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江西省南昌市第二中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


南昌二中 2014-2015 学年度下学期期末考试

高二数学(理)试卷
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一个正确.每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,则 A ? B ? ( ) A. {?1,0} B. {0,1} C. {?1, 0,1} D. {0,1, 2} 2.若 ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,则 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 | x ? 2 | 等于 ( A. 4 x ? 5 B.3 C. ? 3 D. 5 ? 4 x 3. 6 本相同的数学书和 3 本相同的语文书分给 9 个人,每人 1 本,共有不同分法(
2



)

A.C

3 9

B.A

3 9

C.. A

6 9

D. A · A

3 9

3 3

4.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张 卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( ) 1 2 1 3 A. B. C. D. 3 3 2 4

t t?2 ? a ? 2 在 t ? ?0,2? 上恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) t ?9 t ?1 ? ?1 4 ? ?2 ? ?1 ? A. ? ,1? B. ? , ? C. ? ,1? D. ? ,2 2 ? ?6 ? ? 6 13? ?13 ? ?6 ? 6.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图 曲线可得下列说法中正确的是( ) A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小 C.乙学科总体的方差及均值都居中 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同
5.若不等式
2

7.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为 全球性的威胁.为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽 取 100 只小鼠进行试验,得到如下列联表: 附表: 感染 未感染 总计 0.10 P K2 ? k 10 40 50 服用 30 50 未服用 20 2.706 k 30 70 100 总计

?

?

0.05 3.841

0.025 5.024

参照附表,下列结论正确的是( ) . 5% A. 在犯错误的概率不超 过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”; B.在犯错误的概率不超 5% 过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”; C.有 97.5% 的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”; D.有 97.5% 的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫 D C Q 苗无关”. 8.如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a,动点 M、 B A N、Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1 上.当三棱锥 Q-BMN 的俯视 M
1 1 1 1

图如图 2 所示时,三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于(


D

1 2 a A. 2
A

N C

B

正视方向 图2

图1

1 2 a 4 2a 2 C. 4 3a 2 D. 4
B. 9.下列四个结论,其中正确的有
7 2 7



)个.

①已知 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a7 x ,则 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?3 ; ②过原点作曲线 y ? e x 的切线,则切线方程为 ex ? y ? 0 (其中 e 为自然对数的底数) ; ③已知随机变量 X ? N ? 3,1? ,且 P ? 2 ? X ? 4? =0.6862 ,则 P ? X ? 4? ? 0.1587 ④已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明等式

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 若假设 n ? k (k ? 2) 时, 命题为真, 1? ? ? ??? ? 2? ? ? ? + ? 时, 2 3 4 n ?1 2n ? ? n?2 n?4 则还需利用归纳假设再证明 n ? k ? 1 时等式成立,即可证明等式对一切正偶数 n 都成立. 2 2 ⑤在回归分析中,常用 R 来刻画回归效果,在线性回归模型中, R 表示解释变量对于预报 2 变量变化的贡献率, R 越接近 1,表示回归的效果越好.
A.2 B.3 C.4 D.5 10.考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的 9 条棱,甲从这 9 条棱中任选一条,乙从这 9 条 棱中任选一条,则这两条棱互相垂直的概率为 ( ) A.

22 81

B.

37 81

C.

44 81

D.

59 81

11. 将 4 个相同的红球和 4 个相同的蓝球排成一排, 从左到右每个球依次对应序号为 1, 2, …, 8,若同颜色的球之间不加区分,则 4 个红球对应序号之和小于 4 个蓝球对应序号之和的排 列方法种数为 ( ) A.31 B.27 C.54 D.62 12.在右图所示的电路中,5 只箱子表示保险匣,箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概 率,当开关合上时,电路畅通的概率是 ( ) A.

29 36

B.

551 720

C.

29 72

D.

29 144

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.若 ( x ? 2)5 ? a5 x5 ? a4 x4 ? a3 x3 ? a2 x2 ? a1x ? a0 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 。 (用数字作答) 。
14.由数字 1,3,4,6, x 五个数字组成没有重复数字的五位数,所有这些五位数各位上的 数字之和的总值为 2640,则 x = 15.已知 x 为实数,则 y ? 27 ? 3x ? 5x ?15 的最大值为 16.将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 三、解答题 17. (本小题满分 10 分)

2 已知集合 A ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,B ? x ? x ? a ?? x ? 3a ? ? 0 .

?

?

?

?

