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张掖二中2013—2014学年度高三数学文科月考试卷



张掖二中 2013—2014 学年度高三月考试卷(11 月)

高 三 数 学
命题人:吴佩禄

(理科)

审题人:刘 煌

第Ⅰ卷(选择题
项是符合题目要求的.) 1.复数 A.

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

1 的虚部是( 1? i

) B. -

1 2
x ?2

1 2


C.

1 i 2

D. -

1 i 2

2.下列命题中,假命题是( A. ?x ? R,3

?0

B. ?x0 ? R, tan x0 ? 2 D. ?x ? N *, ( x ? 2) ? 0
2

C. ?x0 ? R,lg x0 ? 2 3.函数 y ? 2sin(

?
2

? 2 x) 是





A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数

4.已知点 A(6, 2) , B(1,14) ,则与 AB 共线的单位向量为( A. (

??? ?

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2
B. 最小正周期为 )

12 5 12 5 5 12 , ? ) 或 (? , ) B. ( , ? ) 13 13 13 13 13 13 5 12 5 12 5 12 C. ( ? , ) 或 ( , ? ) D. ( ? , ) 13 13 13 13 13 13 1 5.若 f ( x ) ? x ? ) ( x ? 2) 在 x ? n 处取得最小值,则 n ? ( x?2 5 7 A. B. 3 C. D. 4 2 2 6. ? , ? , ? 是三个互不重合的平面,m, n 是两条不重合的直线, 设 则下列命题中正确的是 (
A.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? B.若 ? // ? , m ? ? , m // ? ,则 m // ? C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m // ? D.若 m // ? , n // ? , ? ? ? ,则 m ? n 7.某程序的框图如右图所示,输入 N ? 5 ,则输出的数等于(
高三数学(理科) 第 1 页 共 4页 输入 N




开始

5 4 6 C. 5
A.

4 5 5 D. 6
B.

1 ? ?2an (0 ? an ? 2 ), 6 ? 8.数列{ an }满足 an ?1 ? ? 若 a1 = , 7 ?2a ? 1( 1 ? a ? 1), n ? n ? 2 则 a2014 的值是( )
5 7 1 D. 7 ?x ? 2y ? 19 ? 0, ? 9.设二元一次不等式组 ?x ? y ? 8 ? 0, 所表示的平 ?2x ? y ? 14 ? 0 ?
A. B. 面区域为 M,使函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( ) A.[1, 3] B.[2, 10 ] C.[2, 9] D.[ 10 , 9] 10.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm) ,则该几何体的表面积及体积为

6 7 3 C. 7

正视图 A. 24? cm ,12? cm
2 3

侧视图
2

俯视图

B. 15? cm ,12? cm3 D. 12? cm2 ,12? cm3

C. 24? cm2 ,36? cm3 11.已知 F1、F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且 a 2 b2

| PF1 |2 ) ? 8a ,则双曲线离心率的取值范围是( | PF2 | A. (1,2] B. [2 + ? ) C. (1,3] D. [3,+ ? ) 12.函数 f (x) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 称函数 f (x) 在 D 上为非减函数, 设函数 f (x) 在[0, 1]上为非减函数, 且满足以下三个条件: ? x? 1 ① f (0) ? 0 ;② f ? ? ? f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) . ?3? 2 1 1 1 1 1 则 f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 等于( ) 2 3 6 7 8 11 5 21 A. B. C. D.无法确定 4 2 8
高三数学(理科) 第 2 页 共 4页

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. )
n 13.已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? ) 展开式中 x 2 项的系数为

1 x

.

14.记定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的导函数为 f '( x) .如果存在 x0 ?[a, b] ,使得

f (b) ? f (a) ? f '( x0 )(b ? a) 成立,则称 x0 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的“中值点”.那么函
数 f ( x) ? x3 ? 3x 在区间[-2,2]上的“中值点”为____ 15.已知双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线与抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的准线分别 a 2 b2 交于 A, B 两点, O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, ?AOB 的面积为 3 ,则 p ? . x ( x ? R) 时,则下列结论正确的是 16.已知函数 f ( x) ? . 1? | x | (1) ?x ? R ,等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立 (2) ?m ? (0,1) ,使得方程 | f ( x) |? m 有两个不等实数根
(3) ?x1 , x2 ? R ,若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) ?k ? (1, ??) ,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? kx 在 R 上有三个零点 三、解答题(解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2a cos 2 x ? b sin x cos x ?

