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惠安一中高三数学每周一练(10)



惠安一中高三数学每周一练(10)
命题 陈腾
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. )

2 1.集合 M= y | y ? x ? 1, x ? R ,集合 N= x | y ? 9 ? x 2 , x ? R ,则 M ? N=( ▲ )

?

?

r />?

?

A.

?t | 0 ? t ? 3?

B.

?t | ?1 ? t ? 3?

C.

?(?

2,1), ( 2,1)

?

D.

?

2.下列 4 个命题

1 1 p1 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ( ) x 2 3 1 p3 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ㏒ 1/2x 2
其中的真命题是( ▲ )

p2 : ?x ? (0,1), ㏒ 1/2x>㏒ 1/3x
1 1 p4 : ?x ? (0, ), ( ) x ? ㏒ 1/3x 3 2

A

p1 , p3

B

p1 , p4
2 2

C

p2 , p3

D

p2 , p4

3. 若 a, b ? (0,??) ,则“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? 1 ? a ? b ”成立的( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 已知 f ( x ) 是偶函数,且 A. 0 B. 4 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

6

0

f ( x)dx ? 8, 则? f ( x)dx ? ( ▲ )
?6

6

C. 8

D.16

5. 已知函数 f ( x) ? a x , g ( x) ? xa , h( x) ? loga x(a > 0且a ? 1) , 在同一直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图像, 其中正确的是( ▲ )

A

B

C

D

6.下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ▲ )

A. f ( x) ? ex

B.f ( x) ? x3

C.f ( x) ? ln x

D.f ( x) ? sin x
2 3 ? 的最小值 a b

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 7.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? x ? 0, y ? 0 ?
为( ▲ ) A.

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,则

25 6

B.

8 3

C.

11 3

D. 4

8. 已知图 1 中的图像对应的函数为 y ? f ( x ) ,则图 2 中的图像对应的函数在下列给出的四式中,只可能是( ▲ )

A. y ? f (| x |)

B. y ?| f ( x ) |
y

C. y ? f ( ? | x |)
y

D. y ? ? f (? | x |)

O

x

O

x

图1

图2

9. 已知函数 f ( x ? 1) 为奇函数,函数 f ( x ? 1)为偶函数 , 且f (2) ? 2, 则f (6) =( ▲ ) A.—1 B.1 C.—2 D.2 对 任 意 x? R ,

10 . 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 满 足 下 列 条 件 : ①

f( x )?

f( ?

x )? ;0②

对任意

x1, x2?? 1 ,? a当 , > x 时,都有 x 2 1
A f (a) > f (0)

f( > 2x)

▲ ) f(> x0 ) 1 ,则下列不等式不一定成立的是(

1? a B f( ) > f ( a) 2

1 ? 5a C f( ) > f ( ?a ) 1? a

1 ? 3a D f( ) > f ( ?a ) 1? a

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,) 11 . 如图,函数 y ? f ( x) 的 图象在 点 P 处 的切线是 l , 则 ▲ . O 2 4 y=f(x) x y 4.5 l

f ( 2)? f ? ( 2)

=

12.已知二次函数

f ( x) ? ax ? bx ? c的导数为 f ?( x), f ?(0) ? 0 ,对于任意实数
2

x, 有 f ( x) ? 0, 则

(第 11 题图) 最小值为 ▲ 13.已知: t 为常数,函数 y ?| x 2 ? 2 x ? t | 在区间 [0, 3] 上的最大值为 3 ,则实数 t ? __▲____. 14.设函数 f ( x ) ? 域为 ▲ ___.

f (1) 的 f ?(0)

1 1 ax (a ? 0, a ? 1),[m ] 表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 g( x ) ? [ f ( x ) ? ] ? [ f ( ? x ) ? ] 的值 x 2 2 1? a

3 2 15.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d ( b, c, d 为常数) ,当 m ? (??,1) ? (5, ??) 时,方程 f ( x) ? m ? 0 有且只有一个实数

解; m ? (1,5) 时,方程 f ( x) ? m 有三个不同的实数解。现给出下列命题: ① 函数 f ( x ) 有两个极值点; ② 方程 f ( x) ? 5和f ?( x) ? 0 有一个相同的实根; ③方程 f ( x) ? 4 ? 0 的任一实根都小于方程 f ( x) ? 4 ? 0 的任一实根; ④ 函数 f ( x ) 的最大值是 5,最小值是 1。 其中正确命题的序号是______▲_________.

