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吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学理试题



延边州 2013 年高考复习质量检测 理科数学
数学(理)试题头说明 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 4 至 6 页,共 150 分。其中第 II 卷第 22—24 题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案写在 答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:

1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选 择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题前,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑。 参考公式: 样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x 1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] n

V?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体积公式
V ? Sh

其中S为底面面积,h为高 球的表面积、体积公式

S ? 4πR 2 , V ? 4 πR3
3

其中S为底面面积,h为高

其中R为球的半径

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符
合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。 1.已知全集为 U=R, A ? ?0 ,1,2 ,3?, B ? y y ? 2 x , x ? A , 则右图中阴影部分表示的集合为 A. ?0,3? B. ?1,2 ,3?
? ?

?

?

U A B

C. ?0?

D. ?1,2?
? ?

2.已知复数 Z1 ? cos 23 ? i sin23 和复数 Z2 ? cos 37 ? i sin37 ,则 Z1·Z2

A.

1 3 ? i 2 2

B.

3 1 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

3.下列命题正确的有

① 用相关指数 R 2 来刻画回归效果, R 2 越小,说明模型的拟合效果越好;
2 ② 命题 p :“ ?x 0 ? R , x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 ”的否定 ? p :“ ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;

③ 设随机变量 X 服从正态分布 N(0, 1),若 P ( X ? 1 ) ? p ,则 P ( ?1 ? X ? 0 ) ? ④ 回归直线一定过样本点的中心( x, y ) 。 A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

1 ? p; 2

4.在 ? ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP ? 2 PC ,Q 是 AC 的中点,以 P 为坐标原点建立平面直角坐标系,若

PA ? (4,3), PQ ? (1,5) ,则 BC ?
A. (6,-21) B. (2,-7) C. (-2,-7) D. (-6,21) 5.在右边的程序框图中,当程序结束运行时, i 的值为 A.5 B.7 C.9 D.11 6.在 ? ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且 (b ? c ) : (c ? a ) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,则最 大内角为 A. 150
?

B. 120
2

?

C. 135
2

?

D. 90
2

?

7.已知抛物线 y ? 2 px (p>0)的准线与圆 x ? y ? 4 y ? 5 ? 0 相切,则 p 的值为

A.10

B.6

C.

1 8

D.

1 24

8.已知等差数列 ?an ? 的公差和等比数列 ?bn ? 的公比都是 d (d ? 1) ,且 a1 ? b1 , a 4 ? b4 , a10 ? b10 ,则 a1 和 d 的值分别为 A. 3 2 , 3 2 B. ? 3 2 , 3 2 C. ? 3 2 ,? 3 2 D. 3 2 ,? 3 2

9.关于函数 f ( x ) ? 2(sinx ? cos x ) cos x 的四个结论: P1:最大值为 2 ;P2:最小正周期为 ? ;P3:单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?

3 ? , k? ? ? ? , k ? Z; 8 8 ?
其中正

P4:图象的对称中心为 ( ? ?

k 2

?
8

,?1), k ? Z。

5

确的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 10.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部

正视图

2 侧视图

D.4 个 分几何

1 俯视图

体,余下的几何体的三视图(如图所示) ,则余下部分的几何体的表面积为 A.

3 3 ?? 3? ? 5 +1 2 2 3 ? ? 3 3? ? 2 5 +1 2 3 3? ? 5 2

B.

C. 3? ?

D. 3? ? 3 3? ? 2 5 11 . 已 知 球 的 直 径 PQ=4 , A 、 B 、 C 是 该 球 球 面 上 的 三 点 , ? ABC 是 正 三 角 形 。

?APQ ? ?BPQ ? ?CPQ ? 30? ,则棱锥 P—ABC 的体积为
A.

3 3 4

B.

9 3 4

C.

3 3 2

D.

27 3 4

x2 y2 12.过双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F ?? c ,0? 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 a b
E ,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P ,O 为原点,若 OE ?
离心率为

1 OF ? OP ,则双曲线的 2

?