3 , x∈R 2

3 ? 1 , f( )? , 2 4 2 (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;
且 f (0) ? (Ⅱ)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数?(列举出一种方 法即可) . 18. (本小题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,中,

AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动.
(Ⅰ)证明: D1 E ? A1 D ; (Ⅱ)

AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 ?

4

.

19. (本小题满分 12 分)小波以游戏方式决定:是去打球、唱歌还 是去下棋.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X,若 X ? 0 就去打球;若 X ? 0 就去唱歌;若 X ? 0 就去下棋. (Ⅰ)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. . (Ⅱ)写出数量积 X 的所有可能取值,并求 X 分布列与数学期望
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20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线

l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
其中 A, B 为切点.

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB , 2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) .
1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4 (Ⅱ)当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

(Ⅲ)求证: (1 ? 底数).

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ] ? e ( n ? N* ,e 是自然对数的 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)如图, OA 、 OB 是圆 O 的半径,且 OA ? OB , C 是半径 OA 上一点: 延长 BC 交圆 O 于点 D ,过 D 作圆 O 的切线交 OA 的延长线于点 E .求证:

?OBC ? ?ADE ? 45? .

?x=2cosφ, ? 23. (本小题满分 10 分) 已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数), 以坐标原点为极点, ? ?y=3sinφ

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2, 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 π 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为?2,3?. ? ? (Ⅰ) 求点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围.
2 2 2 2

24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? m ? x ? 2 ,m ? R ,且 f ( x ? 2) ?0 的解集为 ??1,1? . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a, b, c ? R ,且
?

1 1 1 ? ? ? m ,求证: a ? 2b ? 3c ? 9. a 2b 3c

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共 4页

张掖二中 2013—2014 学年度高三月考试卷(11 月)高三数学(理科)答案
一、选择题 1.【答案】B【解析】试题分析: 考点:复数的概念和运算 2.【答案】D【解析】试题分析:特殊值验证 x 考点:命题真假的判断 3.【答案】C【解析】试题分析:根据诱导公式将函数 的偶函数. 考点:本小题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性. 4.【答案】C【解析】试题分析:因为点

1 1- i 1- i ? ? 1 ? i ( ? i)( ? i) 2 1 1

,复数

1 1? i

的虚部为 ?

1 ,故选 B. 2

? 2, ( x ? 2) 2 ? 0 ,∴ ?x ? N *, ( x ? 2) 2 ? 0 是假命题,故选 D.
y ? 2sin(

?
2

? 2 x) 化简为 y ? 2cos 2 x ,于是可判断其为最小正周期为 ?

??? ? AB 1 5 12 ? ? ??? ? ? (?5,12) ? ? (? , ) .考点:向量共线. 13 13 13 | AB |
5.【答案】B【解析】试题分析:由 取得等号,故选 B. 考点:均值不等式

??? ? ??? ? ??? ? A(6, 2) , B(1,14) ,所以 AB ? (?5,12) , | AB |? 13 ,与 AB 共线的单位向量为

f ( x) ? x ?

1 1 1 ? ( x ? 2) ? ? 2 ? 4 ,当且仅当 x ? 2 ? ? 0 即 x ? 3 时, x?2 x?2 x?2

6.【答案】B【解析】试题分析:根据点、线、面的位置关系可知“若 ? 直线平行于两个平行平面中的一个必平面另一个. 考点:本小题主要考查点、线、面的位置关系 7. 【答案】D【解析】试题分析:第一次循环, S

// ?

,m ?

? , m // ? ,则 m // ? ”,即不在平面内的

? 0?

1 1 1 1 2 ? , k ? 2 ;第二次循环, S ? ? ? , k ? 3 ;第三次 1? 2 2 2 2?3 3

2 1 3 3 1 4 4 1 5 ? ? , k ? 4 ;第四次循环,S ? ? ? , k ? 5 ;第五次循环, S ? ? ? ;此时 k ? 5 3 3? 4 4 4 4?5 5 5 5? 6 6 5 不满足条件,输出 S ? ,选 D. 6
循环, S

?

考点:算法与框图.

