9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学 3.2-1《简单的三角恒等变换》课件 新人教A版必修4



LOGO

3.2 简单的三角恒等变换

第一课时

3.2 简单的三角恒等变换
第一课时

1.在△ABC中,已知sin(A-B)cosB+cos(AB)sinB≥1,则△ABC是( A ) A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形

由两角和

的正弦公式得sinA≥1. 由弦函数有界性知,sinA=1,得A=90°.

1 ? cos8 =( B ) 2.化简: 1 ? sin 8 2

A.-sin4 C.sin4-2cos4

B.2cos4-sin4 D.2sin4-cos4

2 cos 2 4 原式= 1 ? 2sin cos 4 2 =|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-cos4<0,cos4<0,

所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.

3 1 3.化简: - cos2x+ 1 cos4x= sin4x . 8 2 8 3 1 1 原式= 8 - 2 (2cos2x-1)+ 8 (2cos22x-1) 2x+ 1 cos22x -cos 4 -cos2x+ 1 (2cos2x-1)2 4

3 = 4 = 3 4

=1-2cos2x+cos4x =(1-cos2x)2=sin4x.

4.若A-B=

? 6

,tanA-tanB=
3 4

2 3 3

,

则cosA· cosB=

.
tan A ? tan B 1 ? tan A tan B

tan(A-B)=

=

所以1+tanA· tanB=2,
cos A ? cos B ? sin A ? sin B 即 =2, cos A ? cos B 所以cosA· cosB= 1 cos(A-B)= 3 2 4

3 3

,

.

三角变换的基本题型——化简、求值和 证明 (1)化简. 三角函数式化简的一般要求:三角函数 种数尽量少;项数尽量少;次数尽量低;尽 量使分母不含三角函数式;尽量使被开方数 不含三角函数式;能求出的值应尽量求出值. 依据三角函数式的结构特点,常采用的 变换方法:异角化同角;异名化同名;异次 化同次;高次降次.

(2)求值.
常见的有给角求值,给值求值,给值求角.

①给角求值的关键是正确地分析角(已 知角与未知角)之间的关系,准确地选用公 式,注意转化为特殊值.
②给值求值的关键是分析已知式与待求 式之间角、名称、结构的差异,有目的地将 已知式、待求式的一方或两方加以变换,找 出它们之间的联系,最后求待求式的值.

③给值求角的关键是求出该角的某一 三角函数值,讨论角的范围,求出该角. (3)证明.它包括无条件的恒等式和附 加条件恒等式的证明.常用方法:从左推 到右;从右推到左;左右互推.

复习引入 1. 三角函数的和(差)公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

问题提出

1.两角和与差及二倍角的三角函数公式 分别是什么? sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ

cos(α ±β )=cosα cosβ msinα sinβ

tan ? ? tan ? tan (? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

sin2α =2sinα cosα
cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1 =1-2sin2α ;

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

讲授新课

思考: ? ?与 有什么样的关系?
2
答:倍角或半角关系.

讲解范例: 2 ? 2 ? 2 ? 例1:试以 cos ? 表示 sin , cos , tan . 2 2 2 2 ? 2 ? cos ? ? 1 ? 2sin ( ) ? 2 cos ?1 2 2 ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ?
sin ( ) ? 2 2
sin( ) ? ? 2 2

? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? tan ? ? tan ? 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ?
2

变式1、证明: (1)sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ?
3

(2) cos 3? ? 4 cos ? ? 3cos ?
3
变式2、证明 tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

变式3、证明: 2 tan ? (1) tan 2? ? 2 1 ? tan ? 2 tan ? (2) sin 2? ? 2 1 ? tan ? 2 1 ? tan ? (3) cos 2? ? 2 1 ? tan ?

万能公式

用单角的正切表示2倍角的正弦、余弦、 正切值

思考:
代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式 的变换.对于三角变换,由于不同的三角 函数式不仅会有结构形式方面的差异,而 且还会有所包含的角,以及这些角的三角 函数种类方面的差异,因此三角恒等变换 常常首先寻找式子所包含的各个角之间的 联系,这是三角式恒等变换的重要特点.

