 ?{1 ,x,x 2 ? x} ,则实数 x 的值是



例 7 设集合 A ? {1,a,b} , B ? {a,a 2,ab} ,若 A ? B ,求 a, b 的值。 分析 A ? B , 则它们的元素对应相等, 已知 A、 B 都含有 a , 故 A 中 1,b 对应 B 中 a 2,ab 。 解法一:由 A ? B ,有

?a 2 ? 1, ?a 2 ? b, 或? ? ?ab ? b ?ab ? 1
?a ? 1, ?a ? ?1, ?a ? 1, 解方程组得 ? 或? 或? 。 ?b ? R ?b ? 0 ?b ? 1
根据集合元素的互异性知 a ? 1 ,故 a ? ?1,b ? 0 。 解法二:由 A ? B ,可得
2 ? ?1 ? a ? b ? a ? a ? ab ? 2 ? ?1 ? a ? b ? a ? a ? ab

?ab(a 3 ? 1) ? 0 即? ?(a ? 1)( a ? b ? 1) ? 0

根据集合元素的互异性知, a ? 1 ,且 a ? 0 ,

?ab ? 0 ?a ? ?1, 所以 ? ,故 ? 。 ?a ? b ? 1 ? 0 ?b ? 0



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