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枣庄八中期末测试题


2014 年高一数学期末检测
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔.要字迹 工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1. sin( ?

3 2 2.对具有线性相关关系的变量 x , y ,有一组观测数据( xi , yi )( i =1,2,…,8),其回归 1 直线方程是: y ? x ? a ,且 x1 ? x2 ? x3 ? ... ? x8 ? 3 , ( y1 ? y2 ? y3 ? ... ? y8 ) ? 6 ,则 6
C. D. ? 实数 a 的值是

19 ? ) 的值等于 6 1 1 A. B. ? 2 2

3 2

1 8 11 D. 16 3.对于向量 a , b , c 和实数 ? ,下列命题中真命题是 2 2 A.若 a ? b =0,则 a ? 0 或 b ? 0 B.若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b C.若 ? a ? 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0 D.若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c
A. B. 4.设不等式组 ?

1 16 1 C. 4

?0 ? x ? 2 表示平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原 ?0 ? y ? 2

点的距离大于 2 的概率是

A.

? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

5.已知 cos ?? ? ? ? ? A.

1 2

3 1 , cos ?? ? ? ? ? ,则 tan ? ? tan ? 的值等于 4 4 1 B. ? C. 2 D. ? 2 2 2? 2? x x ) 、 y ? cos( 2 x ? ) 、 y ? sin 2 ? cos 2 中,最 3 3 2 2

6.在函数 y ? sin x 、 y ? sin( x ? 小正周期为 ? 的函数的个数为 A. 1 B. 2
2 2

C. 3

D. 4

7. 已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 当圆心 C 到直线 kx ? y ? 4 ? 0 的距离最 大时, k 的值为 A. ?

1 5

B.

1 5

C. ? 5

D.5

8. 将函数 y ? f ( x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所 得到的图象沿 x 轴向左平移

y ? f ( x) 的解析式为 x ? A. f ( x) ? 3sin( ? ) 2 4 x ? C. f ( x) ? 3sin( ? ) 2 4
1 , 8

? 个单位,这样得到的曲线与 y ? 3sin x 的图象相同,那么 4
B. f ( x) ? 3sin(2 x ? D. f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
4

) )
开始

?
4

9.阅读如图所示的程序框图,若运行该 程序后输出的 y 值为 则输入的 实数 x 值为 A.


输入 x 否

x?0
x>0

3 3 , ? 4 4

B. 3 , ?3

C.

3 , ?3 4

D. ?

3 ,3 4

y ? 2 x2 ? 1

y ? 2x

输出

y

结束

10. 使函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? 3 cos ? 2 x ? ? ? 为奇函数, 且在区间 [0,

?
4

] 上为减函数的

? 的一个值为 ? A. 3

B.

5? 3

C.

2? 3

D.

4? 3

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分(把正确答案填在答题纸的相应位 置) 11.化简 sin130 (1 ? 3 tan170 ) 的结果为 12.若 A(1, 2) , B(3, 4) , C (?2, 2) , D(?3,5) ,则向量 AB 在向量 CD 上的投影为

? 2 ? 1 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是 4 5 4 4 14.非零不共线向量 OA , OB ,且 2OP ? xOA ? yOB ,若 PA ? ? AB ? ? ? R ? ,则
13.如果 tan(? ? ? ) ?

点 Q ? x, y ? 的轨迹方程是
15.若 a1 , a2 ,?, a10 这 10 个数据的样本平均数为 x ,方差为 0.33 ,则 a1 , a2 ,?, a10 , x 这 11 个数据的方差为______

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、 证明过程或推理步骤)
16. (本小题满分 12 分) 设向量 a , b 满足 a ? b ? 1 及 3a ? 2b ? 7 .

(1)求向量 a , b 的夹角的大小; (2)求 3a ? b 的值. 17. (本小题满分 12 分)

1 ? x ? 0 , sin x ? cos x ? . 2 5 (Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值;
已知: ?

?

cos(? ? x) cos( ? x) tan(?? ? x) 2 (Ⅱ)求 的值. sin 2 ( ? x) ? sin 2 (? ? x) 2
18. (本小题满分 12 分)某工厂对 200 个电子元件的使用寿命进行检查,按照使用寿命(单 位: h) , 可以把这批电子元件分成第一组 [100,200) , 第二组 [200,300) , 第三组 [300,400) , 第四组[400,500) ,第五组[500,600) ,第六组[600,700] .由于工作中不慎将部分数据丢 失,现有以下部分图表:

?

?