2.三角函数公式是三角变换的理论依据, 基本的三角公式包括同角关系公式,诱 导公式,和差公式和二倍角公式等.有 了这些公式,使得三角变换的内容、思 路、方法丰富多彩,奥妙无穷,并为培 养我们的推理、运算能力提供了 很好的平台.在实际应用中,我们不仅 要掌握公式的正向和逆向运用,还要 了解公式的变式运用,做到活用公式, 用活公式.

3.代数式变换与三角变换的区别在于: 代数式变换主要是对代数式的结构形式 进行变换;三角变换一般先寻找三角式 包含的各个角之间的联系,并以此为依 据选择可以联系它们的适当公式进行变 换,其中有两个变换原理是需要我们了 解的.

探究(一):异角和积互化原理
例2 求证 ?1?sin ? cos ?
1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ??; 2 ? ?? ? ?? ?2?sin ? ? sin ? ? 2 sin cos . 2 2 ?

解 (1) sin(?+?)和sin(?-?)是我们学过的知识,所
以从右边着手 sin(?+?) = sin?cos?+cos?sin? sin(?-?) = sin?cos?-cos?sin? 两式相加,得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos?
1 sin ? cos ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2

(2) 由(1)可得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos? 设 ?+?=?, ?-?=?



? ?? ? ?? ?? ,? ? 2 2
把?,?的值代入①,即得

? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 sin cos . 2 2

思考

在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?

例2证明中用到换元思想, ①式是积化和差的形式, ②式是和差化积的形式; 在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式.

值 例3 求函数y ? sin x ? 3 cos x的周期,最大值和最小

分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相 应的值.

解 y ? sin x ? 3 cos x

?1 ? 3 ? 2? sin x ? cos x ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? 2? sin x cos ? cos x sin 3 ? ?? ? ? 2 sin ? x ? ? 3? ?

点评:例3是三角 恒等变换在数学中 应用的举例,它使 三角函数中对函数 ? ? 的性质研究得到延 ? 伸,体现了三角变 3? 换在化简三角函数 式 中 的 作 用 .

所以,所求的周期为2??,最大值为2,最小值为-2.

例4 如图,已知 OPQ是半径为1,圆心角为

?

3 弧上的动点 ,ABCD是扇形的内接矩形. 记?COP ? ? , 求

的扇形 ,C是扇形

当角?取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积 .

分析:要求当角?取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与?之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.



在Rt△OBC中,OB=cos?,BC=sin?
在Rt△OAD中,
DA ? tan 60 ? ? 3 OA

3 3 3 OA ? DA ? BC ? sin ? 3 3 3 3 AB ? OB ? OA ? cos ? ? sin ? 3

设矩形ABCD的面积为S,则

S ? AB ? BC ? ? 3 ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? 3 ? ?
3 2 ? sin ? cos ? ? sin ? 3

?? 3 ? ? sin ? 2? ? ? ? 6? 6 3 ? ? ? ? ? 由于0 ? ? ? , 所以当 2? ? ? , 即 ? ? 时, 3 6 2 6 1 3 3 S 最大 ? ? 6 3 6
1

1 3 ?1 ? cos 2? ? ? sin 2? ? 2 6 1 3 3 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 6 6 ? 1 ? 3 1 3 ? ?? ? ? 2 sin 2? ? 2 cos 2? ? 6 3? ?

通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如通过三角 变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如 y=Asin(??+?)的函数, 从而使问题得到简化

讲解范例:
变式. 把一段半径为R的圆木锯成横截面
为矩形的木料,怎样锯法能使横截面的

面积最大?(分别设边与角为自变量)

?