16. (本小题满分 14 分) 选修 4-2:矩阵与变换 给定矩阵 A ? ?

? 3 3? ?4 ? ? 及向量 ? = ? ? 。 ? 2 4? ? ?1?

(1)求 A 的特征值 ?1 , ?2 (其中 ?1 ? ?2 ) ; (2)求 A 属于 ?1 的特征向量 ?1 ,及属于 ?2 的特征向量 ? 2 ; (3)试确定实数 s , t , 将向量 ? 表示为 ? ? s?1 ? t? 2 .

选修 4—5:不等式选讲 设 ?ABC 的三边长分别为 a, b, c ,证明:

a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c. b?c?a c?a ?b a ?b?c

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x

? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;

18.(本小题满分 13 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行 , 且 y ? g ( x) 在 x = - 1 处取得最小值 m - 1(m ? 0 ). 设函数

f ( x) ?

g ( x) ,若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 w.w.k.s.5. x

19、 (本小题满分 13 分) 某公司为了应对金融危机,决定适当进行裁员.已知这家公司现有职工 2m 人(60<m<500,且 m 为 10 的整数倍),每人每 年可创利 100 千元.据测算,在经营条件不变的前提下,若裁员人数不超过现有人数的 20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人 每年就能多创利 1 千元;若裁员人数超过现有人数的 20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年就能多创利 2 千元.为保证公 司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的 75%.为保障被裁员工的生活,公司要付给被裁员工每人每年 20 千 元的生活费.问:为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?

20、 (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(1)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? b(a < 0, 且a, b ? R) 。 设关于 x 的不等式 f ( x) > 0 的解集为 (x1 , x2 ), 且方程 f ( x) ? x 的两实 根为 ? , ? 。 (1)若 ? ? ? ? 1,求 a , b 的关系式; (2)若 a , b 都是负整数,且 ? ? ? ? 1,求 f ( x ) 的解析式; (3)若 ? < 1< ? < 2 ,求证: ( x1 ? 1)( x2 ? 1) < 7 。

BDADB 11. 9 8

DACCC 12. 2 13. 0 或-2 14. {?1, 0} 15. ①②③

16.解: (1)解特征方程 f (? ) ? ? 2 ? 7? ? 6 ? 0, 得 ?1 ? 6, ?2 ? 1. (2) 将 ?1 ? 6, ?2 ? 1. 分别代入方程组 ?

?(? ? 3) x ? 3 y ? 0, 解得 ?1 对应的特征向量 ??2 x ? (? ? 4) y ? 0,

?1 ? ? ? , ?2 对应的特征向量 ? 2 ? ? ? . ?1 2
? ? ? ?
(3)由(2)可知 ? ?

?1 ?

?3 ?

11 3 11 3 ?1 ? ? 2 , s ? , t ? . 5 5 5 5

?????????????7 分 因为 a, b, c 的三角形的三边,所以 b ? c ? a ? 0, c ? a ? b ? 0, a ? b ? c ? 0

a2 b2 c2 ? ? b?c?a c?a ?b a ?b?c

?

? a2 1 b2 c2 ? ? ? ? ? ? ?? b ? c ? a ? ? ? c ? a ? b ? ? ? a ? b ? c ? ? ? a ?b ?c?b ?c ?a c ? a ?b a ?b ?c ? ?
2

? ? 1 a2 b2 c2 ? ? b?c?a ? ? c? a ?b ? ? a?b?c? ? ? a?b?c? c ? a ?b a ?b?c ? b?c?a ?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?

1 2 ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ?????????????7 分 a?b?c

a 2 ax 2 ? a ? 2 17.解(Ⅰ) f '( x) ? ? ? , ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2
∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a? 12 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1. (Ⅱ) f '( x) ? ∵ x ? 0, a ? 0,

ax 2 ? a ? 2 , (ax ? 1)(1 ? x)2
∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??).

②当 0 ? a ? 2 时, 由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a 2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?). a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

18、解:(1)设 g ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1 b?2

?

b ? ?1 2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1,
f ? x? ?
2

c ? m;

g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 m x0 ? x0 ?