(1)求图 2 中的 A 及表格中的 B, C, D, E, F , G, H , I 的值; (2)求图 2 中阴影部分的面积. 19.(本小题满分 12 分) 有一个不透明的袋子,装有 4 个完全相同的小球,球上分别编有数字 1,2,3,4. (Ⅰ) 若逐个不放回取球两次, 求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除的概率; (Ⅱ)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a ,将球放回袋中,然后再从袋中随 机 取一个球,该球的编号为 b ,求直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x ? y ?
2 2

1 有公共点的概率. 16

20. (本小题满分 13 分) 已知向量 m ? (2sin

(1)若 m ? n ,求 x 取值的集合; (2)若 f ( x) ? m n ? 2t ,当 x ? [0, ? ] 时函数 f ( x ) 有两个零点,求实数 t 的取值范围. 21.(本小题满分 14 分) 已知圆 C 的半径为 3 ,圆心 C 在直线 2 x ? y ? 0 上,且在 x 轴的下方, x 轴被圆 C 截

x x , ? 3), n ? (1 ? 2sin 2 , cos x) ,(其中 x ? R ). 2 4

得的弦长为 2 5 . (Ⅰ)求圆 C 的 方程; (Ⅱ) 是否存在斜率为 1 的直线 l , 使 l 被圆 C 截得的弦 AB , 以 AB 为直径的圆过原点? 若存在求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

2014 年高一数学期末检测参考答案及评分标准
一、选择题 A D C D A 二、填空题 11. 1 三、解答题 16.解答: (1)设 a , b 所成角为 ? ,由 3a ? 2b ? 7 可得, 9a ? 12a ? b ? 4b ? 7 ,将
2 2

B A D C C

12.

2 10 5

13.

3 22

14. x ? y ? 2 ? 0

15. 0.3

a ? b ? 1 代入得: a ? b ?

1 , 2 1 , 2

?????4 分 ?????5 分

所以 a ? b ?| a || b | cos ? ? cos ? ? 又 ? ?[0, ? ] ,故 ? ?

?
3

,即 a , b 夹角的大小为

? . 3

?????7 分 ?????10 分 ?????12 分

(2)因为 | 3a ? b |2 ? 9a 2 ? 6a ? b ? b2 ? 9 | a |2 ?6a ? b? | b |2 ? 13 所以 3a ? b ? 13 . 17.解:(Ⅰ )

1 2 1 2 ,? (sin x ? cos x) ? ( ) 5 5 24 1 即: 1 ? 2sin x cos x ? ,? 2sin x cos x ? ? . ……………………2 分 25 25
sin x ? cos x ?
? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?


49 .……………………………4 分 25

?

?
2

? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, ? sin x ? cos x ? 0 .
……………………………6 分

7 ? sin x ? cos x ? ? . 5
(Ⅱ )由已知条件:

1 ? sin x ? cos x ? ? ? 5 ? ?sin x ? cos x ? ? 7 ? 5 ?

3 ? sin x ? ? ? ? 5 ,解得 ? . 4 ?cos x ? ? 5 ?

……………………………8 分

sin x ? cos(? ? x) cos( ? x) tan(?? ? x) ? cos x ? sin x ? ? sin 2 x cos x ? 2 ……10 分 ? ? 2 2 2 2 cos x ? sin x cos x ? sin x 2 ? 2 sin ( ? x) ? sin (? ? x) 2

3 9 ?( ? ) 2 ? 5 25 ? ? 9 .………………………………………………12 分 ? ? 4 3 16 9 7 ( ) 2 ? (? ) 2 ? 5 5 25 25 18. (1)由题意可知 0.1 ? A ?100 ,∴ A ? 0.001 ,……………………2 分 B ∵ 0.1= ,∴ B ? 20 , C ? 0.1 ,……………………4 分 200 30 D? =0.15 , E ? 0.2 ? 200 ? 40 , F ? 0.4 ? 200 ? 80 ,……………………6 分 200 20 G? ? 0.1 , H ? 10 , I ? 0.05 .……………………8 分 200 (2)阴影部分的面积为 0.4+0.1=0.5 . ……………………12 分
19.(本小题满分 12 分) 解: (I)用 ( a, b) ( a 表示第一次取到球的编号, b 表示第二次 取到球的编号)表示先后二 次取球构成的基本事件,则基本事件有: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3)共 12 个.……………………………3 分 设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有: (2,1) , (2,4) , (4,2)共有 3 个,……………………5 分 ∴P( A) ?