讲解范例:
变式.已知半径为1的半圆,PQRS是半圆 的内接矩形如图,问P点在什么位置时, 矩形的面积最大,并求最大面积时的值. Q P

R

O

S

思考3:sin x - cos x , cos x + 3 sin x 可分别合成为哪个三角函数?

sin x - cos x =

p cos x + 3 sin x = 2 sin(x + ) 6 p p 思考4: 3 sin(x + ) - cos(x + ) 3 3

p 2 sin(x - ) 4

可合成为哪个三角函数? p p 2 sin[(x + ) - ] 3 6

思考5:一般地,a sin x + b cos x 可 合成为一个什么形式的三角函数?
a sin x + b cos x = a + b sin(x + q)
2 2

b 其中 t an q = a

1.已知向量a=(cos x-3,sin x),b=(cos x,sin x-3), f(x)=a?b. (1)若x∈[2π ,3π ],求函数f(x)的单调递增区间;
π 3π? (2)若 x∈ 2, 4 ?且 f(x)=-1,求 tan 2x 的值. ? ?
? ? ? ?

【解析】 (1)f(x)=a?b=(cos x-3,sin x)?(cos x, sin x-3) =1-3(cos x+sin x)
? π? ?x+ ?. =1-3 2sin 4? ?

π π 3π 由 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 π 5π 得 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z). 4 4 又∵x∈[2π ,3π ],
?9π ? ? ,3π ?. ∴函数 f(x)的单调递增区间是 4 ? ?

? π? (2)由(1)知 f(x)=1-3 2sin?x+ ?=-1, 4? ? ? π ?x+ ∴sin 4 ? ? 2 ?= , 3 ?

? ? π? π? 5 2 ∴cos 2?x+ ?=1-2sin ?x+ ?= . 4? 4? 9 ? ? ?π 3π ? 5 3π ?,∴π <2x< ∴sin 2x=- .∵x∈? , . 4 ? 9 2 ?2

2 14 ∴cos 2x=- 1-sin2 2x=- . 9 sin 2x 5 14 ∴tan 2x= = . cos 2x 28

三角函数的综合问题
已知函数f(x)=cos4 x-2sin xcosx-sin4 x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调区间; ? ? (3)若x∈ ?0,π? ,求f(x)的最大值及最小值. ? 2? ? ?

【解析】 (1)f(x)=(cos2 x-sin2 x)(cos2 x+ sin2 x)-sin 2x π? 2π ? =cos 2x-sin 2x= 2cos 2x+4?,T= 2 =π. ?
? ? ? ?

π (2)由 2kπ-π≤2x+ ≤2kπ, 4 5 π 解得 kπ-8π≤x≤kπ-8, 5 1 ? 函数 f(x)的单调增区间为 kπ-8π,kπ-8π? ? ? (k∈Z). π 由 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π, 4 1 3 解得 kπ-8π≤x≤kπ+8π, 1 3 ? 函数 f(x)的单调减区间为 kπ-8π,kπ+8π? ? ? (k∈Z).
? ? ? ? ? ? ? ?

π? π ?π 5π? ? (3)∵x∈ 0,2?,∴2x+4∈?4, 4 ?, ? ? ? ? ?
? ? ? ?

π? ? 2? ? ?-1, ?. ∴cos 2x+4?∈ 2? ? ?
? ? ? ?

∴f(x)∈[- 2,1]. ∴当 x=0 时,f(x)的最大值为 1, 3 当 x= π 时,f(x)的最小值为- 2. 8

本小题考查三角函数最值与单调性问题,解 决这类问题的关键是解决两个问题,一是利用三 角恒等变换将函数解析式转化为 y= 2 π? cos 2x+4?,即 y=b+Acos(ωx+φ)的形式,二是 ? ?
? ? ? ?

π 把 2x+ 视为整体,代入 y=cos x 的相应的单调 4 区间,可求最值和单调性.如果对于 y=b+ Asin(ωx+φ)或 y=b+Acos(ωx+φ)类型的函数, 当 A>0,ω<0 时,需要先用诱导公式变形为 y =b-Asin(-ωx-φ)或 y=b+Acos(-ωx-φ), 才 能用上述方法, 即要用复合函数的单调性去判断, 而不能盲目地把 ωx+φ 作为一个整体代入.

2 . 已 知 函 数 f(x) = sin2 ωx + 3 sin π? ωxsin ωx+2?+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 轴右 ? ?
? ? ? ?