6 1 6 5 1 5 3 1 3 6 1 ? , 故 a2 ? 2 ? ? 1 ? ? , 所以 a3 ? 2 ? ? 1 ? ? , 故 a4 ? 2 ? ? ? , 从 7 2 7 7 2 7 7 2 7 7 2 6 而 ?an ? 是以 3 为周期的周期数列,故 a2014 ? a3?671?1 ? a1 ? 7
8. 【答案】 【解析】 A 因为 a1

?

考点:本小题数列性质,数列问题函数化思想. 9. 【答案】 画出题设中的线性区域如图中的阴影部分. C 可求得 A(1, 9), B(3, 8), y=ax 过 A、 当 B 时,函数 y=ax 的图象过区域 M,分别解得 a=9 和 a=2,∴a 的取值范围是[2,9],故选 C. 10.【答案】A【解析】考点:由三视图求面积、体积. 分析:由已知中的三视图及其尺寸,我们易判断这个几何体是圆锥,且底面直径为 6,圆锥的 母线长为 5,代入圆锥的表面积和体积公式,我们易得结论. 解:由三视图可得该几何体为圆锥,且底面直径为 6,即底面半径为 r=3,圆锥的母线长 l=5 则圆锥的底面积 S 底面=π?r2=9π 侧面积 S 侧面=π?r?l=15π 故几何体的表面积 S=9π+15π=24πcm2, 又由圆锥的高 h=

l2 ? r2

=4 故 V=

1 ?S 3

底面

?h=12πcm3 故答案为:A

11.【答案】C【解析】试题分析:由定义知:|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+|PF2|

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| PF1 |2 (2a ? | PF2 |)2 4a 2 4a 2 +4a+|PF2| ≥8a,当且仅当 =|PF2|,即|PF2|=2a 时取得等号。 ? ? | PF2 | | PF2 | | PF2 | | PF2 |
设 P(x0,y0) (x0 ? a),由焦半径公式得:|PF2|=-ex0-a=2a, | PF2

|? ex 0 ? a ? 2a,ex 0 ? 3a,e ?

3a ?3 x0

又双曲线的离心率 e>1,∴e∈(1,3],故选 C.考点:本题主要考查双曲线的定义及几何性质,均值定理的应用。 点评:中档题,本题综合性较强,是高考常见题型,关键是利用双曲线的定义,创造应用均值定理的条件并灵活运用焦半径公式。 12.【答案】A【解析】试题分析:由 由②, x 令

f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,令 x ? 0 ,得 f (1) ?1 ? f (0)

,因为

f (0) ? 0 ,所以 f (1) ? 1 .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 , f ( ) ? 1 ? .由③, x ? , f ( ) ? 1 ? f ( ) , (f ) f 得 令 得 所以 f ( ) ? .再由②, x ? , f ( ) ? ( ) ? .② 令 得 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 中再令 x ? ,得 f ( ) ? f ( ) ? .又函数 f (x ) 在[0,1]上为非减函数, ? ? ? ,所以 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? , 3 9 2 3 4 9 8 7 6 4 9 8 7 6 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 故 f ( ) ? f ( ) ? .所以有 f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =1+ + + + + = . 8 7 4 2 3 6 7 8 2 2 4 4 4 4
考点:抽象函数的运算、新概念的理解 二、填空题 13.【答案】15【解析】试题分析:?
2

f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 4 ? ? x ? 2? ? ? x ? 4? ? 6 , ? n ? 6 .

二项式 ? x ?

? ?

1? ? x?

6

展开式中

4 4 含 x 的项为 T5 ? C6 x ? ?

2

? 1? 2 ? ? 15 x , ? 其系数为 15 .考点:1、绝对值不等式的性质;2、二项式定理 x? ?

14.【答案】 ?

2 3 3

【解析】试题分析:由

f ( x) ? x3 ? 3x 求导可得 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ,设 x0 为函数 f ( x) 在区间[-2,2]上
8

的“中值点”则

f ? ? x0 ? ?

f ? 2? ? f ? ?2? 2 3 . ? 1 ,即 3x02 ? 3 ? 1解得 x0 ? ? 3 2 ? ? ?2?

6

考点:本小题主要考查新定义、导数,考查学生对新定义的理解、分析和计算能力.

c ? 2 , 得 c ? 2a , b ? 3a , 所以双曲线的渐近 a p , 联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程 线为 y ? ? 3x . 又抛物线的准线方程为 x ? ? 2
15.【答案】 2 .【解析】试题分析:有 e ?

4

y A
2

? p 3p ? ? p 3p ? , 得 A? ? ? , B?? , ? ?. ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?


