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高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教材基础北师大版选修2-2资料



§3

定积分的简单应用

我们可直接用定积分的定义计算有些定积分的值.但对于有些定积分,如

?1

2 1 dx,几乎不可 x

能直接用定义计算.那么,有没有更简便的方法求定积分呢?这就是我们本节所要研究的微积 分基本定理的主要内容. 高手支招 1 细品教材 一、路程与路程函数导数的关系 1.条件:运动物体经过的一段路程 s 关于时间 t 的函数为 s=s(t),且 t∈ [a,b] ;物体从时刻 t=a 到 t=b 走过的路程为 s(b)-s(a). 状元笔记 1.物体从 t=a 到 t=b 所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积. 2.连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分. 2.问题:物体经过的一段路程与路程函数导数有何关系? 状元笔记 1.物体从 t=a 到 t=b 所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积. 2.连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分. 3.推导 (1)区间分割 a=t0<t1<t2<…<tn=b. (2)物体在区间[a,b]内的路程与各分割区间内的路程的关系 s(b)-s(a)=[s(t1)-s(t0)]+[s(t2)-s(t1)]+…+[s(tn)-s(tn-1)]=s(t1)-s(t0). (3)运动物体在各分割区间上走过的路程与其速度函数如右图所示. 因此得出:s(b)-s(a)≈

v(t0)Δ t1+(t1)Δ t2+…+v(t n-1)Δ tn. (4)积分表示:s(b)-s(a)=

? a v(t)dt. ? a s′(t)dt.
b

b

(5)推出结论:s(b)-s(a)=

二、微积分基本定理 1.微积分基本定理的内容:设 f(x)在区间 [a,b] 上连续,且 F(x)是它在该区间上的一个原函 数,则有

? a f(x)dx=F(b)-F(a).

b

状元笔记 微积分基本定理建立了积分与导数间的密切关系 ,可以看出,若要求出某一连续 函数的定积分,只需要求出导函数的一个原函数,就可利用牛顿—莱布尼茨公式求出这个函 数的定积分,这是求定积分的一个重要方法.

1

2.牛顿—莱布尼茨公式: (1)

? a f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x) | .
a

b

b

通常称 F(x)是 f(x)的一个原函数. (2)在计算定积分时,常常用记号 F(x)

| 来表示 F(b)-F(a),牛顿—莱布尼茨公式也可写作
a

b

? a f(x)dx=F(x) | =F(b)-F(a).
a

b

b

(3)微积分基本定理表明,计算定积分

? a f(x)dx 的关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x).

b

只要我们求出 f(x) 的一个原函数 F(x), 在区间两端点处的函数值之差 F(b)-F(a) 就是

? a f(x)dx 的值.
三、定积分的简单应用 1.求平面图形的面积 定积分可以用来计算曲边梯形的面积,某些曲面面积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差 的形式,因此也可以用定积分计算. 2 【示例】如图,求直线 y=2x+3 与抛物线 y=x 所围成的图形的面积.

b

思路分析: 从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差, 进而可以用定积分求出面积.为了确定被积函数和积分的上、 下限,我们需要求出两条曲线交 点的横坐标. 解:由方程组可得 x1=-1,x2=3. 故所求图形的面积为 S=

? ?1

3

(2x+3-x )dx=[x +3x ?
2 2

32 x3 3 ]| -1= . 3 3

2.求简单几何体的体积 利用定积分可以求出一些简单的几何体的体积,如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等. 高手支招 2 基础整理 微积分基本定理不仅揭示了导数和积分之间的内在联系,而且还提供了计算积分的一种 有效方法.下面将微积分的意义及常见作用总结如下:

2

3



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