π 侧的第一个最高点的横坐标为6. (1)求 f(x)的对称轴方程; (2)求 f(x)的单调递增区间.

3 1 3 【解析】 (1)f(x)= 2 sin 2ωx+2cos 2ωx+2 π? 3 =sin 2ωx+6?+2 ? ?
? ? ? ?

π π π 令 2ωx+6=2,将 x=6代入可得:ω=1 π? 3 f(x)=sin 2x+6?+ , ? 2 ?
? ? ? ?

π π 对称轴方程为 2x+ =kπ+ (k∈Z) 6 2 1 π 即 x= kπ+ (k∈Z) 2 6 π π? (2)单调增区间为 kπ-3,kπ+6?(k∈Z) ? ?
? ? ? ?

本节内容是灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换,

进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容,多以解答题的形式
呈现,属中、低档题. 1.(2009年安徽卷)已知函数f(x)= 3 sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x) 的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间 是( )

π 5π? A. kπ-12,kπ+12?,k∈Z ? ?
? ? ? ?

5π 11π? B. kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?

π π? C. kπ-3,kπ+6?,k∈Z ? ? π 2π? D. kπ+6,kπ+ 3 ?,k∈Z ? ?
? ? ? ?

【解析】 π? 2sin ωx+6?. ? ?
? ? ? ?

f(x) = 3 sin ωx + cos ωx =

因为函数 y=f(x)的图象与 y=2 的两个相邻 交点的距离为 π, 故函数 y=f(x)的周期为 π.
? π? 2π ? 所以 ω =π.即 ω=2.所以 f(x)=2sin?2x+6?.令 2kπ ? ? ?

π π π 2π π - ≤2x+ ≤2kπ+ 得 2kπ- ≤2x≤2kπ+ . 2 6 2 3 3 π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 3 6
【答案】 C

π π? 2. (2009 年重庆卷)设函数 f(x)=sin 4x-6?- ? ?
? ? ? ?

2cos x+1. 8 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 4? x=1 对称, 求当 x∈ 0,3?时, y=g(x)的最大值. ? ?
? ? ? ?



π π π π π 【解析】 (1)f(x)=sin4xcos6-cos4xsin6-cos4x 3 π 3 π = 2 sin4x-2cos4x π π? = 3sin 4x-3?, ? ?
? ? ? ?

2π 故 f(x)的最小正周期为 T= π =8. 4

(2)方法一: y=g(x)的图象上任取一点(x, 在 g(x)), 它关于 x=1 的对称点为(2-x,g(x)). 由题设条件, 点(2-x, g(x))在 y=f(x)的图象上, π π? 从而 g(x)=f(2-x)= 3sin 4(2-x)-3? ? ?
? ? ? ?

π π π? = 3sin 2-4x-3? ? ?
? ? ? ?

π π? = 3cos 4x+3?. ? ?
? ? ? ?

4 π π π 2π 当 0≤x≤3时,3≤4x+3≤ 3 ,因此 y=g(x) 4? π 3 在区间 0,3?上的最大值为 g(x)max= 3cos3= 2 . ? ?
? ? ? ?

4? 方法二:因区间 0,3?关于 x=1 对称区间为 ? ?
? ? ? ?

? ? ? ?

2 ? ,2?, ? 3 ? 且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于 x=1 对称, 4? 故 y=g(x)在 0,3?上的最大值即为 y=f(x)在 ? ?
? ? ? ?

? ? ? ?

2 ? ,2?上的最大值. ? 3 ? π π? 由(1)知 f(x)= 3sin 4x-3?, ? ?
? ? ? ?

2 π π π π 当3≤x≤2 时,-6≤4x-3≤6. 4? 因此 y=g(x)在 0,3?上的最大值为 g(x)max= ? ? π 3 3sin = . 6 2
? ? ? ?

6 5.设 a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c= . 2 则 a,b,c 按从小到大的顺序排列为________.

【解析】 ∵a=sin 14°+cos 14°
? 2 2? = 2?sin 14°? +cos 14°? ? 2 2? ?