2 2m2 ? 2m ? 2
则由题意得当 0 ? x ?

m ? ?1 ? 2 ;w.w

19、解:设公司裁员人数为 x,获得的经济效益为 y 元,

1 ? 2m时。y ? ? 2m ? x ??100 ? x ? ? 20 x 5

----2 分 ----4 分

2 1 当 m ? x ? ? 2m时, y ? ?2m ? x ??100 ? x ? ? 20 x 5 4

2 ? ?? x 2 ? 2 ? m ? 60 ? x ? ? 200m, 0 ? x ? m且x ? N ? ? ? ? 5 ?y ?? , ??2 ? x 2 ? 2 ? m ? 30 ? x ? ? 200m, 2 m ? x ? 1 m, x ? N ? ? 5 2 ? ?
由①得对称轴 x ? m ? 60 ? 0,
当0 ? m ? 60 ?

① ②

2 m,即60 ? m ? 100时,x ? m ? 60时,y取得最大值y1 ? m 2 ? 80m ? 3600 5

当m ? 100时,x ?

2 m时,y取得最大值 5

----7 分 由②得对称轴 x ? m ? 30

? 60<m<500,? m ? 30 ? ? 当x ?

1 m 2

m 时, y取得最大值 y3 ? 1.5m 2 ? 140 m ----10 分 2
2

?当60<m ? 100时, y3 ? y1 ? 0.5m2 ? 60m ? 3600 ? 0.5 ? m ? 60 ? ? 5400 ? 0.5 ?120 2 ? 5400 ? 1800 ? 0

当100 ? m ? 500时, y3 ? y2 ? 0.86m2 ? 12m ? m ? 0.86m ? 12 ? ? 0,即当60 ? m ? 500时,y3最大
1 1 m ,即原有人数的 时,获得的经济效益最大。----13 分 2 4 1 x ?1 20. 解: (1)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? ? ??1 分 x x
即当公司应裁员数为

∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ??4 分 (2)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1??5 分 令 h( x ) ? g ( x ) ? ????3 分

1 ln x 1 1- ln x ? ? ,h ? ( x) = , ????6 分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 x 2 x2

当 0 ? x ? e 时,h ?( x) ? 0 ,

h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ???7 分
∴ h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2 1 ???????????9 分 2
1 ax ? 1 ? x x

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

/ (3)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, f ( x ) ? a ?

( x) < 0 , ① 当 a ? 0 时,? x ? (0, e] ,所以 f ?
所以 f ( x) 在 (0, e] 上单调递减,

f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ?

4 (舍去) , e

所以,此时 f ( x) 无最小值. ??10 分 ②当 0 ?

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ??11 分 a
③ 当

1 ? e 时,? x ? (0, e] ,所以 f ? ( x) < 0 , a 4 (舍去) , e

所以 f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 所以,此时 f ( x) 无最小值.

2 综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3.??13 分

21、解()由 1 f ( x) ? x得ax 2 ? 3 x ? b ? 0 3 b 2 由已知得? ? ? ? ? ,?? ? ? , | ? ? ? |? (? ? ?) ? 4?? ? 1 a a 消去?、? 得:a 2 ? 4ab ? 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3分 (2) ? a、b都是负整数,即a ? ?1且b ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4分 ? a ? 4ab也是负整数,且a ? 4b ? ?5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5分 由a 2 ? 4ab ? 9得:a (a ? 4b) ? 9 ? a ? ?1, a ? 4b ? ?9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7分 ? a ? ?1, b ? ?2 ? f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 (3)令g ( x) ? ax 2 ? 3 x ? b, 又a < 0, ? < 1< ? < 2 1)> 0 ?g( 1)= a ? b ? 3 > 0 ?g( 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 ? 2)< 0 ?g( 2)= 4a ? b ? 6 < 0 ?g( 又x1 , x2是方程ax 2 ? 4 x ? b ? 0的两根 4 b ? x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分 a a b 4 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) - 7 ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 6 ? ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11分 a a 10 7 g (1) ? g (2) ?6a ? b ? 4 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13分 a a ? g( 1)> 0,g( 2)< 0, a < 0 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) - 7 < 0 即( x1 ? 1)( x2 ? 1) < 7成立。---------------------------------14分



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