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2015-2016学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题(实验班)

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2015-2016 学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学理试题（实验班）
本试卷共 4 页． 满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项：试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

第I卷
目要求. 1．下列结论正确的是（

共 60 分

一、

选择题：本大题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
）

A．当 x ? 0 且 x ? 1 时， lg x ? C．当 x ? 2 时， x ?

1 ?2 lg x

B．当 x ? 0 时， x ?

1 ?2 x
1 无最大值 x
）

1 的最小值为 2 x

D．当 0 ? x ? 2 时， x ?

2 2．关于 x 的不等式 m x ? m x ? 1 ? 0 的解集是全体实数,则 m 应满足的条件是（

A． [?4,0]

B． ? ?4,0?

C． ? 0, 4 ?

D． ? ?4,0 ?

3．已知数列 ?an ? 是首项为 1 的等比数列， S n 是 ?an ? 的前 n 项和，且 （ A． ）

S4 1 1 ，则数列 { } 的前 5 项和为 ? an S 8 17
31 16

31 11 或 16 16

B．

11 21 或 16 16

C．

11 16

D．

4． 一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 A 处时测得公路北侧远处 一山顶 D 在西偏北 ? 方向上，行驶 a 千米后到达 B 处，此时测得此山顶在西偏北

? 方向上，仰角为 ? , 根据这些测量数据计算 ( 其中 ? ? ? ) ，此山的高度是
（ A． ）

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B．

a sin ? tan? sin(? ? ? )

C．

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

D．

a sin ? tan? sin(? ? ? )

a ? 10 ， b ? 7， 5． 在 ?ABC 中， ①若 B ? 60? ， 则该三角形有且仅有两解； ②若三角形的三边的比是 3 : 5 : 7 ，
则此三角形的最大角为钝角；③若 ?ABC 为锐角三角形，且三边长分别为 2,3, x ，则 x 的取值范围是

5 ? x ? 13 ．其中正确命题的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

6 ． 已 知 约 束 条 件 对 应 的 平 面 区 域 D 如 图 所 示 ， 其 中 l1 , l2 , l3 对 应 的 直 线 方 程 分 别 为 ： 在点 A(m, n) 处取到 y ? k1x ? b1, y ? k2 x ? b2 , y ? k3 x ? b3 ，若目标函数 z ? ?kx ? y 仅 ． 最大值，则有（ ）

y l3 A(m,n) l1 l2 O x

页

1第

A． k1 ? k ? k2 C. k1 ? k ? k3

B. k1 ? k ? k3 D. k ? k1 或 k ? k3

sin C ? sin( A ? B ) ? 3 sin 2 B .若 C ? 7． 在 ?ABC 中， 角 A, B , C 所对应的边分别为 a , b , c ，

?
3

,则

a ?（ b

）

A.

1 2

B.3

C.

1 或3 2

D.3 或

1 4

8．在 ?ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，若 c 2 ? (a ? b)2 ? 6 ， ?ABC 的面积为 则C ? ( ) B．

3 3 ， 2

? A． 3

2? 3

C．

? 6

D．

5? 6

9．设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，且满足 S100 ? 0, S101 ? 0 ，对任意正整数 n ，都有 | an |?| ak | ，则 k 的 值为( A.49 ) B.50 C.51 D.52

10 ．已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? n ，令 bn ? a n cos

n? ，记数列 {bn } 的前 n 项为 T n ，则 2

T2015 ? (
A． ? 2011

） B． ? 2012 C． ? 2013 D． ? 2014 ）

? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? 11．若不等式组 ? 2 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是（ ? ? x ? 4 x ? (1 ? a) ? 0
A． (??, ?4] B． [?4, ??) C． [?4, 20] D． [?40, 20)

12．数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, 正整数 t 的最小值为（ A．10 B．9 C ．8

n 1 1 t ? ? 4 ? ，记 对任意的 n (n ? N ) 恒成立，则 S ? ai2 ai2?1 ，若 S n ? ? n 2 an an ?1 30 i ?1

） D．7

第Ⅱ卷

共 90 分

二、填空题：本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷的相应位置.
?x ? y ? 0 ? 13．已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ，若 z ? ax ? y 的最大值为 4，则 a = ? y?0 ?
14．设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 ? 1 ， ?Sn ? nan ? 为常数列，则 an ? 15．若数列 ?an ? 满足
页

1 p ? ? 0 ， n ? N * , p为非零常数 ，则称数列 ?an ? 为“梦想数列”．已知正项 an?1 an
2第

数列 ?