= 2sin (14°+45°)= 2sin 59°, b=sin 16°+cos 16°= 2sin 61°,c= 2sin 60°, 又∵当 0°<x<90°时,y=sin x 是增函数,∴a<c<b. 6 3 = 2? = 2 2

【答案】 a<c<b

变式:设f ( x) ? 6cos x ? 3 sin 2 x
2

求f ( x)的最大值及最小正周期.

?? ? f ( x) ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 6? ?

理论迁移
sin a - sin b 例1 化简 sin a cos a - sin b cos b
2 2

tan(α +β ) 例2 已知cosx=cosα cosβ ,求证:
x+ a x- a 2 b t an t an = t an 2 2 2

sin x ? cos x ? sin x cos x 1.函数f ( x) ? 2 ? sin 2 x 3 ? 4 的最小正周期为____最大值_______
4 4 2 2

练习

1 4 最小值________

分析:欲求最小正周期主最大最小值,首 先要将函数式化为单一函数.

sin x ? 2sin x cos x ? cos x ? sin x cos x f ( x) ? 2 ? 2sin x cos x
4 2 2 4 2 2

1 ? sin xcox x 1 ? ? (1 ? sin x cos x) 2(1 ? sin x cos x) 2 1 1 ? sin 2 x ? 4 2
2 2

1 3 ,最小值为 。 ? f ( x ) 的最小正周期为π,最大值为 4 4

练习
1 ? tan2 75? 1. 的值是 2 tan 75?
2 3 A. 3
C. 2
( )

2 3 B. ? 3
D.

3

?2 3

练习
2.cos 40 ? ? cos 60 ? ? cos 80? ? cos 160 ? 的值是( )

A.0

B.

3 2

1 C. 2

D.-1

练习
3.设 则

1 7 ? ? ? (0, ) , ? ? ( , ? ) ,且 cos ? ? ? ,sin ( ? ? ) ? 9 2 2 3

?

?

sin ?

等于(



1 A. 27 1 C. 3

5 B. 27 23 D. 27

练习
f ( x) ? 2 sin
2

?
2

?1

4.若

2 sin cos 2 2

?

?

,则 f (

?
12

) 的值是(



4 3 A. ? 3
C.

B.

?4 3

4 3

D.

6? 3

练习

3 ? 2 ? 1 22 ? 5. tan ( ? ? ) ? , tan(? ? ) ? ,则 tan ( ? ) ? _______. ? 4 5 4 4

6.化简:

1 sin2 2 ? 1 3 cos ? cos 2 2

1 sin 2

1 7.已知 sin ( ? ? ) ? ,sin ( ? ? ) ? 1 ,则 tan? ? cot ? ? 5 ? ? 2 3

8.若

1 ? ( tan ? ?1 舍之) ? 2 2 tan ? ? sec ? ? 3 ,则 tan ? _______________________.
2

小结作业

1.异角和积互化原理与同角和差合成原 理,是三角变换的两个基本原理,具体 公式不要求记忆,但要明确其变换思想, 会在实际问题中灵活运用.

2.“明确思维起点,把握变换方向,抓住 内在联系,合理选择公式”是三角变换的 基本要决.

3.对形如 y ? a sin ? ? b cos ?的函数,转 化为 y ? A sin ?? x ? ? ? 的形式后,可使 问题得到简化,这是一种化归思想.

作业: P143习题3.2A组: 1(5)(6)(7)(8) ,2,3,4,5.

3.2 简单的三角恒等变换
第二课时 含未知角的求值问题(习题课)

1 例1 已知 sin ? ? cos ? ? ,且 ? ? ?0, ? ? 5 31 2 ? 求 sin(2? ? ) 值. 4 50

? 4 3 例2 已知 sin(? ? ) ? sin ? ? ? ,且 3 5 ? ? ? ? ? 0 ,求 cos ? 值. 3 3- 4 2 10

2 例3 已知 sin(x - 60 ) = ,求 3 o o sin(x + 60 ) - 3 cos(120 - x ) 的值.
o

?? ? 3 17? ? x ? 7? 例4 已知 cos ? ? x ? ? , 12 4 ?4 ? 5 2 sin 2 x ? 2sin x 值. 28 求 1 ? tan x

4 3

75

例5 已知 tanα =2,且sinβ = sinα cos(α +β ),求tan(α +β )的值. 4
p p 1 例6 已知 sin( + 2a ) sin( - 2a ) = , 4 4 4 1 ? ? ? ?,求 2 sin 2 a + t an a - 1 ? ?? , ? t an a ?4 2? 5 3 的值. 2

作业: P146复习参考题A组: 1,2,3,6,7.

