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数学第二章 2.4(二)辅助学习 高效提升



§ 2.4

等比数列(二)

课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式. 2.掌握等比数列的性质,能用性质灵活解决问题. 1.一般地,如果 m,n,k,l 为正整数,且 m+n=k+l,则有 am· an=ak· al,特别地, 2 当 m+n=2k 时,am· an=ak . 2.在等比数列{an}中,每隔 k 项(k∈N*)取

出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列 仍为等比数列. 1 bn 3.如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为 q1,q2,那么数列{ },{an· bn},{ }, an an 1 q2 {|an|}仍是等比数列,且公比分别为 ,q1q2, ,|q1|. q1 q1

一、选择题 1.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案 C 解析 在等比数列{an}中,∵a1=1, 10 10 ∴am=a1a2a3a4a5=a5 1q =q . m-1 m-1 ∵am=a1q =q , ∴m-1=10,∴m=11. 2.已知 a,b,c,d 成等比数列, 且曲线 y=x2-2x+3 的顶点是(b,c),则 ad 等于( ) A.3 B.2 C.1 D.-2 答案 B 解析 ∵y=(x-1)2+2,∴b=1,c=2. 又∵a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc=2. a c 3. 若 a, b, c 成等比数列, m 是 a, b 的等差中项, n 是 b, c 的等差中项, 则 + =( ) m n A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C 解析 设等比数列公比为 q. a+b b+c 由题意知:m= ,n= , 2 2 a c 2a 2c 2 2q 则 + = + = + =2. m n a+b b+c 1+q 1+q 4.已知各项为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 答案 A 解析 3 ∵a1a2a3=a3 2=5,∴a2= 5.

3 ∵a7a8a9=a3 8=10,∴a8= 10.

1 3 ∴a2 5=a2a8= 50=50 , 3 又∵数列{an}各项为正数, 1 ∴a5=50 . 6 1 ∴a4a5a6=a3 5=50 =5 2. 2 5.在由正数组成的等比数列{an}中,若 a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9 的值 为( ) 4 3 4 A. B. C.2 D .3 3 4 3 答案 A 1 3 解析 ∵a4a6=a2 5,∴a4a5a6=a5=3,得 a5=3 . 3 ∵a1a9=a2a8=a2 , 5 ∴log3a1+log3a2+log3a8+log3a9=log3(a1a2a8a9) 4 4 =log3a4 5=log33 = . 3 3 a5 6.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2· a8=6,a4+a6=5,则 等于( ) a7 5 6 2 3 A. B. C. D. 6 5 3 2 答案 D 解析 设公比为 q,则由等比数列{an}各项为正数且 an+1<an 知 0<q<1, 由 a2· a8=6,得 a2 5=6. 6 ∴a5= 6,a4+a6= + 6q=5. q 2 a5 1 6 3 解得 q= ,∴ = 2=( )2= . a q 2 2 7 6 二、填空题 7.在等比数列{an}中,a1=1,a5=16,则 a3=________. 答案 4 a5 解析 由题意知,q4= =16,∴q2=4,a3=a1q2=4. a1 8.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=________. 答案 -6 解析 由题意知,a3=a1+4,a4=a1+6. ∵a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴a2 3=a1a4,∴(a1+4) =(a1+6)a1, 解得 a1=-8,∴a2=-6. 9. 在 1 与 2 之间插入 6 个正数, 使这 8 个数成等比数列, 则插入的 6 个数的积为________. 答案 8 解析 设这 8 个数组成的等比数列为{an}, 则 a1=1,a8=2. 插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7=(a2a7)· (a3a6)· (a4a5)=(a1a8)3=23=8. a2-a1 10.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 b2 的值是________. 1 答案 2 解析 ∵-1,a1,a2,-4 成等差数列,设公差为 d,

1 则 a2-a1=d= [(-4)-(-1)]=-1, 3 ∵-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列, ∴b2 2. 2=(-1)×(-4)=4,∴b2=± 若设公比为 q,则 b2=(-1)q2,∴b2<0. a2-a1 -1 1 ∴b2=-2,∴ = = . b2 -2 2 三、解答题 11.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项和为 21,中间 两项和为 18,求这四个数. 解 设这四个数分别为 x,y,18-y,21-x, ?y2=x?18-y? ? 则由题意得? , ?2?18-y?=y+?21-x? ?
? ?x=3 解得? 或 ?y=6 ?

?x= 4 , ? 45 ?y= 4

75

.

75 45 27 9 故所求的四个数为 3,6,12,18 或 , , , . 4 4 4 4 12.设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数 列. 证明 设{an}、{bn}的公比分别为 p、q,p≠0,q≠0,p≠q,cn=an+bn. 要证{cn}不是等比数列,只需证 c2 c3 成立即可. 2≠c1· 2 2 2 2 2 2 事实上,c2=(a1p+b1q) =a1p +b1q +2a1b1pq, c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2) 2 2 2 2 2 =a2 1p +b1q +a1b1(p +q ). 2 2 由于 c1c3-c2 c3,故{cn}不是等比数列. 2=a1b1(p-q) ≠0,因此 c2≠c1· 能力提升 13.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10, 则 a 等于( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 答案 D 2b=a+c, ① ? ? 2 解析 依题意有?a =bc, ② ? ?a+3b+c=10, ③ ①代入③求得 b=2. ?a+c=4, ? 从而? 2 ?a2+2a-8=0, ? a = 2 c ? 解得 a=2 或 a=-4. 当 a=2 时,c=2,即 a=b=c 与已知不符, ∴a=-4. 14.等比数列{an}同时满足下列三个条件: 32 2 4 ①a1+a6=11 ②a3· a4= ③三个数 a2,a2 3 , a4+ 依次成等差数列,试求数列 {an} 9 3 a 的通项公式. 32 解 由等比数列的性质知 a1a6=a3a4= 9

a +a =11 ? ?a1=3 ? 1 6 ∴? 解得? 32 32 a1· a6= ? 9 ? ?a6= 3

1

?a = 3 求? 1 ?a =3
1 6

32

?a =3 当? 32 ?a = 3
1 6

1

时 q=2

1 n- 1 ∴an= · 2 3 2 4 32 32 2 a +a4+ = ,2a3 = 3 2 9 9 9 2 4 2 ∴ a2,a3 ,a4+ 成等差数列, 3 9 1 n- 1 ∴an= · 2 3 32 a1= 3 1 1 6-n 当 时 q= ,an= · 2 2 3 1 a6= 3 2 4 2 a +a4+ ≠2a3 , 3 2 9 ∴不符合题意, 1 n-1 ∴通项公式 an= · 2 . 3

? ? ?

1.等比数列的基本量是 a1 和 q,依据题目条件建立关于 a1 和 q 的方程(组),然后解方 程(组),求得 a1 和 q 的值,再解决其它问题. 2.如果证明数列不是等比数列,可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明,即存 2 在 an,an+1,an+2,使 an+1≠an·an+2. 3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.



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