9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

两条直线的位置关系(2)



两条直线的位置关系(2)

一.直线系
一般地说,具有某种共同属性的一类 直线的集合,称为直线系,它的方程叫直 线系方程,直线系方程中除含变量x,y以

外,还可以根据具体条件取不同值的变量,
简称参数.

1. 经过定点的直线系方程: (1)过定点P(x0, y0)的直线y-y0=k(x-x0)
(k为参数)是一束直线( 方程中不包括 与y轴平行的那一条)(即x=x0), 所以y-y0=k(x-x0)是经过点P(x0, y0)的 直线系方程;

(2)直线y=kx+b ,(其中k为参数,b为 常数),它表示过定点(0,b)的直线系, 但不包括y轴(即x=0); (3)经过两条直线交点的直线系方程: l1:A1x+B1y+C1=0 (A12+B12≠0)与l2: A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系 为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0, (其中m、n为参数,m2+n2≠0)

直线系方程: m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0,(其 中m、n为参数,m2+n2≠0) 当m=1,n=0时,方程即为l1的方程; 当m=0,n=1时,方程即为l2的方程. 上面的直线系可改写成 (A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ 为参数), 但是方程中不包括直线l2,这个参数方 程形式在解题中较为常用.

2. 平行直线系: 直线y=kx+b (其中k为常数,b为参数), 如直线y=3x+b表示的是斜率为3的所有直 线,这样的直线系方程叫做平行直线系方 程。

例1: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的 交点,且满足下列条件的直线l的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。 (1)解: 设过两直线交点的直线方程为:

x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0

将点(2,1)代入方程,得:

2 ? 2 ? 4 ? ?(2 ? 1 ? 2) ? 0

解得: ? ? ?4 故所求直线方程为:x+2y-4=0

?x ? 2 y ? 4 ? 0 (1)解2: 联立方程组 ? ?x ? y ? 2 ? 0

解得两线的交点:(0,2) 过两点(2,1)、(0,2)的直线方程为:

y ? 2 x ?0 ? 1? 2 2 ? 0
即 x+2y-4=0为所求.

例1: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的 交点,且满足下列条件的直线l的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。 (2)解: 将(1)中所设的方程变为:
(1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? (4 ? 2? ) ? 0

解得所求直线的斜率为:
1? ? 3 ? ? ? ?1 由已知得: ? ?2 4

1? ? k ?? ? ?2

解得: ? ? 11 故所求直线方程为: 4x+3y-6=0

?x ? 2 y ? 4 ? 0 (2)解2: 联立方程组? ?x ? y ? 2 ? 0

解得两线的交点:(0,2) 设和直线3x-4y+5=0垂直的方程为: 4x+3y+m=0

将点(0,2)代入上式解得: m=-6 故直线的方程为:4x+3y-6=0

例2.设三条直线:x-2y=1,2x+ky=3, 3kx+4y=5交于一点,求k的值.
? x ? 2y ?1 解:解方程组: ? ?2 x ? ky ? 3

解得

k ?6 ? ?x ? k ? 4 ? ? ?y ? 1 ? k?4 ?

即前两条直线的交点为

k ?6 1 ( , ) k ?4 k ?4

因为三直线交于一点,所以第三条直线 必过此定点,

k ?6 1 故 3k ( ) ? 4( )?5 k ?4 k ?4
16 解得k=1或k= ? 3

例3. 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1. (1)求证无论a为何值,直线总过第一象限; (2)为使这直线不过第二象限,求a的范围. 解: (1)将方程整理得为
a(3x-y)+(-x+2y-1)=0, 由直线系方程知对任意实数a,该直线恒 过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点。 1
? ?x ? 5 ? 联立3x-y=0与x-2y+1=0解得 ? ?y ? 3 ? 5 ?

∴直线恒过第一象限内的定点(
1 (2)当a=2时,直线为 x= 5

1 3 , 5 5

);

此时该直线不过第二象限 。 当a≠2时 ,直线方程化为:
a ?1 3a ? 1 y? x? a?2 a?2

若直线不过第二象限,则满足
? 3a ? 1 ?a?2 ?0 ? ? ? ?1 ? 0 ?a ? 2 ?

解得a>2 ,

综上得,当a≥2时,直线不过第二象限.