3.2 简单的三角恒等变换
第三课时 含非特殊角的求值问题(习题课)

例1 求 sin(-340°)cos400°+ sin830°cos50°的值.

3 2
例2 求 (t an 10 o

cos10 3) 的值. o sin 50

o

-2

1 例3 求 4 cos10 o 的值. t an 10
o

-

3

1 2 o + 4 sin 10 的值. 例4 求 o 2 sin 10 3

cos10 ? ? ? ? 3 sin10 tan 70 ? 2 cos 40 的值. 例5 求 ? tan 20

?

2 例6
2 6 2 o - 64 cos 10 求 o o 1 - cos 20 1 + cos 20

的值.

-32

? 2? 例7 求 cos ? cos 的值. 5 5

1 2

作业: P146复习参考题A组: 4,5,8.

3.2 简单的三角恒等变换
第四课时

三角函数中的三角变换问题 (习题课)

例1 已知函数 2 2 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区 间; p (2)当 x ? [0, ] 时,求f(x)的最大值和 2 最小值. p 5p [k p + , k p + ](k ? Z ) T=π 8 8

f (x )max =

2+ 2

f (x ) min = 1

例2 已知函数f(x)=sin(x+α )+ cos(x-α )为偶函数,求α 的值.

p a = k p - (k ? Z ) 4

例3 已知函数
f (x ) = 2a cos x ( 3 sin x + cos x ) + a (a > 0)
2

(1)若对任意x∈R都有 f (x ) < 4 成立, 求a的取值范围; p (2)若 f (- ) = 4 ,求关于x的不等式 6 f (x ) > 8 的解集.

a ? [0,1]

p (k p , k p + )(k ? Z ) 3

例4

3 3 已知向量a = (cos x , - sin x ), 2 2

p x x b = (cos , sin ) ,其中 x ? [0, ] ,求函 2 2 2

数f(x)=a·-|a+b|的值域. b

3 [- , - 1] 2

若函数y=f(x)的图象关于直线x ? a (a ? 0) 对称,求a的最小值.

f ( x) ? [2sin( x ? ) ? sin x]cos x ? 3 sin x 3
2

例5 已知函数 ?

amin ?

?
12

例6 如图,正方形ABCD的边长为1 , P、Q分别为边AB,DA上的点,当△APQ的 周长为2时,求∠PCQ的大小.
D Q C

45°
A

P

B

作业: P147复习参考题A组: 10,11,12,13.

典例精讲
题型一 恒等变换下的化简求值

例1 已知:tan2θ=- 2 2,2θ∈(

2cos
2

?

2

? sin ? ? 1

? ,π), 2

2 sin(? ? ) 4

?

的值.

因为2θ∈(
2 cos 2

2 tan ? tan2θ=- 2 2 ? 1 ? tan 2 ?=- 2 2 ? , 2 解得tanθ=或tanθ= , 2 2 ? ? ?

