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2013-2014版高中数学(人教A版)必修2 空间直角坐标系、空间两点间的距离公式


4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式

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【课标要求】 1.了解空间直角坐标系,并能确定空间坐标系中点的坐标. 2.会用空间两点间的距离公式解决问题.

【核心扫描】 1. 空间直角坐标系中点的坐标的表示以及两点间的距离公式的 理解、应用.(重点) 2.坐标系的建立、距离公式的推导与应用.(难点)

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自学导引 1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系:从空间某一定点引三条两两垂直,且有相 同单位长度的数轴: x轴、y轴、z轴 ,这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念: 点O 叫做坐标原点, x轴、y轴、z轴 叫做坐标

轴.通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面,分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面.

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(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中, 让右手拇指指向 x轴 的正方向, 食指指 向 y轴 的正方向,如果中指指向 z轴 的正方向,则称这个坐 标系为右手直角坐标系.

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想一想:如何画空间直角坐标系? 提示 画空间直角坐标系时一般要使 x 轴与 y 轴所成的角为

135° 轴与 z 轴所成的角画成 90° ,y ,以体现立体感.

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2.空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用 有序实数组(x,y,z) 来表 示, 有序实数组(x,y,z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的 坐标,记作M(x,y,z) .其中 x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标.

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想一想:给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序 实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系? 提示 是.给定空间直角坐标系下,空间给定一点其坐标是唯

一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y, z),空间也有唯一的点与之对应.

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3.空间两点间的距离公式 (1) 在 空 间 中 , 点 P(x , y , z) 到 坐 标 原 点 O 的 距 离 |OP|= x2+y2+z2. (2)在空间中,P1(x1 ,y1 ,z1)与 P2(x2 ,y2 ,z2)的距离|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2.

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试一试:已知点 P(x,y,z),如果 r 为定值,那么 x2+y2+z2= r2 表示什么图形? 提示 由 x2+y2+z2为点 P 到坐标原点的距离,结合 x2+y2+ z2=r2 知点 P 到原点的距离为定值|r|,因此 r≠0 时,x2+y2+z2 =r2 表示以原点为球心,|r|为半径的球面;r=0 时,x2+y2+z2 =r2 表示坐标原点.

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名师点睛 1.点的坐标的确定 空间直角坐标系中,空间一点 P 的坐标的确定,需三步完成: (1)过 P 作 xOy 平面的垂线,垂足为 Q; (2)在 xOy 平面内确定 Q 的纵、横坐标,即为点 P 的纵、横坐 标; (3)在平面 OQP 内过 P 作 z 轴的垂线,垂足为 M,则 M 的竖坐 标即是 P 点的竖坐标.

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2.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下

点的 位置

原点

x轴

y轴 (0,

z轴 (0,0, z)

xOy 平面 (x, y,0)

yOz 平面 (0,y, z)

xOz平 面 (x,0, z)

坐标 (0,0,0 表示 ) (x,0,0)

y,0)

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3.空间线段的中点坐标公式 设 M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)是空间中两点,则 MN 的中点 P
?x1+x2 y1+y2 z1+z2? ? 的坐标为? , 2 , 2 ?. ? 2 ? ?

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4.空间两点间的距离公式 空间中两点 P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)的距离公式 |P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. 特别地,点 P(x,y,z)与原点间的距离公式为 |OP|= x2+y2+z2.

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空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广,动点 P(x, y,z)到定点 P0(x0,y0,z0)的距离等于定长 r(r >0)的轨迹方程 为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2,此方程表示以点 P0 为球心, 以 r 为半径的球面.

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题型一

求空间点的坐标

【例 1】 建立适当的坐标系,写出底边长为 2,高为 3 的正三 棱柱的各顶点的坐标. [思路探索] 建立适当的空间直角坐标系,然后对特殊点,可直 接写出坐标,对于非特殊点,可找出它在 xOy 平面上的射影以 确定其坐标 x,y,再找它在 z 轴上的射影以确定其坐标 z.

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解 以 BC 的中点为原点,BC 所在的直线为 y 轴,以射线 OA 所在的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系,如下图.

3 由题意知,AO= 2 ×2= 3,从而可知各顶点的坐标分别为 A( 3,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A1( 3,0,3),B1(0,1,3), C1(0,-1,3).
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规律方法 (1)题目若未给出坐标系,建立空间直角坐标系时应 遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上的射 影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它 到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.

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【变式 1】 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=BC=3, AB=5,AA1=4,建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶 点的坐标.

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解 如图,以 DA 所在直线为 x 轴,以 DC 所在直线为 y 轴, 以 DD1 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz. ∵长方体的棱长 AD=BC=3,DC=AB=5, DD1=AA1=4, 显然 D(0,0,0),A 在 x 轴上, ∴A(3,0,0); C 在 y 轴上,∴C(0,5,0);

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D1 在 z 轴上,∴D1(0,0,4); B 在 xOy 平面内,∴B(3,5,0); A1 在 xOz 平面内,∴A1(3,0,4); C1 在 yOz 平面内,∴C1(0,5,4). 由 B1 在 xOy 平面内的射影为 B(3,5,0), ∴B1 的横坐标为 3,纵坐标为 5, ∵B1 在 z 轴上的射影为 D1(0,0,4), ∴B1 的竖坐标为 4, ∴B1(3,5,4).

