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已打印高一数学必修2第一章空间几何体的结构及其三视图和直观图测试题



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高一数学必修 2 第一章空间几何体的结构及其三视图和直观图
基础自测
1.下列不正确的命题的序号是 . ①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 ③有一个面是多边形,其余各面都是三角形

的几何体叫棱锥 ④有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角) 是 . 2 3.如果一个几何体的三视图如图所示 (单位长度: , cm) 则此几何体的表面积是 cm .

4.(2008·宁夏文,14)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积 为 . 5.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为

.

例题精讲
1. 下列结论不正确的是 (填序号). ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 2 。 已知△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形,求原三角形 ABC 的面积.

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3.

一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.

4 . 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图所示, 求图中三角形(正四面体的截面)的面积.

巩固练习
1.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥” ,四条侧棱称为它的腰,以下四 个命题中为真命题的是 (填序号). ①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面积 等于 . 3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高 为 4 的等腰三角形,左视图(或称侧视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

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(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

4.(2007·全国Ⅱ文,15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上.如果正 2 四棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm .

课后作业
一、填空题 1.利用斜二测画法可以得到: ①三角形的直观图是三角形, ②平行四边形的直观图是平行四 边形,③正方形的直观图是正方形,④菱形的直观图是菱形,以上正确结论的序号 是 . 2.如图所示,甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号是 .

①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱. 3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

.

4.用若干个大小相同,棱长为 1 的正方体摆成一个立体模型,其三视图如下:

根据三视图回答此立体模型的体积为
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.

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5.棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E、F 分别是棱 AA1、DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为 . 6.(2008·湖北理)用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积 为 . 7.用小立方块搭一个几何体,使得它的正视图和俯视图如图所示,这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用 个小立方块.

8.如图所示,E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体 的面上的正投影可能是 .(把可能的图的序号都填上)

二、解答题 9.正四棱台 AC1 的高是 17 cm,两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm,求这个棱台的侧棱长和 斜高.

10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 cm ,母线与轴的 夹角是 45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.

2

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11.正四棱锥的高为 3 ,侧棱长为 7 ,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少?

12. 如图所示的几何体中, 四边形 AA1B1B 是边长为 3 的正方 形, CC1=2,CC1∥AA1,这个几何体是棱柱吗?若是,指出是几棱 柱. 若不是棱柱,请你试用一个平面截去一部分,使剩余部分是一个 棱长为 2 的三棱柱,并指出截去的几何体的特征,在立体图中画出截面.

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参考答案:
基础自测: 1. ①②③ 4.
4 ? 3

2. 60° 5.
6 2 a 16

3.

(20+4 2 )

例题精讲 1.答案 ①②③ 解析 ①错误.如右图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起 构成的几何体,各面都是三角形,但它不一定是棱锥.

②错误.如下图,若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几 何体都不是圆锥.

③错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六 边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. ④正确. 2.解 建立如图所示的 xOy 坐标系,△ABC 的顶点 C 在 y 轴上,AB 边在 x 轴上,OC 为△ ABC 的高,把 y 轴绕原点顺时针旋转 45°得 y′轴,则点 C 变为点 C′,且 OC=2OC′,A、B 点即为 A′、 B′点,AB=A′B,已知 A′B′=A′C′=a,在△OA′ C′中, 由正弦定理得
sin 120 ? A' C ' 6 OC a= = ,所以 OC′= a, ? ? 2 sin ?OA' C' sin 45 sin 45

6 2 1 所以原三角形 ABC 的高 OC= 6 a,所以 S△ABC= ×a× 6 a= a .

2

2

3.解: 由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示: 且 AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形 ABC 和正三角形 A′B′C′的高为 2 3 cm. ∴正三角形 ABC 的边长为 |AB|=
2 3 sin 60 ?

=4.

∴该三棱柱的表面积为
1 2 2 S=3×4×4+2× ×4 sin60°=48+8 3 (cm ). 2 1 2 3 体积为 V=S 底·|AA′|= ×4 sin60°×4=16 3 (cm ). 2
2 3 故这个三棱柱的表面积为(48+8 3 )cm ,体积为 16 3 cm .

4. 解

如图所示,△ABE 为题中的三角形,
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由已知得 AB=2,BE=2× BF= BE=
2 3

3 = 3, 2

4 8 2 3 ,AF= AB 2 ? BF 2 = 4 ? = ,∴△ABE 的面积为 3 3 3 8 3

1 1 S= ×BE×AF= × 3 × 2 2

= 2 .∴所求的三角形的面积为 2 .

巩固练习
1. ①③④ 2. 2 2 a 3. 解 : (1)由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知,该几何体是四棱锥, 且四棱锥的底面 ABCD 是边长为 6 和 8 的矩形,高 VO=4,O 点是 AC 与 BD 的交点. ∴该几 何体的体积 V= ×8×6×4=64. (2)如图所示,侧面 VAB 中,VE⊥AB,则 VE= VO2 ? OE2 = 4 2 ? 32 =5∴S△VAB= ×AB×VE= ×8×5=20 侧面 VBC 中,VF⊥BC,则 VF= VO2 ? OF 2 = 4 2 ? 4 2 =4 2 . ∴S△VBC= ×BC×VF= ×6×4 2 =12 2 ∴该几何体的侧面积 S=2(S△VAB+S△VBC)=40+24 2 . 4. 2+4 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 3
2

课后作业
1. ①② 5.
2

2. ④③② 6.
8 2? 3

3.②④ 7. 9 14

4.

5 8. ②③

9.解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 O1、O,B1C1 和 BC 的中点分别是 E1 和 E,连 接 O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE,则四边形 OBB1O1 和 OEE1O1 都是直角梯形. ∵A1B1=4 cm,AB=16 cm, ∴O1E1=2 cm,OE=8 cm, O1B1=2 2 cm,OB=8 2 cm,∴B1B =O1O +(OB-O1B1) =361 cm ,
2 2 2 2 E1E =O1O +(OE-O1E1) =325 cm ,∴B1B=19 cm,E1E=5 13 cm. 2 2 2 2

答 这个棱台的侧棱长为 19 cm,斜高为 5 13 cm.

10. 解 : 圆台的轴截面如图所示,设圆台上下底面半径分别为 x cm,3x cm.延长 AA1 交 OO1
的延长线于 S, 在 Rt△SOA 中,∠ASO=45°, 则∠SAO=45°,
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∴SO=AO=3x,∴OO1=2x,又 S 轴截面= (6x+2x) ·2x=392,∴x=7. 故圆台的高 OO1=14 (cm),母线长 l= 2 O1O=14 2 (cm), 两底面半径分别为 7 cm,21 cm.

1 2

11. 解 : 如 图 所 示 , 正 棱 锥 S-ABCD 中 高 OS=
SA=SB=SC=SD= 7 , 在 Rt△SOA 中, OA= SA2 ? OS 2 =2,∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=2 2 .作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点. 连接 SE,则 SE 即为斜高,则 SO⊥OE.在 Rt△SOE 中,

3

,侧棱

1 ∵OE= BC= 2 ,SO= 3 ,∴SE= 5 ,即侧面上的斜高为 5 . 2

12. 解 这个几何体不是棱柱;在四边形 ABB1A1 中,在 AA1 上取点 E,使 AE=2;在 BB1 上取
F 使 BF=2;连接 C1E,EF,C1F,则过 C1EF 的截面将几何体分成两部分,其中一部分是棱柱 ABC—EFC1,其棱长为 2;截去的部分是一个四棱锥 C1—EA1B1F.

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