(Ⅰ)若 x ? A是x ? B 的充分条件,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 A I B ? ? ,求 a 的取值范围.

18 (本小题满分 12 分) 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分 别为 2,3,4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3,某人用左右手分别从甲、乙两袋 中取球. (I)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率; (II)若左右手依次各取两球,称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取 球(左右手依次各取两球为两次取球)的成功取法次数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学 期望.

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求 k 的值;

已知函数 f ( x) ? k ? x ? 3 , k ? R 且 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1?

(Ⅱ)若 a, b, c 是正实数,且

1 1 1 1 2 3 ? ? ? 1 ,求证: a ? b ? c ? 1 。 ka 2kb 3kc 9 9 9

20. (本小题满分 12 分) 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖的个数,收集数据如下: 1 2 3 4 天数 x/天 6 12 25 49 繁殖个数 y/个

5 95

6 190

(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图,根据散点图判断:

y ? a ? bx 与 y= C1eC2x 哪一个作为繁殖的个数 y 关于时间 x 变化的回归方程类型为最佳? (给
出判断即可,不必说明理由)

x
3.5

y
6283

z
3.53

? ( xi ? x)2
i ?1

6

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

6

? ( x ? x)( z ? z)
i ?1 i i

6

17.5

596.505

12.04

其中 zi ? ln yi ; z ?

1 6 ? zi 6 i ?1

(2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据,建立 y 关于 x 的回归方程。

参考公式: b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( xi ? x)2
i ?1

n

a ? y ? bx

21. (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中,已知 ?ABC ? 45?, O 在 AB 上,且 OB ? OC ? 面 ABC , DA // PO, DA ? AO ?

2 AB , 又 PO ? 平 3

1 PO . 2 (Ⅰ)求证: PD ⊥平面 COD ; (Ⅱ)求二面角 B ? DC ? O 的余弦值.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (?1)k 2ln x (k ? N * ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)当 k 为奇数时, x ? 0 , n ? N 时,求证: [ f / ( x)]n ? 2n?1 f / ( xn ) ? 2n (2n ? 2).
*

南昌二中 2014-2015 学年度下学期期末考试 高二数学(理)试卷参考答案
一.选择题:ABABC AABBC AA 二.填空题 13.31; 14. x ? 8 ; 15. 4 3 ; 三.解答题 16.

1 12

2 17. 解: (Ⅰ) A ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 = x 2 ? x ? 4

?

? ?

?

①当 a ? 0 时, B =? ,不合题意;

②当 a ? 0 时, B ? = x a ? x ? 3a ,由题意知 A ? B

?

?

?a?2 4 ?? ? ?a?2 3 ?3a ? 4
③当 a ? 0 时, B ? = x 3a ? x ? a ,由 A ? B 得 ? (Ⅱ) A ? x 2 ? x ? 4

?

?

?

? ?

?3a ? 2 4 ,此时无解,综上: ? a ? 2 3 ?a?4

① 当 a ? 0 时, B =? ,合题意.

② 当 a ? 0 时, B ? = x a ? x ? 3a ,由 A ? B ? ? 得

?

?a ? 0 2 ? a ? 4或0 ? a ? ? 3 ?a ? 4或3a ? 2
③ 当 a ? 0 时, B ? = x 3a ? x ? a ,由 A ? B ? ? 得 ? 综上述: a ? 4或a ?

?

?

?a ? 0 ?a?0 ?a ? 2或3a ? 4

2 时 A? B ? ? 3

18.解: (Ⅰ)设事件 A 为“两手所取的球不同色”, 则 P( A) ? 1 ?

2 ? 3 ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? . 9?9 3

(Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2. 左手所取的两球颜色相同的概率为 右手所取的两球颜色相同的概率为
2 2 C2 ? C32 ? C4 5 ? , 2 C9 18

C32 ? C32 ? C32 1 ? , C92 4 5 ?? 1 ? 13 3 13 ? , P( X ? 0) ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? 18 ?? 4 ? 18 4 24 5 1 5 1 7 P( X ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 18 4 18 4 18 5 1 5 P ( X ? 2) ? ? ? , 所以X的分布列为: 18 4 72
X P 0 1 2

13 24

7 18

5 72

13 7 5 19 ? 1? ? 2 ? ? . 24 18 72 36 19 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? k ? x ? 3 ,所以 f ( x ? 3) ? 0 等价于 x ? k E( X ) ? 0 ?
由 x ? k 有解,得 k ? 0 ,且其解集为 ? x ? k ? x ? k ? 又 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1? ,故 k ? 1