?1? 99 ? 为“梦想数列”，且 b1b2b3 ?b99 ? 2 ，则 b8 ? b92 的最小值是 ? bn ?
1 1 ? ,则实数 ? 的值为 ? ? tan A tan B tan C

16．已知点 G 是 ?ABC 的重心,且 AG ? BG,

三、解答题：本大题有 6 题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 10 分）
关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 ， (a ? R ) （1）已知不等式的解集为 （2）解关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 ．

? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? ，求 a 的值；

18．（本小题满分 10 分）
1? ? 2 设 Sn 是数列 [an} 的前 n 项和， a1 ? 1, S n ? an ? S n ? ?(n ? 2) ．（1）求 ?S n ? 的通项；（2）设 2? ?
bn ? Sn ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ． 2n ? 1

19． （本小题满分 12 分） 如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为 CA ? 1 km ，DB ? 2 km ，AB 两端之间的距离为 6 km . （1）某移动公司将在 AB 之间找一点 P ，在 P 处建造一个信号塔，使得 P 对 A 、 C 的张角与 P 对 B 、 D
的张角相等，试确定点 P 的位置. （2）环保部门将在 AB 之间找一点 Q ，在 Q 处建造一个垃圾处理厂，使得 Q 对 C 、 D 所张角最大，试确 定点 Q 的位置.
D C A B C A B D

P

Q

20．(本小题满分 12 分)
在 ?ABC 中，已知 sin B ? cos A sin C （1）判断 ?ABC 的形状（2）若 AB ? AC ? 9 ,又 ?ABC 的面积等于 6.求 ?ABC 的三边之长； （3）在（2）的条件下，设 p 是 ?ABC （含边界）内一点， p 到三边 AB、BC、CA 的距离分别为 d1、d2、d3 ，求 d1 ? d 2 ? d 3 的取值范围.

??? ? ??? ?

21．(本小题满分 12 分)
某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2 百米，BC=1 百米． (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在 AB、BC、CA 上取点 D，E，
页 3第

F，如图(1)，使得 EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF 喂食，求△DEF 面积 S△DEF 的最大值； (2)现在准备新建造一个荷塘，分别在 AB，BC，CA 上取点 D，E，F，如图(2)，建造△DEF 连廊（不考虑宽 度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．

22． （本小题满分 14 分）
已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 （1）若对于任意的 x ? R, f ( x) ? 0 恒成立，求实数 k 的取值范围； 4x ? 2x ?1

（2） 若 f ( x) 的最小值为 ? 2 ， 求实数 k 的值； （3） 若对任意的 x1 , x2 , x3 ? R ， 均存在以 f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) 为三边长的三角形，求实数 k 的取值范围． 附加题：研究数列 {xn} 的前 n 项发现：{xn} 的各项互不相同，其前 i 项（ 1 ? i ? n ? 1 ）中的最大者记为 ai ， 最后 n ? i 项（ 1 ? i ? n ? 1 ）中的最小者记为 bi ，记 ci ? ai ? bi ，此时 c1 , c2 ,?cn?2 , cn?1 构成等差数列，且

c1 ? 0 ，证明： x1 , x2 , x3 ? xn?1 为等差数列.
期中考试参考答案 4． B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 11．B 15．4 16．1/2

1．B 2．B 3．A 二、填空题 13．2 14． 2 / n(n ? 1)

12．C

17． （1） a ? 1 ； （2） a ? 0 时原不等式解集为

?x x ? ?1 ? ； a ? 0 时原不等式解集为 ?x x ? ?1或x ? 2 ? ； a
? ； a ? ?2 时 原 不 等 式 解 集 为 ?
x x ? ?1

?2 ? a ? 0 时 原 不 等 式 解 集 为 x

?

2 ? x ? ?1 a

? ； a ? ?2

时原不等式解集为

2 ?． ?x ? 1 ? x ? a
18．

19．

页

4第

20

21．

页

5第

22． （1） k ? ?2

（2） f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 ? 1? 4x ? 2x ?1

1 k ?1 k ?1 x (t ? 3) ， ，令 t ? 2 ? x ? 1 ? 3 ，则 y ? 1 ? 1 t 2 x 2 ? x ?1 2

当 k ? 1 时， y ? (1,

k?2 k ?2 ] 无最小值，舍去；当 k ? 1 时， y ? 1 最小值不是 ? 2 ，舍去；当 k ? 1 时， y ? [ ,1) ，最小值 3 3

为

k?2 ? ?2 ? k ? ?8 ，综上所述， k ? ?8 。 3
2k ? 4 且 3

（ 3 ） 由 题 意 ， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 对 任 意 x1 , x2 , x3 ? R 恒 成 立 。 当 k ? 1 时 ， 因 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

1 ? f ( x3 ) ?

k?2 k?2 ? 2 ，即 1 ? k ? 4 ；当 k ? 1 时， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 1，满足条件； ，故 3 3 k?2 1 1 2k ? 4 2k ? 4 ? f ( x3 ) ? 1 ，故 1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 且 ， ? ? k ? 1 ；综上所述， ? ? k ? 4 3 2 2 3 3

当 k ? 1 时，

页

6第



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