?

A.

3? 3 3

B.

1? 5 2

C.

5 2

D.

1? 3 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上。
13.若 (2 x ? 3 )6 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ? a6 x 6 , 则 (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ) 的值为
2 2
2

。 。

14.若 a ? [1,4], b ? [0,3] ,则方程 ax ? 2 x ? b ? 0 有实数解的概率为

2 15. 设函数 f ( x) ? x ? ax ? b , 且方程 f ( x ) ? 0 在区间 ?0,1? 和 ?1,2? 上各有一解, 2a ? b 的 则

取值范围用区间表示为________________。

16.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 给出定义:设 f ?( x ) 是函数 y ? f ( x ) 的 导数, f ??( x ) 是函数 f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x ) ? 0 有实数解 x 0 ,则称点 ( x 0 , f ( x0 )) 为 函数 y ? f ( x ) 的“拐点” ,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一 个 三 次 函 数 都 有 对 称 中 心 , 且 “ 拐 点 ” 就 是 对 称 中 心 。 给 定 函 数

f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? , 请 你 根 据 上 面 探 究 结 果 , 计 算 3 2 12
______ 。

f(

1 2 3 2012 )? f( )? f( ) ? ... ? f ( )= 2013 2013 2013 2013

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分) 数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n? 2 ? (1 ? (Ⅰ)求 a 3 , a4 及数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 sn ? a1 ? a2 ? ...? an ,求 s 2 n 。 18. (本小题满分 12 分) 在某届世界大学生夏季运动会期间,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志 愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如下图所示的茎叶图(单位:cm):若身高 在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” ,身高在 男 女 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” ,且只 9 15 7 7 8 9 9 有“女高个子”才担任“礼仪小姐” 。 9 8 16 1 2 4 5 8 9 (Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? 7 4 2 1 18 0 1 (Ⅱ)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 X 1 19 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人 数,试写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望。 D 19. (本小题满分 12 分) 如图所示, ? ABC 和 ? BCE 是边长为 2 的正三角形,且 平面 ABC ? 平面 BCE , AD ? 平面 ABC , AD ? 2 3 。 (Ⅰ)证明: DE ? BC ; (Ⅱ)求 BD 与平面 ADE 所成角的正弦值; (Ⅲ)求平面 BDE 和平面 ABC 所成的二面角的余弦值。

1 n? n? cos2 )a n ? 2 sin2 (n ? N * ) 。 3 2 2

E

A B

C

20 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆 C 的 离 心 率 e ? (

3 ,长轴的左、右端点分别为 2

A1 (?2,0), A2 (2,0) 。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 R, Q 两点,直线 A1 R 与 A2 Q 交于点 S .试问:当 m 变化时,点 S 是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;
若不是,请说明理由。 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) 。 (Ⅰ)若 a ? ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间并比较 f ( x ) 与 f (1) 的大小关系 (Ⅱ) 若函数 y ? f ( x ) 的图象在点 ?2, f ( 2)? 处的切线的倾斜角为 45 , 对于任意的 t ? ?1,2? ,
?

函数 g( x ) ? x 3 ? x 2 ? f ?( x ) ? ? 在区间 ?t ,3? 上总不是单调函数,求 m 的取值范围; 2? ? (Ⅲ)求证:

?

m?

ln 2 ln 3 ln4 ln n 1 ? ? ????? ? ( n ? 2, n ? N * ) 。 2 3 4 n n

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时必须 用 2B 铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑,请勿多涂、漏涂。 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 在 ? ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆 交于点 P,交 BC 延长线于点 D 。 (Ⅰ)求证:

A P

PC PD ? ; AC BD

(Ⅱ)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。

B

C

D

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 ,以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为 极点, 轴的正半轴为极轴, x 取相同的单位长度建立极坐标系, 已知直线 l : ?(2 cos? ? sin?) ? 6 。 (Ⅰ)将曲线 C 1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C 2 试 写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (Ⅱ)在曲线 C 2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值。