3 1 ? .………………………………………………………………………6 分 12 4

(II)基本事件有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 16 个,…………………………8 分 设“直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x ? y ?
2 2

1 1 1 有公共点”为事件 B,由题意 ? , 2 2 16 4 a ?b

即 a ? b ? 16 ,则事件 B 包含的基本事件有(1,4) , (2,4) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) ,
2 2

(4,3) , (4,4)共 8 个,………………………………………………………………11 分 ∴P( B) ?

8 1 ? ..………………………………………………………………………12 分 16 2

20.解答: (1)? m ? n , ? 2sin

x x (1 ? 2sin 2 ) ? 3 cos x ? 0 ???????2 分 2 4

x x ? 3 cos x ? 2sin cos ? sin x 2 2

? tan x ? 3

? x ? k? ?

?

3

,k ?Z ,

??????5 分

? x 的取值的集合为: {x | x ? k? ?
(2) f ( x) ? 2sin

?
3

, k ? Z} .

??????6 分

x x (1 ? 2sin 2 ) ? 3 cos x ? 2t ? sin x ? 3 cos x ? 2t 2 4

? 2sin( x ? ) ? 2t 3
∵函数 f ( x ) 有两个零点,

?

?????8 分

∴方程 2sin( x ?

?
3

) ? 2t ? 0 当 x ? [0, ? ] 时有两个解,

∴y= 2t 与 y= 2sin( x ?

?
3

),x ?[0, ?] 图像有两个交点.
? [?

?????11 分

当 x ? [0, ? ] 时, x ?

?
3

? 2?
3 , 3

],
?????13 分

3 ,1) . 2 21.解 : (Ⅰ )设圆心为 (a, ?2a) , a ? 0 ,
由图像得, 2t ? [ 3, 2) , t ?[
2 2 2

? MN ? 由勾股定理可得 r ? d ? ? , ? (其中 d 是弦心距, MN 是截得的弦长) ? 2 ?
即: 9 ? 5 ? ?2a ? a ? ?1 .又 a ? 0 ,则 a ? 1 ,圆心 C ?1, ?2? .
2

圆 C 的标准方程是: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 .………………………………………4 分 (Ⅱ )方法一:利用圆中的勾股定理(半径,半弦长,弦心距)解决问题. 设直线 l : x ? y ? m ? 0 ,设以 AB 为直径的圆 M 的圆心为 M ? a, b ? , 因为 l 的斜率为 1,所以在圆 C 中有 kMC ? ?1. 由 C ?1, ?2? 得

b?2 ? ?1 即 b ? ? a ? 1 . (*) …………………………………………8 分 a ?1

以 AB 为直径的圆过原点, OM ? AM ? BM ? 由 AM
2 2 2

a 2 ? b2 .

? MC ? AC 得 a2 ? b2 ? (a ?1)2 ? (b+2)2 ? 9 .
2

把(*)式代入上式,得 2a ? a ? 3 ? 0 从而 a ? ?1或a ?

3 ,……………………11 分 2

3 ? a? ? ? a ? ?1 ? 2 或? 故? b ? 0 ? ?b ? ? 5 ? ? 2
又 ? a, b ? 在直线 l : x ? y ? m ? 0 上,故 m ? b ? a ? m ? 1或m ? ?4 , ∴ 直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 .……………………………14 分 方法二:利用韦达定理解决问题. l 的斜率为 1,可设 l : y ? x ? b ,交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,…………………5 分 与圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 联立得: x ? ( x ? b) ? 2x ? 4( x ? b) ? 4 ? 0 ,
2 2 2 2

即 2 x ? (2 ? 2b) x ? b ? 4b ? 4 ? 0
2 2

①……………………………………7 分 (★ )…………………………………9 分

? x1 ? x2 ? ?(b ? 1) ? 由韦达定理可得 ? b2 ? 4b ? 4 x x ? ? 1 2 ? 2

以 AB 为直径的圆过原点,则

y1 y2 ? ?1 ,即 : x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , …………10 分 x1 x2

故 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 ,把(★ )式代入得 b2 ? 4b ? 4 ? b(b ? 1) ? b2 ? 0 ,

即b2 ? 3b ? 4 ? 0 ,∴b ? 1 或 b ? ?4 ..……………………………………………12 分 经检验:当 b ? 1 或 b ? ?4 时均能使① 式中的判别式大于 0 成立, 所以 b ? 1 或 b ? ?4 都是方程的解. ∴ 直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 ..………………………………14 分


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