15

10

5

O
2

x

5

在 ?AOB 中,

AB ? 3 p , O 到 AB 的距离
B

p 1 p ? 3 , p ? 2 .考点:双曲线与抛物线的几何性质. .? S ?AOB ? 3 , ? ? 3 p ? 2 2 2

4

16.【答案】(1)(2)(3)【解析】试题分析:由

f ( ? x) ?

?x ? ? f ( x) 1? x

,所以(1)正确;对于 2,不妨设 m=

1 2

6

则|f(x)|=

8

1 2





x 1 ? 1? x 2

,得到:x=1 或-1, 故(2)正确;对于 3,就是求 f(x)单调性,由于 f(x)为奇函数,只需讨论在(0,+∞)的单调性即

可,当 x>0 时,f(x)=

x 1 ? 1 1? x ?1 x

>0,所以在(0,+∞)单调递增且函数值都为正数,所以函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增

且函数值都为负数,又 f(0)=0,故 f(x)在 R 上单调递增,所以任意 x1,x2 ? R,若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2), 故(3)正确;令

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f(x)-kx=

x 1? x

-kx=x(

1 1 1 1 ? k )=0,则有一根为 x=0,或 ? k =0 但是 ? 1 ,而 k ? (1, ??) ,所以 ? k =0 1? x 1? x 1? x 1? x

恒不成立,所以(4)错误。考点:1.函数的单调性、最值;2.函数的奇偶性、周期性;3.函数零点的判定定理. 三、解答题

? ?2 a ? 3 ? 1 2 2 , f ( ) ? ,得? 17.【答案】解: (1)由 f (0) ? ? 2 4 2 ?
因此,

? 3 ?a ? 2 . ( 4 分) ,∴ ? ? ? 1 3 1 ?b ? 1 ? ?a ? b ?
? 3 3 2 2 2
(7 分)

f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin x cos x ?

3 3 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) . 分) 故 T ? ? (6 2 2 2 3

(2)由于

f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ? 5? ? ) ? cos 2 x 或 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? ? cos 2 x , 分) (9 3 6 3 6
( 11 分) (12 分)

于是将

? 5? ? 个单位或向左平移 个单位, f ( x) ? sin(2 x ? ) 向右平移 12 3 12

所得图象对应的函数均为偶函数. (其他正确答案参照给分) 考点:三角函数的性质,图像变换.

18. 【答案】解:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC , DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE ? x , 则 A1 (1, 0,1), D1 (0, 0,1), E (1, x, 0), A(1, 0, 0), C (0, 2, 0) …………2 分 (1) 因为 DA1 , D1 E ? (1, 0,1), (1, x, ?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. ………………4 分 (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1, ?1), AC ? (?1, 2, 0) ,……5 分

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

???? ?

????

? ???? ???? ? ? ?n ? AC ? 0, ??a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ? AD1 ? (?1, 0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ???? 也即 ? ,得 ? ……6 分 ? ??a ? c ? 0 ?a ? c ?n ? AD1 ? 0, ? ???? ? ? ? | D1 E ? n | 2 ? 1 ? 2 1 ? ? ? . …………8 分 从而 n ? (2,1, 2) , …7 分 所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 h ? 3 3 |n| ????? ? ? ??? ? ???? ? (3)设平面 D1 EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2, 0), D1C ? (0, 2, ?1), DD1 ? (0, 0,1), ? ???? ? ? ?n ? D1C ? 0, ?2b ? c ? 0 ? ?? 由 ? ? ??? 令 b ? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x ,∴ n ? (2 ? x,1, 2). ? ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?n ? CE ? 0, ? ? ????? | n ? DD1 | 2 2 2 ????? ? ? ? . 依题意 cos ? ? 2 4 | n | ? | DD1 | 2 2 ( x ? 2) ? 5

?

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) x2 ? 2 ? 3 .∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 , 考点:1.线面、面面的垂直关系;2.二面角的求法;3.空间向量在立体几何中的应用. 19. 【答案】 (Ⅰ)小波去下棋的概率为

?
4

. …………………………12 分

p1 ?

7 15

,小波不去唱歌的概率

p?

【解析】试题解析:(Ⅰ) X 的所有可能取值,即从 OA , OA2 , OA3 , OA4 , OA5 , OA6 这六个向量中任取两个,共有 ( 1

????

???? ?