24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》

已知 a 和 b 是任意非零实数。 (Ⅰ)求

2a ? b ? 2a ? b a

的最小值;

(Ⅱ)若不等式 2a ? b ? 2a ? b ? a ( 2 ? x ? 2 ? x ) 恒成立,求实数 x 的取值范围。

延边州 2013 年高考复习质量检测

理科数学 参考答案及评分标准
一、选择题 1.A;2.A;3.C;4.D;5.D;6.B;7.C;8.D;9.C;10.A;11.B;12.B 二、填空题 13.1;14. 三、解答题 17.解: (Ⅰ) a 3 ? (1 ?

2 l n2 ;15. ?? 8,?2? ;16.2012 9

1 ? ? cos2 )a1 ? 2 sin2 ? 3 ???.1 分 3 2 2

1 2? 2? 4 a 4 ? (1 ? cos2 )a 2 ? 2 sin2 ? ???????.2 分 3 2 2 3
一般 n ? 2 k 时 a 2 k ? 2 ? (1 ?

1 2k? 2k? cos2 )a 2 k ? 2 sin2 (k ? N * ) 3 2 2

得 a 2k ? 2 ?

a 2 2 a 2 k 既 2 k ? 2 ? 所以数列 ?a 2 k ?是首项为 2,公比为 2/3 的等比数列 3 a 2k 3
2 3
k ?1

所以 a 2 k ? 2( )

??????.4分

n ? 2k ? 1 时 a 2 k ?1 ? (1 ?

1 2k ? 1 2k ? 1 cos2 ? )a 2 k ?1 ? 2 sin2 ? 3 2 2

得 a 2k ?1 ? a 2k ?1 ? 2 既 a 2k ?1 ? a 2k ?1 ? 2 所以数列 ?a 2 k ?1 ?是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 a 2k ?1 ? 2k ? 1 ????.6 分

?n, ( n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? 综上可知: a n ? ? 2 n? 2 ????.8分 2( ) 2 ( n ? 2k , k ? N * ) ? ? 3
(Ⅱ) s2n ? a1 ? a2 ? ...? a 2n?1 ? a2n = (a1 ? a3 ? ... ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ... ? a2n ) = ?1 ? 3 ? 5 ? ... ? ( 2n ? 1)? ? ?2 ? 2 *

? ?

2 2 ? ? ... ? 2 * ( ) n?1 ? 3 3 ?

= n ? 6 ? 6( ) ???????.12 分
2 n

2 3

18.解: (Ⅰ)根据茎叶图知, “高个子”有 12 人, “非高个子”有 18 人???.1 分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是

5 1 ? ????.2 分 30 6

所以选中的“高个子”有 12*

1 1 =2 人, “非高个子”有 18* =3 人 6 6

用事件 A 表示“至少有一名‘高个子’被选中” ,则它的对立事件 A 表示“没有一名‘高个子’ 被选中” ,则 P ( A ) ? 1 ?
2 C3 3 7 ? 1? ? 2 10 10 C5

因此至少有一人是“高个子”的概率是

7 ????????6 分 10

(Ⅱ)依题意,一共有 12 个高个子,其中有男 8 人,女 4 人,则 X 的取值为 0,1,2,3 所以 P ( X ? 0 ) ?
3 C8 C 2 C 1 28 C 2 C 1 12 14 ; P( X ? 1 ) ? 8 3 4 ? ; P( X ? 2 ) ? 4 3 8 ? ? 3 55 55 C 12 55 C12 C12 3 C4 1 因此 X 的分布列如下?????10 分 ? 3 C 12 55

