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2013安徽省学业水平测试真题·数学试卷及评分标准



2013 年安徽省普通高中学业水平测试





本试卷分为第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷为选择题,共 2 页;第 II 卷为非选择题, 共 4 页。全卷共 25 小题,满分 100 分。考试时间为 90 分钟。

第 I 卷(选择题 共 54 分)
注意事项: 1.答题前,

请先将自己的姓名、座位号用钢笔或圆珠笔填写在答题卡上,并用 2B 铅笔 在答题卡规定的位置上将自己的座位号、考试科目涂黑。考试结束时,将试卷和答题卡一并 交回。 2.选出每小题的答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,要用 橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。 请注意保持答题卡整洁, 不能折叠。 答案写在试卷上无效。 一、选择题(本大题共 18 小题,每小题 3 分,满分 54 分。每小题 4 个选项中,只有 1 个选项符合题目要求。 )

1.已知集合 A ? {0,1}, B ? {?1,0,1}, 则 A ? B 等于
A. {0,1} B. {?1,0} C. {?1} D. {?1,0,1}

2.下列几何体中,左(侧)视图是圆的是

3. 下列各角中与 437 角的终边相同的是 A. 67
?

?

B. 77

?

C. 107

?

D. 137

?

4. 等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 1, a2 ? a3 ? ?1, 则 a4 ? A. ? 2 5. 函数 y ? A. [1,??) B. ? 3 C.4 D.5

x ? x ? 1 的定义域为
B. (0,1) C. ?0,1? D. (1,??)

6. 已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?3, x) ,若 a // b ,则 x 等于 A.2 7. A. B. ? 3 C.6 D. ? 6

?

?

?

?

cos 47 ? cos13? ? sin 47 ? sin 13? ? sin 34?
B.

cos 34?

C.

sin 60?

D.

cos 60?

8. 某社区对社区内居民的 “幸福指数” 进行抽样调查, 按样本容量与总体容量的比为 1:100, 分层抽取了 160 名居民代表,其中老年人约占 25%,则该社区内老年人的人数约为 A. 1600 B. 2500 C. 4000 D. 6400 9. 当 a

? 0 时, 2a ?
B. 2 2

1 的最小值为 a
C. 2 D. 2

A.3

10. 某中学在安排以“校园安全”为主题的文艺汇演时,随机编排参演的小品、相声和演讲 的出场顺序。则这三个节目中小品排在最后的概率是 A.

5 6

B.

2 3

C.

1 3
?

D.

1 6

11. 数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 2an ?1 (n ? 2, n ? N ) ,则数列 {an } 的前 n 项和等于 A. 2n ? 1 B. 2 ? 1
n

C. 2 ? 1
n

D. 2n ? 1

? x ? y ? 0, ? 12. 不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域是

13. 已知函数 f ( x) ? ?1 ?

1 ( x ? 1) x ?1

,则 f ( x)

A. 在 (?1,??) 上是增函数 C. 在 (?1,??) 上是减函数

B. 在 (1,??) 上是增函数 D. 在 (1,??) 上是减函数

14. 根据右边的茎叶图,以下判断正确的是 A.甲的中位数大于乙的中位数 B.乙的中位数大于甲的中位数 C. 甲的众数大于乙的众数 D.乙的众数大于甲的众数 15. Δ ABC 中, AB ? 1, AC ? 3 , ?B ? 60 ,则边 BC 的长为
?

A.1

B.

2
3

C. 2

D. 2 3

16. 若函数 f ( x) ? x ? a 是奇函数,则 a 的值是 A.0 B.1 C. 2 D. ? 1

17. 如图, E , F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC,CD 的中 点,且 AE ? a , AF ? b ,则 BD ? A.

?

?

1 ? ? (b ? a ) 2 ? ? C. 2(a ? b )

B.

1 ? ? (a ? b ) 2 ? ? D. 2(b ? a )

1 ? ? log 2 x , x ? 2 , 18. 已知函数 f ( x) ? ? 若 a, b, c 互不相等, 且 f (a ) ? f (b) ? f (c) , 则 abc 的 1 3 1 ? x? ,x ? . 3 2 ?2
取值范围是 A. ? ?

? 3 1? , ? ? 2 2?

B. ?? , ? ? 2 2?

? 3 1?

C. ? ?

? 3 1? , ? 2 2? ?

D.

? 3 1? ? , ? ? ? 2 2?