???? ?

???? ?

11 . (Ⅱ) X 15

的所有可能取值为 ?2, ?1, 0,1 ;

???? ?

???? ?

15 种。

…………………………1 分

而对取出两个向量的数量积进行计算,得到

X

的所有可能取值为 ?2, ?1, 0,1 ;

……3 分

求小波去下棋的概率,这显然是古典概型,只需找出总的事件数有 15 种,因为 于零的次数为 7 , ……4 分

X ? 0 就去下棋,只需在下表计算结果中,找出小

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有古典概型的概率求法知:小波去下棋的概率为

p1 ?

7 15



……5 分

小波不去唱歌的概率,它的对立事件为,去唱歌,而 .

X ? 0 就去唱歌,在下表中, X ? 0 共有四次,故去唱歌的概率为 p2 ?
? 1? 4 11 ? . 15 15

4 , 15

有对立事件的概率求法知:小波不去唱歌的概率 p ? 1 ? p2

……6 分

???? ???? ? OAi ? OAj ???? OA1 ???? ? OA2 ???? ? OA3 ???? ? OA4 ???? ? OA5 ???? ? OA6
(Ⅱ)由上表可知

???? OA1

???? ? OA2


???? ? OA3
0 1

???? ? OA4
0 -1 -1

???? ? OA5
-1 -2 -1 1

???? ? OA6
-1 -1 0 0 1

X

的所有可能取值为 ?2, ?1, 0,1 ;数量积为-2 的只有一种,数量积为-1 的有六种,数量积为 0 的有四种,数

量积为 1 的有四种, 故所有可能的情况共有 15 种. 所以其概率分别为 (4 分) 故其分布列为: X P (5 分) 故 EX= ? -2 -1

p1 ?

1 6 2 4 4 ? , p3 ? p4 ? . , p2 ? (每个 1 分) 15 15 5 15 15

0

1

1 15
考点:古典概率.

6 15

4 15

4 15

4 (6 分) 15
(2)

20.【答案】(1)

x2 ? 4 y

x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0

(3)

9 2
(2 分) (4 分)

【解析】 (1)依题意 d

?

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

? 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ;
(2)设点

1 2 1 x , 得 y? ? x . 4 2 x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 . ∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 2 2 2

A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,由 x2 ? 4 y ,即 y ?

(5 分)



y1 ?

同理,

x x1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . x0 ? y1 . ∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 PA 上, ∴ y0 ? ① 4 2 2 x x y0 ? 2 x0 ? y2 . ② (6 分) 综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y0 ? x0 ? y . 2 2

(7 分)

高三数学(理科)

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∵经过

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的,∴直线 AB

的方程为

y0 ?

x x0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(8 分)

(3)由抛物线的定义可知

AF ? y1 ?1, BF ? y2 ?1 ,

(9 分)

所以

? x2 ? 4 y 2 2 2 ,消去 x 得 y ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 ? 0 , AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ?1 联立 ? ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
(10 分)
2

2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

2 1? 9 ? ? x0 ? y0 ? 2 ? 0 ? AF ? BF ? y02 ? 2 y0 ? x02 ? 1=y02 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 =2 y02 ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?

(11 分)

? 当 y0 ? ?

1 时, AF ? BF 2

取得最小值为

9 2

(12 分)

(1)利用点到直线的距离公式直接求解 C 的值,便可确定抛物线方程; (2)利用求导的思路确定抛物线的两条切线,借助均过点 P, 得到直线方程; (3)通过直线与抛物线联立,借助韦达定理和抛物线定义将
2

AF ? BF

进行转化处理,通过参数的消减得到函数

1? 9 ? 关系式 2 ? y0 ? ? ? 是解题的关键,然后利用二次函数求最值,需注意变量的范围. 2? 2 ?
【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系,考查学生的分析问题的能力和转化能力、计 算能力. 21.【答案】 (Ⅰ)函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) ; (Ⅱ)实数 a 的取值范围是 (??,0] ; (Ⅲ)详见 解析. 【解析】试题分析: (Ⅰ)当 a ? ?

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间,即判断 f ( x) 在各个区间上的符号,只需对 f ( x) 求导即可; (Ⅱ) 4
2 2

当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,令 g ( x) ? ax ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) ,只需求 出 g ( x) 最 大 值 , 让 最 大 值 小 于 等 于 零 即 可 , 可 利 用 导 数 求 最 值 , 从 而 求 出

a

的 取 值 范 围 ;( Ⅲ ) 要 证

(1 ?