P( X ? 3 ) ?
X P

0 14/55 所以 E ( X ) ? 0 *

1 28/55

2 12/55

3 1/55

14 28 12 1 ? 1* ? 2* ? 3* ? 1 ………………12 分 55 55 55 55

19. (Ⅰ)证明:取 BC 的中点为 F ,连结AF,EF ∵△BCE正三角形,∴EF ? BC,又平面ABC ? 平面BCE,且交线为BC,∴EF⊥平面ABC ,又AD⊥平面ABC∴AD∥EF,∴ D, A, F , E 共 面,又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC,

D

AF ? EF ? F ∴ BC ? 平面 DAFE ,又 DE ? 平面 DAFE 故 DE ? BC ;.....4分 ..... (Ⅱ)由(Ⅰ)知B在平面 DAFE 的射影为 F , 故 BD 与平面 ADE 所成角为 ? BDF ,
在Rt△ABD中,BD =AB +AD ,求得BD = 4 , 在 R t △ B D F 中 , sin ∠ BDF =
2 2 2

E

A F

C

BF 1 ? ....8分 ... BD 4

B

; (Ⅲ)设平面 BDE 和平面 ABC 所成的二面角为 ? ,又知△BDE在平面ABC上的射影为△B AF

3 S ?BAF 5 ? 2 ? 所以 cos ? ? .......12分。 ...... S ?BDE 5 15 2
注:方法不唯一,只要过程,结论正确给分。 向量法(Ⅰ)取 BC 的中点为 F ,连结AF,EF ∵△BCE正三角形,∴EF ? BC,又平面ABC ? 平面BCE,且交线为BC,∴EF⊥平 面ABC,又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC ∴CB、AF、FE所在直线分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐 D 标系,如图: 则求得 F(0,0,0) ,D(0, ? A(0, ? , 3,2 3 )

z E

,B(1,0,0) , 3 ,0)

C(-1,0,0) ,E(0,0, 3 ) ∴ DE ? (0, 3 ,? 3 ) , BC ? (2,0,0) ,∴ DE ? BC ? 0 ∴ DE ? BC ......4分 ..... (Ⅱ)由(Ⅰ) D, A, F , E 共面, BC ? 平面 DAFE ,

A B x F

C y

所以,平面ADE的一个法向量就是 CB ,可求得 BD ? (?1, 3 ,2 3 ) , CB ? (2,0,0) ,

设 BD 与平面 ADE 所成角为 ? ,则 sin? ?

BD ? CB BD CB

?

1 ………….8 分 4

(Ⅲ)设平面BDE的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由(Ⅰ)知平面ABC的一个法向量为

? n ? BD ? 0 ? AD ? (0,0,2 3 ) , 由 ? ? n ? BE ? 0 ?

得 ?

? ? x ? 3y ? 2 3z ? 0 ? 令 ? ? x ? 3z ? 0 ?

z=1, 解 得

x= 3 ,y=1, n ? ( 3 ,1,1) ,设平面ABC与平面BDE所成角为 ?

则 cos? ?

n ? AD n AD

?

5 ......12分 ..... 5

注:建系方法不唯一,只要有三线垂直证明及建系说明,坐标正确,运算无误,结论准确,可给 满分。

x2 y2 c 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 由题意得 ? , a ? 2 解得 c ? 3 2 a 2 a b x2 2 2 ? y 2 ? 1 .....4分 以 b ? a ? c ? 1 ,即椭圆 C 的方程为 .... 4 (Ⅱ)由题意,知直线 l 为: x ? my ? 1 .
20. Ⅰ) ( 设椭圆 C 的方程为 取 m ? 0, 得 R ?1,



? ? ?

3? ? 3? 3 3 x? , ? , Q ?1, ? ? ,直线 A1R 的方程是 y ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 6 3

3 x ? 3, 交点为 S1 4, 3 . 2 ? 3? ? 3? 若 R ?1, ? ? , Q ?1, ? ? ? 2 ? ,由对称性可知交点为 S2 4, ? 3 . ? 2 ? ? ? ? 若点 S 在同一条直线上,则直线只能为 ? : x ? 4 .... ....6分 以下证明对于任意的 m, 直线 A R 与直线 A2Q 的交点 S 均在直线 ? : x ? 4 上.事实上,由 1
直线 A2Q 的方程是 y ?