2

,π),所以θ∈( .2

, ),所以 4 2

tanθ>0,所以tanθ=
?
? sin ? ? 1

cos? ? sin ? 对于附加条件求值问题,要先看条 2 点评 = ? ? ? 2(sin ? ? cos ? cos ? ? sin ) 2 sin(? ? ) 件可不可以变形或化简,然后看所求式子 4 4 4 能否化简,再看它们之间的相互联系,通 1? 2 cos ? ? sin ? = = = 2 2 ?3 过分析找到已知与所求的纽带. sin ? ? cos ? 1? 2

题型二 恒等变换下的拆角求值
? 1 ? 例2 已知cos(α- )=- 9,sin( 2-β)= 2 ? ? ?? <α<π,0<β<π,求cos 的值. 2 2
2 ,且 3

分析

? ? 抓住已知角(α- ),( 2-β)与目标角 2 ? ? ?? ? ?? ? 的关系: =(α-2 )-( -β),因此先求 2 2 2 ? -β)的值,再代公式. ? 得sin(α- ),cos( 2 2

? ? 3? ? 所以0<α- <π,- < -β< . 4 2 2 2 1 ? ? 又因为cos(α- )=- <0,sin( -β)= 2 9 2 ? ? ? ? 所以 <α- 2<π,0< -β< , 2 2 2 ? 所以sin(α- )= 1 ? cos2 (? ? ? ) 2 2

? 因为 <α<π,0<β<π, 2

2 >0, 3

= =

1 2 1 ? (? ) 9

4 5 9

.

? 5 2 ? 1 ? sin ( ? ? ) = 1 ? ( 2 )2 = cos( -β)= , 2 2 3 3 ? ? ? ?? 故cos =cos[(α- )-( -β)] 2 2 2 ? ? ? ? =cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin( -β) 2 2 2 2
5+ 4 5 × 2 =(- )× 3 3 9 = 7 5 . 27
1 9

点评 根据已知角与目标角的联系,将题目
中的“目标角整体”变成“已知角整体”之 间的“和、差、倍、半、余、补、负”,应 用已知条件,直接解决问题.常用“凑角” 技巧:
α=(α-β)+β=(α+β)-β,2α+β=(α+β)+α, α= ? ? ? + ? ? ?, β=
2 ? ? ?2 2 ? ? ?, 2

2α=(α-β)+(α+β)等.

变式 已知cosα=

? α∈(0, ),α+β∈( 2

1 ,cos(α+β)=7 ?

11 ,且 14

,π),求β的值.
2

? 1 因为α∈(0, 2),且cosα= ,所以 7 sinα= 1 ? cos2 ? = 4 3, 7 11 ? 又因为α+β∈( ,π),cos(α+β)=- , 14 2 5 3 2 所以sin(α+β)= = , 1 ? cos (? ? ? ) 14

所以cosβ=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=? 又α∈(0, ),α+β∈( 2
11 14

1 ×7

+

5 3 ×4 3 14 7

=

β∈(0,π),所以β=

? ,π),则 2 ? . 3

1 2

.

在给角求角的式子中,发现目标角与已知 点评

角的联系,将目标角用已知角表示,求得其某一 名三角函数值.但对于在(0,180°)间的角,选 用余弦或正切比选用正弦好,在(-90°,90°)间 的角,宜选用正弦.注意避开讨论,减少失误.

题型三 恒等变换下的三角证明 例3 (1)已知2sinβ=sinα+cosα,
sin2γ=2sinα· cosα.
求证:cos2γ=2cos2β;

(2)已知5sinα=3sin(α-2β),
求证:tan(α-β)+4tanβ=0.

(1)4sin2β=1+2sinαcosα, 所以4sin2β=1+sin2γ, 所以1-sin2γ=2-4sin2β=2(1-2sin2β), 即cos2γ=2cos2β. (2)因为5sinα=3sin(α-2β), 所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β]所以 点评 (1)结论中不含α,所以从条件中 5sin(α-β)· cosβ+5cos(α-β)· sinβ 消去α即可.(2)把条件中的角进行拆拼, =3sin(α-β)· cosβ-3cos(α-β)· sinβ, 使出现α-β,α,实现已知角向未知角转 所以2sin(α-β)·cosβ+8cos(α-β)· sinβ=0,依题意 化即可. ? ? 知,β≠kπ+ ,α-β≠kπ+ ,k∈Z. 2 2 所以tan(α-β)+4tanβ=0.