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题型二

求对称点的坐标

【例 2】 求点 A(1,2,-1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的对称点 的坐标. [思路探索] 求对称点的坐标,可以过该点向对称平面或对称轴 作垂线并延长使得垂足为所作线段的中点,再根据有关性质即 可写出对称点坐标.

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如图,过 A 作 AM⊥平面 xOy 交平面

于 M,并延长到 C,使 CM=AM,则 A 与 C 关于坐标平面 xOy 对称且 C(1,2,1). 过 A 作 AN⊥x 轴于 N 并延长到点 B,使 NB=AN, 则 A 与 B 关于 x 轴对称且 B(1,-2,1). ∴A(1,2,-1)关于坐标平面 xOy 对称的点 C(1,2,1); A(1,2,-1)关于 x 轴对称的点 B(1,-2,1).

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规律方法

求对称点的坐标可按以下规律写出:“关于谁对称

谁不变,其余的符号均相反”,如关于 x 轴对称的点,横坐标 不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于 xOy 坐标平面 对称的点,横、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数.特别 地,若关于原点对称,则三个坐标均变为原来的相反数.

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【变式 2】 在空间直角坐标系中, 已知点 P 的坐标为(-2,1,4). (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标; (2)求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标; (3)求点 P 关于点 M(2,-1,-4)的对称点的坐标.

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解 (1)由于点 P 关于 x 轴对称后,它的横坐标 x 不变,纵坐标 y,竖坐标 z 变为原来的相反数,所以对称点为 P1(-2,-1, -4). (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后,它的横坐标 x,纵坐标 y 不 变,竖坐标 z 变为原来的相反数,所以对称点为 P2(-2,1,- 4). (3)设对称点为 P3(x,y,z),则点 M 为线段 PP3 的中点,由中 点坐标公式,可得 x=2×2-(-2)=6, y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12. 所以 P3(6,-3,-12).
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题型三 空间中两点间的距离

【例 3】 如图所示, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AD=2, AA1=4,点 M 在 A1C1 上,|MC1|=2|A1M|,N 为 D1C 的中点, 求 M,N 两点间的距离. 审题指导

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[规范解答] 如题图所示,以 A 为原点,以 AB,AD,AA1 所在 直线为坐标轴,建立空间直角坐标系.(3 分) 由
?2 2 ? M?3,3,4?,C(2,2,0),D1(0,2,4).(6 ? ?

分)

则 N 为 CD1 的中点可得 N(1,2,2).(9 分) ∴|MN|=
? 2?2 ? 2?2 ?1- ? +?2- ? +?2-4?2= 3? ? 3? ?

53 .(12 分) 3

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【题后反思】 空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过 距离公式求解.

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【变式 3】 已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3,-1). (1)求 P,Q 之间的距离; (2)求 z 轴上一点 M,使|MP|=|MQ|.

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(1)|PQ|= ?4-1?2+?3-0?2+?-1-1?2= 22.

(2)M 在 z 轴上,可设其坐标为(0,0,z). |MP|2=12+02+(1-z)2=z2-2z+2, |MQ|2=42+32+(z+1)2=z2+2z+26. 由|MP|=|MQ|, 得 z2-2z+2=z2+2z+26, ∴z=-6. 故 M(0,0,-6).

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方法技巧 函数与方程思想在空间几何体中的应用 对于空间几何体建立空间直角坐标系后,就把点和坐标联系起 来,这样就可以把空间中的位置关系、距离等问题利用函数与 方程的思想解决.

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【示例】 正方形 ABCD, ABEF 的边长都是 1,并且平面 ABCD ⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动.若|CM| =|BN|=a(0<a< 2). (1)求 MN 的长度; (2)当 a 为何值时,MN 的长度最短. [思路分析] 利用题目中的垂直关系,以 B 为坐标原点,分别以 BA、BE、BC 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 将 M、N 坐标表示出来,利用空间两点间的距离公式可以将问 题解决.

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解 因为平面 ABCD⊥平面 ABEF,且交线为 AB,BE⊥AB,所 以 BE⊥平面 ABCD,所以 BA,BC,BE 两两垂直,取 B 为坐标 原点,BA,BE,BC 所在直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如 图所示的空间直角坐标系. 因为|BC|=1,|CM|=a,点 M 在坐标平面 xBz 上且在正方形 ABCD 的对 角线上,所以点
? M? ? ?

2 2 ? ? a,0,1- 2 a? 2 ?

因为点 N 在坐标平面 xBy 上且在正方形 ABEF 的对角线上,|BN| =a,所以点
? N? ? ? ? 2 2 ? a, 2 a,0?. 2 ?

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(1)由空间两点间的距离公式, 得|MN|=
? ? ? ? ? 2 2 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ? ? ? ? ? a- 2 a? +?0- 2 a? +?1- 2 a-0?2 2 ? ? ? ? ?

= a2- 2a+1,即 MN 的长度为 a2- 2a+1. (2)由(1)得|MN|= a - 2a+1= 足 0<a< 2)时, 2 最短,最短为 2 .
? ? ?a- ?
2

? ? ?a- ?

2 2?2 1 ? + ,当 a= 2 (满 2? 2 ?

2?2 1 ? ? +2取得最小值,即 MN 的长度 2?

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方法点评 由于图形中出现了两两垂直的三条直线, 因此采用了 建立空间直角坐标系, 把几何问题转化为代数问题的方法求解, 利用空间两点间的距离公式求得 MN 的长度,并利用二次函数 求 MN 的最小值.

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