例4. 下面三条直线l1:4x+y-4=0,l2: mx+y=0,l3:2x-3my-4=0不能构成 三角形,求m的取值集合. 解:(1)三条直线交于一点时:
?4 x ? y ? 4 ? 0 由 ? ? m x? y ? 0

解得l1和l2的交点A的坐标

4 ? 4m ( , ) 4?m 4?m

由A点在l3上可得 解之m=
2 3

4 ? 4m 2? ? 3m ? ?4?0 4?m 4?m

或m =-1.

(2)至少两条直线平行或重合时: l1、l2、l3至少两条直线斜率相等,这 三条直线中至少两条直线平行或重合, 当m=4时,l1∥l2;

当m=-

1 6

时,l1∥l3;

综合(1)、(2)可知,

当m=-1,-

1 6

2 , 3

,4时,三条直线

不能组成三角形,因此m的取值范围是
1 2 {m ? R | m ? ?1, m ? ? , m ? , m ? 4} 6 3

例5. P1(x1,y1)是直线 l:f(x,y)=0上一点,
P2(x2,y2)是直线 l 外的一点,则方程f(x, y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表达的直线与 l

的关系是(

) B

(A)重合 (B)平行

(C)垂直 (D)位置关系不定

练习题: 1.过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交 点,并且与第一条直线垂直的直线方程是 ( B ) (A)x-3y+7=0 (B)x-3y+13=0

(C)2x-7=0

(D)3x-y-5=0

2.过点P(1,4)和Q(a,2a+2)的直线与直
线2x-y-3=0平行,则a的值( B ) (A)a=1 (B)a≠1

(C)a=-1 (D)a≠-1

3.直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关 系是( C ) (A)平行 (B)垂直

(C)相交但不垂直
(D)不能确定,与m,n取值有关

4.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0
的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直 线方程是 4x-3y-6=0 .

5.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂 直相交于点(1,m),则a= c= -12 ,m= 10 . ,

-2

例1.求经过下列两直线的交点且斜率为 2的直线的方程。 l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0. 解1:解方程组
?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ? 2x ? y ? 2 ? 0
? x ? ?2 ? ? y?2



又直线的斜率为2,根据点斜式方程得 y-2=2(x+2)即2x-y+6=0.

解2:设直线的方程是 (3x+4y-2)+λ(2x+y+2)=0 即(3+2λ)x+(4+λ)y-2+2λ=0.
3 ? 2? ?2 该直线的斜率 k ? ? 4?? 11 解得λ= ? 4

代入上述方程得2x-y+6=0.



更多相关文章:
高二数学两条直线的位置关系(教师版)
两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率,可 根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑. (2)在运用两平行...
2.1两条直线的位置关系(一)学案
1 第二章.相交线与平行线 (七班第周 2.1.1 两条直线的位置关系(P38-40)星期 第节, 执课老师: ) 教学目标:了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的...
两条直线位置关系判断方法
两条直线位置关系判断方法_数学_高中教育_教育专区。里面介绍了三种方法,并且说明...( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:(2)(3)(4)对,此时要注意已知条件 ...
两条直线的位置关系及其判定
教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件, 能够根据直线的方程判断两条直线的 位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念,掌握两条直线的...
2.1两条直线的位置关系(2)
2.1两条直线的位置关系(2)_法律资料_人文社科_专业资料。编号: 课题 主备人: 审核人: 2.1 授课人: 两条直线的位置关系(2) 学习 目标 学习流程: 1. ...
2.1两条直线的位置关系(2)
北浦中学 七 年级(下) 数学 科目 北师 版 编拟 审核:邓从刚 杨丽萍 §2.1 两条直线的位置关系(2)一、教学目标: 1、会用符号表示两直线垂直,并能借助...
两条直线的位置关系(2)
2.1 两条直线的位置关系 第 2 课时 2. 学习重、难点:重点:1.垂线的概念及表示; 2.垂线的性质 难点:会用符号表示两直线垂直,并能借助三角板、直尺和方格纸...
2.1两条直线的位置关系(2)
北大新世纪实验学校教案纸 授课时间: 授课班级:701702 授课老师:朱远生 课时安排:2 课题 2.1 两条直线的位置关系(2)--- 垂直 1、会用符号表示两直线垂直,能...
2.1两条直线的位置关系(一)
总结:1.一般地,在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:相交和平行. 2.定义分别为: 如果两条直线只有一个公共点,我们称这两条 直线为相交线; 在同一平面内...
两条直线的位置关系(2) ---刘希奋
两条直线的位置关系(2) ---刘希奋_初一数学_数学_初中教育_教育专区。山丹育才中学七年级数学下册教学案 第二章 相交线与平行线 本色/特色/出色/ 直线外一点...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图