?

?

?

?

? x2 2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 ,得 ? my ? 1? ? 4 y ? 4, 即 ? m ? 4 ? y ? 2my ? 3 ? 0 , ?4 ? x ? my ? 1 ? ?2m ?3 , y1 y2 ? 2 记 R ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 2 ... ...8分 m ?4 m ?4 y y1 6 y1 , 得 y0 ? . 设 A R 与 ? 交于点 S0 (4, y0 ), 由 0 ? 1 4 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2
设 A2Q 与 ? 交于点 S 0? (4, y0? ), 由

? y0 ? y0? ?

6 y ? my2 ? 1? ? 2 y2 ? my1 ? 3? 4my1 y2 ? 6 ? y1 ? y2 ? 6 y1 2 y2 ? ? 1 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

y0? y2 2 y2 ? , 得 y0? ? . ... ...10分 4 ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2

?12m ?12m ? m 2 ? 4 m 2 ? 4 ? 0 ,∴ y ? y ? ,即 S 与 S ? 重合, ? 0 0 0 0 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? 这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 ? : x ? 4 上.....12分 ....
解法二: (Ⅰ)同解法一........4分 ....... (Ⅱ)取 m ? 0, 得 R ?1, 是y?

? ? ?

3? ? 3? 3 3 x? , 直线 A2Q 的方程 ? , Q ?1, ? ? ,直线 A1R 的方程是 y ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 6 3

3 x ? 3, 交点为 S1 4, 3 . 2 1 1 1 ?8 3? 取 m ? 1, 得 R ? , ? , Q ? 0, ?1? ,直线 A R 的方程是 y ? x ? , 直线 A2Q 的方程是 y ? x ? 1, 1 6 3 2 ?5 5? 交点为 S2 ? 4,1? . ∴若交点 S 在同一条直线上,则直线只能为 ? : x ? 4 ..6分 .
以下证明对于任意的 m, 直线 A R 与直线 A2Q 的交点 S 均在直线 ? : x ? 4 上 1

?

?

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 事实上,由 ? 4 ,得即 ? m ? 4 ? y ? 2my ? 3 ? 0 , ? x ? my ? 1 ? ?2m ?3 , y1 y2 ? 2 记 R ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 2 ....8分 ... m ?4 m ?4 y y A1R 的方程是 y ? 1 ? x ? 2 ? , A2Q 的方程是 y ? 2 ? x ? 2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y 消去 y, 得 ? x ? 2? ? 2 ? x ? 2? ?????????????? ① x1 ? 2 x2 ? 2 以下用分析法证明 x ? 4 时,①式恒成立。 6 y1 2 y2 要证明①式恒成立,只需证明 ? , x1 ? 2 x2 ? 2
即证 3 y1 ? my2 ?1? ? y2 ? my1 ? 3? , 即证 2my1 y2 ? 3? y1 ? y2 ? . ?? ∵ 2my1 y2 ? 3 ? y1 ? y2 ? ? ②... ...10分

?6m ?6m ? 2 ? 0, ∴②式恒成立. 2 m ?4 m ?4 这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 ? : x ? 4 上......12分 .....
解法三: (Ⅰ)同解法一............4分 ...........

? x2 2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 (Ⅱ)由 ? 4 ,得 ? my ? 1? ? 4 y ? 4, 即 ? m ? 4 ? y ? 2my ? 3 ? 0 . ? x ? my ? 1 ? ?2m ?3 , y1 y2 ? 2 记 R ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 2 ..... .....6分 m ?4 m ?4 y y A1R 的方程是 y ? 1 ? x ? 2 ? , A2Q 的方程是 y ? 2 ? x ? 2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2

y1 ? ? y ? x ? 2 ? x ? 2? , y1 y ? 1 由? 得 ? x ? 2? ? 2 ? x ? 2? , x2 ? 2 ? y ? y2 ? x ? 2 ? , x1 ? 2 ? x2 ? 2 ?