2 4 8 2n 2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ] ? e ( n ? N* 成立,即证 ln{(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ]} ? 1 , n 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2 ? 1) 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1) 2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln[1 ? n ?1 ] ? 1, 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)
(2
n ?1

即证 ln(1 ?

由(Ⅱ)可知当 a ? 0 时, ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立,又因为 试题解析: (Ⅰ)当 a ? ?

2n 1 1 ? 2( n ?1 ? ) ,从而证出. ? 1)(2n ? 1) 2 ? 1 2n ? 1

1 1 ( x ? 2)( x ? 1) 1 1 ?? 时, f ( x) ? ? x2 ? ln( x ? 1) ( x ? ?1 )(1 分) f ?( x) ? ? x ? , ( x ? ?1 )(2 分) , 2 x ?1 2( x ? 1) 4 4
故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) ; 分) (3
2 2

由 f ?( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 ,

(Ⅱ)因当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,设 g ( x) ? ax ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) , 只需 g ( x)max ? 0 即可. (4 分) (ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ? 由 g ?( x) ? 2ax ?

1 x[2ax ? (2a ? 1)] , (5 分) ?1 ? x ?1 x ?1

?x ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立; 分) (6 x ?1 x[2ax ? (2a ? 1)] 1 1 1 ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? ? 1 ,①若 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 x ?1 2a 2a 2

(ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

(0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ??? 时, g ( x) ? ?? ) ,
此时不满足条件;②若

1 1 1 1 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减,在区间 ( ? 1, ??) 上单调递增,同 2a 2 2a 2a
高三数学(理科) 第 9 页 共 4页

样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件 ; (ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

(8 分)

x[2ax ? (2a ? 1)] ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] . (9 分)
(Ⅲ)据(Ⅱ)知当 a ? 0 时, ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立,又 ∵ ln{(1 ?

2n 1 1 ? 2( n ?1 ? ), (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 1 2n ? 1
(10 分)

2 4 8 2n 2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ]} ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln[1 ? n?1 ] 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1) 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

?

2 4 8 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ?1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n?1 ? n )] ? 2[( ? n )] ? 1 , (11 分) 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2 n ? 1) 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1

∴ (1 ?

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ]?e. 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

(12 分)

考点:1、利用导数的求单调区间, 2、利用导数求最值, 3、拆项相消法求数列的和. 四、选做题 22.【答案】详见解析 【解析】试题分析:连接

AB ,先利用题中条件求出 ?ABO ? 45?

,然后利用弦切角定理证明 ?OBC ? ?ADE 2分 4分 6分 10 分
O B

? ?ABO .

试题解析:如下图所示,连接

AB ,由于 OA ? OB ,??AOB ? 90? ,

又? OA ? OB ,故 ?AOB 为等腰直角三角形,且 ?ABO

? 45? , 因为 DE 切圆 O 于点 D ,由弦切角定理知 ?ADE ? ?ABC , ??OBC ? ?ADE ? ?OBC ? ?ABC ? ?ABO ? 45? .
考点:等腰三角形、弦切角定理

C

A

E

D

π π π π π π 23.【答案】解:(1)由已知可得 A(2cos ,2sin ) ,B(2cos( + ),2sin( + ), ) 3 3 3 2 3 2 π π π 3π π 3π C(2cos( +π),2sin( +π),D(2cos( + ),2sin( + ),4 分 ) ) 3 3 3 2 3 2 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cosφ,3sinφ),令 S= 5分
2

PA ? PB ? PC ? PD
2 2 2

,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 9 分

因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52]. 24.【 答 案 】 解: (1)因为 由

10 分 ,

f ( x ? 2) ? m ? x

f ( x ? 2) ? 0 等价于 x ? m ,

2分 5分

x ? m 有解,得 m ? 0 ,且其解集为 ??m, m? ,又 f ( x ? 2) ? 0 解集为 ??1,1? ,所以 m ? 1 .
1 1 1 ? ? ? m ,又 a, b, c ? R ,由柯西不等式得 a 2b 3c

(2)由(1)知

1 1 1 1 1 1 2 a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? ( a ? ? 2b ? ? 3c ? ) ? 9 10 分 a 2b 3c a 2b 3c
考点:本题主要考查柯西不等式的应用。

高三数学(理科)

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