1 1 1 ? ? ? 1 ,又 a, b, c 是正实数,由均值不等式得 a 2b 3c 1 1 1 a a 2b 2b 3c 3c a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? 3? ? ? ? ? ? ? a 2b 3c 2b 3c a 3c a 2b a 2b a 3c 2b 3c 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3? 2? 2? 2 ? 9 2b a 3c a 3c 2b 当且仅当 a ? 2b ? 3c 时取等号。 1 2 3 也即 a ? b ? c ? 1 9 9 9
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 20. (1)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y= C1e
C2 x

的周围,于是选择 y= C1e 5 4.55

C2 x

? (2)令 Z=lny,则 Z=bX ?a x 1 Z 1.79
由b ?

2 2.48

3 3.22

4 3.89

6 5.25

? ( x ? x)( z
i ?1 i 6 i ?1 i

6

i

? z) ?
2

? ( x ? x)

12.04 ? 0.688 , a ? z ? bx ? 1.122 17.5
0.688x ?1.122

? ? =e ? 1.122 ; 则有 y 得 Z=0.688X

21.解: (Ⅰ)设 OA ? 1 ,则 PO ? OB ? 2, DA ?1 , 由 DA // PO, PO ? 平面 ABC ,知 DA ⊥ 平面 ABC,? DA ? AO .从而 DO ? 2, PD ? 2 在 ?PDO 中? PO ? 2 ? ?PDO 为直角三角形,故 PD ? DO 又? OC ? OB ? 2, ?ABC ? 45? ,? CO ? AB 又 PO ? 平面 ABC,

? PO ? OC, PO, AB ? 平面 PAB, PO ? AB ? O ,? CO ? 平面 PAB . (Ⅱ)以 OC , OB, OP 所在射线分别为 x, y , z 轴,建立直角坐标系如图
则 由 ( Ⅰ ) 知 ,

C( 2 B , 0 ,P? 0, ) D , ??? ? ??? ? ??? ? ? PD ? (0, ?1, ?1), BC ? (2, ?2,0), BD ? (0, ?3,1) ??? ? 由 (Ⅰ) 知 PD ? 平面 COD,? PD 是平面 DCO 的一个
法向量, 设 平

(

0

,

2

,

0

)

B D 的 C 法 向 量 ? ??? ? ? ? ?n ? BC ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0 n ? ( x, y, z ),? ? ? ??? ,? ? , ? ? 3 y ? z ? 0 n ? BD ? 0 ? ? ? ? 令 y ? 1 ,则 x ? 1, z ? 3,?n ? (1,1,3) , ??? ? ? ??? ? ? PD ? n ?1 ? 3 2 22 ? ? ? ?cos ? PD, n ?? ??? ?? 11 | PD || n | 2 11




由图可知,二面角 B ? DC ? O 的余弦值为
/

2 22 . 11
k

22.解: (Ⅰ)由已知得 x ? 0 且 f ( x) ? 2 x ? ( ?1) ?

2 x

当 k 为奇数时,则 f / ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数;

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? x x / 所以当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, f / ( x) ? 0 故当 k 为偶数时, f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数。 2 2 n 2 / n ?1 n (Ⅱ)由已知得, f ( x) ? 2 x ? ( x ? 0) ,所以左边= (2 x ? ) ? 2 ? (2 x ? n ) x x x 1 1 n?2 2 n?4 n?2 n ?1 1 ? 2n (Cn x ? Cn x ? ??? ? Cn ? Cn ) n?4 x x n?2 1 1 1 n ?2 2 n ?4 n ?2 n ?1 ? Cn 令 S= Cn x ? Cn x ? ??? ? Cn 倒序相加得 n?4 n?2 x x 1 1 1 1 1 2 n?2 n ?1 2S ? Cn ( x n ?2 ? n ? 2 ) ? Cn ( x n ?4 ? n ? 4 ) ? ??? ? Cn ( n ? 4 ? x n ?4 ) ? Cn ( n?2 ? x n?2 ) x x x x n n 1 2 n ?2 n?1 (Cn ? Cn ???? ? Cn ? Cn ) = 2(2 ? 2) ,可得 S ? (2 ? 2) ,
当 k 为偶数时,则 f ( x) ? 2 x ?
/

?2

所以: [ f / ( x)]n ? 2n?1 f / ( xn ) ? 2n (2n ? 2). 成立。


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