.....8分 ....

即 x ? 2?

y2 ? x1 ? 2? ? y1 ? x2 ? 2? y ? my1 ? 3? ? y1 ? my2 ? 1? .....10分 .... ? 2? 2 y2 ? x1 ? 2? ? y1 ? x2 ? 2? y2 ? my1 ? 3? ? y1 ? my2 ? 1?

?3 ? ?2m ? 2m? 2 ? 3? 2 ? y1 ? ? y1 2my1 y2 ? 3 y2 ? y1 m ?4 ?m ?4 ? ? 2? ?4 . ? 2? ? ?2m ? 3 y2 ? y1 3? 2 ? y1 ? ? y1 ?m ?4 ? 这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 ? : x ? 4 上.......... ..........12分
注:还可有其他方法,只要过程严密,结论正确都给分 21.解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f '( x) ?

( x ? 1) ( x ? 0) x

解 f '( x) ? 0 得 x ??1, ?? ? ;解 f '( x) ? 0 得 x ? ? 0,1? 所以, f (x ) 的单调增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ? 0,1? 可知 f ( x)min ? f (1) ,所以 f ( x) ? f (1) (Ⅱ) ∵ f ' ( x) ? ∴ f ' ( 2) ? ? ............. 分 .............3

a(1 ? x) ( x ? 0) x

a ? 1 得 a ? ?2 , f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 2

3 ∴ g ( x) ? x ? (

m ? 2) x 2 ? 2 x ,∴ g ' ( x) ? 3x 2 ? (m ? 4) x ? 2 2
'

.... 分 ....4

∵ g (x) 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,且 g ? 0? ? ?2 ∴ ? 由题意知:对于任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立,

? g ' (t ) ? 0 ...6 分 .. ? g ' (3) ? 0

? g '(1) ? 0 37 ? ? m ? ?9 所以, ? g '(2) ? 0 ,∴ ? 3 ? g '(3) ? 0 ?
(Ⅲ)证明如下: 由(1)可知

............. 分 .............8

当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) ,即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ 0 ? ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立 ...............10 分 .............. ∵ n ? 2, n ? N* ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ?

ln n n ? 1 ? n n

.....11 分 ....

?

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N? ) .....12 分 .... 2 3 4 n 2 3 4 n n

(也可用数学归纳法证明,只要过程严密,灵活给分) 22.(Ⅰ)证明:? ?CPD ? ?ABC, ?D ? ?D , ? ?DPC ~ ?DBA,?

PC PD ? AB BD

又? AB ? AC ,?

PC PD ? .......... 分 ..........5 AC BD

(Ⅱ)解: ? ?ACD ? ?APC, ?CAP ? ?CAP, ? ?APC ~ ?ACD ?

AP AC ? , AC AD

? AC 2 ? AP ? AD ? 9 ............ ............10 分
23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0,??????2 分 ∵曲线 C2 的直角坐标方程为: ( ∴曲线 C2 的参数方程为: ?

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3

? x ? 3 cos ? ? (? 为参数) .??????5 分 ? y ? 2sin ? ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(300 ? ? ) ? 6 | 6 - ,??????7 分 ? 5 5 |4?6| 3 0 ? 2 5 .????10 分 ∴当 sin(60 -θ )=-1 时,点 P(- ,1) ,此时 d max ? 2 5 24.解: (I)? 2a ? b | ? | 2a ? b |?| 2a ? b ? 2a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立, | 当且仅当 (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号, d?
? | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4。 |a|

????5 分

(II)

?| 2 ? x | ? | 2 ? x |?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 恒成立, |a|
????7 分

故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值 |a| 由(I)可知 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4。
|a|

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解。 可用分类讨论法;数性结合法;图像法等方法,只要过程严密,结论正确即可 解不等式得 ? 2 ? x ? 2. ????10 分

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