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2015-2016学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题(实验班)



2015-2016 学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题(实验班)
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I卷
目要求. 1.下列结论正确的是(

共 60 分

一、

选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题


A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? C.当 x ? 2 时, x ?

1 ?2 lg x

B.当 x ? 0 时, x ?

1 ?2 x
1 无最大值 x


1 的最小值为 2 x

D.当 0 ? x ? 2 时, x ?

2 2.关于 x 的不等式 m x ? m x ? 1 ? 0 的解集是全体实数,则 m 应满足的条件是(

A. [?4,0]

B. ? ?4,0?

C. ? 0, 4 ?

D. ? ?4,0 ?

3.已知数列 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项和,且 ( A. )

S4 1 1 ,则数列 { } 的前 5 项和为 ? an S 8 17
31 16

31 11 或 16 16

B.

11 21 或 16 16

C.

11 16

D.

4. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到 A 处时测得公路北侧远处 一山顶 D 在西偏北 ? 方向上,行驶 a 千米后到达 B 处,此时测得此山顶在西偏北

? 方向上,仰角为 ? , 根据这些测量数据计算 ( 其中 ? ? ? ) ,此山的高度是
( A. )

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? tan? sin(? ? ? )

C.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

D.

a sin ? tan? sin(? ? ? )

a ? 10 , b ? 7, 5. 在 ?ABC 中, ①若 B ? 60? , 则该三角形有且仅有两解; ②若三角形的三边的比是 3 : 5 : 7 ,
则此三角形的最大角为钝角;③若 ?ABC 为锐角三角形,且三边长分别为 2,3, x ,则 x 的取值范围是

5 ? x ? 13 .其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6 . 已 知 约 束 条 件 对 应 的 平 面 区 域 D 如 图 所 示 , 其 中 l1 , l2 , l3 对 应 的 直 线 方 程 分 别 为 : 在点 A(m, n) 处取到 y ? k1x ? b1, y ? k2 x ? b2 , y ? k3 x ? b3 ,若目标函数 z ? ?kx ? y 仅 . 最大值,则有( )

y l3 A(m,n) l1 l2 O x



1第

A. k1 ? k ? k2 C. k1 ? k ? k3

B. k1 ? k ? k3 D. k ? k1 或 k ? k3

sin C ? sin( A ? B ) ? 3 sin 2 B .若 C ? 7. 在 ?ABC 中, 角 A, B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,

?
3

,则

a ?( b



A.

1 2

B.3

C.

1 或3 2

D.3 或

1 4

8.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 c 2 ? (a ? b)2 ? 6 , ?ABC 的面积为 则C ? ( ) B.

3 3 , 2

? A. 3

2? 3

C.

? 6

D.

5? 6

9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S100 ? 0, S101 ? 0 ,对任意正整数 n ,都有 | an |?| ak | ,则 k 的 值为( A.49 ) B.50 C.51 D.52

10 .已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? n ,令 bn ? a n cos

n? ,记数列 {bn } 的前 n 项为 T n ,则 2

T2015 ? (
A. ? 2011

) B. ? 2012 C. ? 2013 D. ? 2014 )

? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? 11.若不等式组 ? 2 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( ? ? x ? 4 x ? (1 ? a) ? 0
A. (??, ?4] B. [?4, ??) C. [?4, 20] D. [?40, 20)

12.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, 正整数 t 的最小值为( A.10 B.9 C .8

n 1 1 t ? ? 4 ? ,记 对任意的 n (n ? N ) 恒成立,则 S ? ai2 ai2?1 ,若 S n ? ? n 2 an an ?1 30 i ?1

) D.7

第Ⅱ卷

共 90 分

二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置.
?x ? y ? 0 ? 13.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 4,则 a = ? y?0 ?
14.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , ?Sn ? nan ? 为常数列,则 an ? 15.若数列 ?an ? 满足


1 p ? ? 0 , n ? N * , p为非零常数 ,则称数列 ?an ? 为“梦想数列”.已知正项 an?1 an
2第

数列 ?

?1? 99 ? 为“梦想数列”,且 b1b2b3 ?b99 ? 2 ,则 b8 ? b92 的最小值是 ? bn ?
1 1 ? ,则实数 ? 的值为 ? ? tan A tan B tan C

16.已知点 G 是 ?ABC 的重心,且 AG ? BG,

三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)
关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 , (a ? R ) (1)已知不等式的解集为 (2)解关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 .

? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? ,求 a 的值;

18.(本小题满分 10 分)
1? ? 2 设 Sn 是数列 [an} 的前 n 项和, a1 ? 1, S n ? an ? S n ? ?(n ? 2) .(1)求 ?S n ? 的通项;(2)设 2? ?
bn ? Sn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

19. (本小题满分 12 分) 如图,C 、D 是两个小区所在地,C 、D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为 CA ? 1 km ,DB ? 2 km ,AB 两端之间的距离为 6 km . (1)某移动公司将在 AB 之间找一点 P ,在 P 处建造一个信号塔,使得 P 对 A 、 C 的张角与 P 对 B 、 D
的张角相等,试确定点 P 的位置. (2)环保部门将在 AB 之间找一点 Q ,在 Q 处建造一个垃圾处理厂,使得 Q 对 C 、 D 所张角最大,试确 定点 Q 的位置.
D C A B C A B D

P

Q

20.(本小题满分 12 分)
在 ?ABC 中,已知 sin B ? cos A sin C (1)判断 ?ABC 的形状(2)若 AB ? AC ? 9 ,又 ?ABC 的面积等于 6.求 ?ABC 的三边之长; (3)在(2)的条件下,设 p 是 ?ABC (含边界)内一点, p 到三边 AB、BC、CA 的距离分别为 d1、d2、d3 ,求 d1 ? d 2 ? d 3 的取值范围.

??? ? ??? ?

21.(本小题满分 12 分)
某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90°,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,
页 3第

F,如图(1),使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2),建造△DEF 连廊(不考虑宽 度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,求△DEF 边长的最小值.

22. (本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 (1)若对于任意的 x ? R, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; 4x ? 2x ?1

(2) 若 f ( x) 的最小值为 ? 2 , 求实数 k 的值; (3) 若对任意的 x1 , x2 , x3 ? R , 均存在以 f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) 为三边长的三角形,求实数 k 的取值范围. 附加题:研究数列 {xn} 的前 n 项发现:{xn} 的各项互不相同,其前 i 项( 1 ? i ? n ? 1 )中的最大者记为 ai , 最后 n ? i 项( 1 ? i ? n ? 1 )中的最小者记为 bi ,记 ci ? ai ? bi ,此时 c1 , c2 ,?cn?2 , cn?1 构成等差数列,且

c1 ? 0 ,证明: x1 , x2 , x3 ? xn?1 为等差数列.
期中考试参考答案 4. B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.B 15.4 16.1/2

1.B 2.B 3.A 二、填空题 13.2 14. 2 / n(n ? 1)

12.C

17. (1) a ? 1 ; (2) a ? 0 时原不等式解集为

?x x ? ?1 ? ; a ? 0 时原不等式解集为 ?x x ? ?1或x ? 2 ? ; a
? ; a ? ?2 时 原 不 等 式 解 集 为 ?
x x ? ?1

?2 ? a ? 0 时 原 不 等 式 解 集 为 x

?

2 ? x ? ?1 a

? ; a ? ?2

时原不等式解集为

2 ?. ?x ? 1 ? x ? a
18.

19.



4第

20

21.



5第

22. (1) k ? ?2

(2) f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 ? 1? 4x ? 2x ?1

1 k ?1 k ?1 x (t ? 3) , ,令 t ? 2 ? x ? 1 ? 3 ,则 y ? 1 ? 1 t 2 x 2 ? x ?1 2

当 k ? 1 时, y ? (1,

k?2 k ?2 ] 无最小值,舍去;当 k ? 1 时, y ? 1 最小值不是 ? 2 ,舍去;当 k ? 1 时, y ? [ ,1) ,最小值 3 3



k?2 ? ?2 ? k ? ?8 ,综上所述, k ? ?8 。 3
2k ? 4 且 3

( 3 ) 由 题 意 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 对 任 意 x1 , x2 , x3 ? R 恒 成 立 。 当 k ? 1 时 , 因 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

1 ? f ( x3 ) ?

k?2 k?2 ? 2 ,即 1 ? k ? 4 ;当 k ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 1,满足条件; ,故 3 3 k?2 1 1 2k ? 4 2k ? 4 ? f ( x3 ) ? 1 ,故 1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 且 , ? ? k ? 1 ;综上所述, ? ? k ? 4 3 2 2 3 3

当 k ? 1 时,



6第



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