第 II 卷(非选择题 共 46 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分,把答案填在题中的横线上.) 19. 计算: lg 4 ? lg 25 ? 20. 函数 y ? sin( x ? 。 。

?
3

) 的最小正周期为

21. 如图,若输入的 x 的值为 2,则输出的 y = 。 22. 袋内装有质地、大小完全相同的 6 个球,其中红球 3 个、 白球 2 个、黑球 1 个,现从中任取两个球。对于下列各组中的 事件 A 和事件 B: ①事件 A:至少一个白球,事件 B:都是红球; ②事件 A:至少一个白球,事件 B:至少一个黑球; ③事件 A:至少一个白球,事件 B:红球、黑球各一个; ④事件 A:至少一个白球, 事件 B:一个白球一个黑球。 是互斥事件的是 。 (将正确答案的序号都填上) 三、解答题(本大题共 3 小题,满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.) 23. (本题满分 10 分)已知圆 C : x ? y ? 2 x ? my ? 0 ,其圆心 C 在直线 y = x 上。
2 2

(I)求 m 的值; (II)若过点 (?1,1) 的直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程。

24. (本题满分 10 分)如图,四边形 BCEF 为正方形,

平面BCEF ? 平面ABC,AC ? 6 , BC ? 8 , AB ? 10 , 点 M 在线段 AB 的中点。
(I)求证: AC ? BE ; (II)求证:AE // 平面 MCF。

25.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ? 1, x ? (1,??) 。
2

(I)求函数 f ( x) 的值域; (II)如果数列 {an } 满足 an ?1 ? f (an ) ,求证:

1 1 1 ; ? ? an an ? 1 an ?1 ? 1

(III)在(II)条件下,若 a1 ?

3 1 1 1 1 ,证明: 1 ? ? ? ?? ? ?2。 2 a1 a2 a3 a2013

2013 年安徽省普通高中学业水平考试 数学参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 18 小题,每小题 3 分,满分 54 分.)

题号 答案

1 A

2 D

3 B

4 C

5 A

6 D

7 D

8 C

9 B

10 C

11 12 13 14 15 16 17 18 题号 B C D A C A D A 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分,把答案填在题中的横线上.) 19.2 20. 2? 21. 1 22. ?? 三、解答题(本大题共 3 小题,满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.) 23. (I)圆 C 的方程可化为 ( x ? 1) ? ( y ?
2

m 2 m2 m ,所以圆心为 C (1,? ) 。 ) ? 1? 2 2 4

根据题意, ?

m ? 1 ,即 m ? ?2 。 2

........................................................... 5 分

(II)由(I)可得圆心(1,1) ,半径 r ? 2 , 显然所求切线的斜率存在,故可设 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 。

? 2 ,解得 k ? ?1 , k 2 ?1 直线 l 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1) 。
于是, 即 l:x+y=0 或 x-y+2=0. ........................................................... 10 分 24.(I)根据题意,AC=6,BC=8,AB=10,所以 AC ? BC, 由平面 BCEF ? 平面 ABC,且平面 BCEF ? 平面 ABC=BC。 故 AC ? 平面 BCEF,又 BE ? 平面 BCEF,因此 AC ? BE。.................................. 5 分 (II)证明:设 BE,CF 交于点 O,则依题意,OM//AE. 而 OM ? 平面 MCF,因此 AE//平面 MCF。................................ 10 分 25. (I)因为 f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

k ?1? k ?1

所以函数 f ( x) 的值域为 ?1,?? ? 。 ............................ 3 分
2

1 2

3 , 且x ? ?1,?? ? , 4

(II)依题意 an ?1 ? f (an ) ? an ? an ? 1 ,所以 an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) ,

1 1 1 ? ? , an ?1 ? 1 an (an ? 1) an ? 1 an 1 1 1 故 。 ........................... 6 分 ? ? an an ? 1 an ?1 ? 1


1

?

(III)由(II)得

m?

1 1 1 1 ? ? ?? a1 a2 a3 a2013 1 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ?? ? ( ? ) a1 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 a2013 ? 1 a2014 ? 1 1 1 ? ? a1 ? 1 a2014 ? 1

? 2?
由 a1 ?

1 a2014 ? 1



7 37 3 ?2。 , an ?1 ? f (an ) 知, a2 ? , a3 ? 4 16 2
2

又 an ?1 ? an ? (an ? 1) ? 0 ,得 a2014 ? a3 ? 2 , 从而 0 ? 故1 ?

1 a2014 ? 1

?1,

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 2 。 ........................... 10 分 a1 a2 a3 a2013

(以上各题其他解法请参照以上评分标准酌情赋分)



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