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直线方程的几种形式(1)



直线方程的几种形式(一)

一.直线的点斜式方程 1.点斜式方程 设直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k, 求直线的方程。 设点P(x,y)为直线上不同于P0(x0,y0)的 任意一点,则直线l的斜率k可由P和P0两 点的坐标表示为 y ? y0 k? 即 y-y0=k(x-x0)。 x ? x0

注意:利用点斜式求直线方程时,需

要先 判断斜率存在与否. (1)当直线l的倾斜角α=90°时,斜率k 不存在,不能用点斜式方程表示,但这时 直线l恰与y轴平行或重合,这时直线l上每 个点的横坐标都等于x0,所以此时的方程 为x=x0. (2)当直线l的倾斜角α=0°时,k=0,此 时直线l的方程为y=y0,即y-y0=0. (3)当直线l的倾斜角不为0°或90°时, 可以直接代入方程求解.

2.斜截式方程:如果一条直线通过点(0, b)且斜率为k,则直线的点斜式方程为 y=kx+ b 其中k为斜率,b叫做直线y=kx+b 在y轴上的截距,简称直线的截距. 注意:利用斜截式求直线方程时,需要先 判断斜率存在与否. (1)并非所有直线在y轴上都有截距,当 直线的斜率不存在时,如直线x=2在y轴上 就没有截距,从而得斜截式方程不能表示 与x轴垂直的直线的方程.

(2)直线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的 函数,当k=0时,该函数为常量函数x=b; 当k≠0时,该函数为一次函数,且当k>0时, 函数单调递增,当k<0时,函数单调递减. (3)直线的斜截式方程是直线的点斜式方 程的特例。要注意它们之间的区别和联系 及其相互转化.

二.直线的两点式方程 若直线l经过两点A(x1,y1),B(x2,y2), y ? y1 x ? x1 ? (x1≠x2),则直线l的方程为 这 y2 ? y1 x2 ? x1 种形式的方程叫做直线的两点式方程. 对两点式方程的理解: (1)当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零 y ? y1 x ? x1 ? (y1=y2)时,不能用两点式 y2 ? y1 x2 ? x1 表示它的方程;

(2)可以把两点式的方程化为整式(x2- x1)(y-y1)= (y2-y1)(x-x1),就可以用它来 求过平面上任意两点的直线方程; (3)需要特别注意整式(x2-x1)(y-y1)= (y2 y ? y1 x ? x1 ? -y1)(x-x1)与两点式方程 y2 ? y1 x2 ? x1 的区别,前者对于任意的两点都适用,而 后者则有条件的限制,两者并不相同,前

者是后者的拓展。

三.直线的截距式方程 若直线l在x轴上的截距是a,在y轴上的 截距是b,且a≠0,b≠0,则直线l的方程
x y 为 ? ? 1 ,这种形式的方程叫做直线的 a b

截距式方程。
O

y B(0, b) x A(a, 0)

截距式方程的应用

(1)与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+ a2 ? b2 ; (2)直线与坐标轴围成的三角形面积
1 为:S= | ab | ; 2

(3)直线在两坐标轴上的截距相等,则 k=-1或直线过原点,常设此方程为 x+y=a或y=kx.

例1.求下列直线的方程: (1)直线l1:过点(2,1),k=-1; (2)直线l2:过点(-2,1)和点(3,-3). 解:(1)直线l1过点(2,1),斜率k=-1,

由直线的点斜式方程得
y-1=-1× (x-2),

整理得x+y-3=0.

(2)直线l2:过点(-2,1)和点(3,-3). (2)直线l2的斜率
?3 ? 1 4 k? ?? 3 ? (?2) 5

4 由直线的点斜式方程得 y ? 1 ? ? [ x ? (?2)] 5

整理得直线的方程是 4x+5y+3=0.

也可以直接用两点式写出直线的方程。

1 例2.求过点(0,1),斜率为- 的直线 2

方程. 解:直线过点(0,1),表明直线在y轴上的 截距为1,
1 由直线的斜截式方程得y=- x+1, 2 1 又直线的斜率为- , 2

整理得x+2y-2=0.

例3.求斜率为 的直线方程:

3 ,在x轴上的截距是-5 3 3 , 3

解:所求直线的斜率是

在x 轴上的截距为-5,即过点(-5,0), 用点斜式方程知所求直线的方程是
3 (x+5), 3

y=


3x ? 3 y ? 5 3 ? 0

例4.若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四 象限,则系数A、B、C需满足条件( ) (A)A、B、C同号 (B)AC<0,BC<0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0
A C 解:原方程可化为 y ? ? x ? B B

因为直线通过第二、三、四象限,所以 其斜率小于0, 在y轴上的截距小于0,
C A 即 B ? 0, B ? 0

即A、B同号,A、C同号,故选A.

例5.直线y=ax+b (a+b=0)的图象是( D



(A)

(B)

(C)

(D)

例6. 三角形的顶点是A(-5,0)、B(3, -3)、C(0,2),求这个三角形三边所在的 直线方程. 解:(用两点式求AB所在直线的方程) 直线AB经过点A(-5,0)、B(3,-3), y x?5 ? 由两点式得 ?3 3 ? 5 整理得3x+8y+15=0, 这就是直线AB的方程。

(用斜截式求BC所在直线方程) 因为B(3,-3)、C(0,2),所以 kBC ? 2 ? 3 ? ? 5
?3 3

5 截距b=2,由斜截式得y=- x+2, 3

整理得5x+3y-6=0, 这就是直线BC的方程.

(用截距式求AC所在直线的方程) 因为A(-5,0)、C(0,2),所以直线在x, y轴上的截距分别是-5与2,
x y 由截距式得 ? ? 1 ?5 2

整理得2x-5y+10=0, 这就是直线AC的方程。

练习题: 1.下列说法中不正确的是( D ) (A)点斜式y-y0=k(x-x0)适用于不垂直 于x轴的任何直线 (B)斜截式y=kx+b适用于不垂直x轴的任 何直线 y ? y1 x ? x1 (C)两点式 y ? y ? x ? x 适用于不垂直 2 1 2 1 于坐标轴的任何直线 x y (D)截距式 ? ? 1 适用于不过原点的任 a b 何直线

2.直线3x-2y=4的截距式方程为 ( D )
x y 3x y (A) ? ? 1 (B) 1 ? 1 ? 1 4 2 3 2 3x y x y (C) ? ? 1 (D) ? ?1 4 ?2 4 ?2 3

3.过点(3,-4)且平行于x轴的直线方程
是 y+4=0 ;

过点(5,-2)且平行于y轴的直线方程

是 x-5=0



4.过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交 于A、B两点,若P为AB的中点,则直线的

方程是

3x+y-6=0





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