方法提炼
三角恒等变形的实质是对角、函数名称 及运算结构的转化,而转化的依据就是一 系列的三角公式,因此对三角公式在实现 这种转化中的应用应有足够的了解: (1)同角三角函数关系——可实现函数名 称的转化. (2)诱导公式及和、差、倍角的三角函 数——可以实现角的形式的转化. (3)倍角公式及其变形公式——可实现三 角函数的升幂或降幂的转化,同时也可完成 角的转化.

走进高考
函数y=2cos2x+sin2x的最小值是 1- 2 . 学例1

? f(x)=cos2x+sin2x+1= 2 sin(2x+ 4 )+1, 所以最小值为1- 2.

学例2 设函数
? f(x)=cos(2x+ )+sin2x. 3

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2) 设 A,B,C 为 △ ABC 的 三 个 内 角 , 若
1 1 C cosB= ,f( )=- ,且C为锐角,求sinA. 4 3 2

? (1)f(x)=cos(2x+ 3 )+sin2x ? ? 1 ? cos 2 x =cos2xcos -sin2xsin + 3 3 2 1 3 = - sin2x. 2 2 ?

所以,当2x=- +2kπ(k∈Z),
2 ? 即x=- +kπ(k∈Z)时, 4

函数f(x)取得最大值,为 1 ? 3 ; 同时,f(x)的最小正周期为π.
2

1 3 3 (2)因为f( )= - sinC=- ,所以sinC= . 4 2 2 ? 因为C为锐角,所以C= 3 . 1 2 又因为在△ABC中,cosB= ,所以sinB= 2 . 3 3
C 2

1 2

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC =
2 1 1 2× + × 3 3 2 3 2

=

2 2? 3 6

.

1 3 2.函数 y= sin 2x+ 3cos2x- 的最小正 2 2 周期等于( A.π π C.4 ) B.2π π D.2

1 3 3 【解析】 y=2sin 2x+ 2 (1+cos 2x)- 2
? π? 1 3 ? =2sin 2x+ 2 cos 2x=sin?2x+3?.所以 T=π, ? ? ?

故选 A.
【答案】 A

第4课时

简单的三角恒等变换

教材回扣夯实双基
基础梳理
1.半角公式 (1)用 cosα 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2 1-cosα 2α 2 sin =__________; 2
2α 2α 2α

1+cosα 2α cos =__________; 2 2 1-cosα 2α 1+cosα tan =__________. 2

α α α (2)用 cosα 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2

1-cosα α 2 sin =± ____________; 2

1+cosα α 2 cos =± ____________; 2
α tan =± 2 1-cosα . 1+cosα

α (3)用 sinα,cosα 表示 tan . 2 1-cosα α sinα tan = = . 2 1+cosα sinα

课前热身
1 α 1.已知 cosα= ,α∈(π,2π),则 cos 等于( ) 3 2 6 6 3 3 A. B.- C. D.- 3 3 3 3 ? 1 α ?π ? 解析:选 B.∵cosα= ,α∈(π,2π),∴ ∈?2,π?, ? 3 2 ? ? 1 1+ 1+cosα 3 α 6 ∴cos =- =- =- . 2 2 2 3

2.(2012· 太原质检)在△ABC 中,3sinA+4cosB= 6,4sinB+3cosA=1,则 sinC 的值为( 1 A. 2 2 B. 2 3 C. 2 1 D. 3 )

解析:选 A.两式平方相加得: 9sin2A+24sinAcosB+16cos2B+16sin2B +24cosAsinB+9cos2A=37, 1 ∴9+16+24sin(A+B)=37,∴sinC= . 2

3.若

?π ? 3 ? ? sin?2+θ?= ,则 5 ? ?

cos2θ=________.

?π ? 3 ? ? 解析:∵sin? +θ?=cosθ= , 5 ?2 ? ?3? 7 ? ?2 2 ∴cos2θ=2cos θ-1=2??5? -1=- . 25 ? ?

7 答案:- 25

5 4.若 α,β 均为钝角,且 sinα= ,cosβ 5 3 10 =- ,则 α+β 的值为________. 10 5 解析:∵α,β 为钝角,且 sinα= ,cosβ 5 3 10 =- , 10 ? ? ? 5? 2 2 ∴ cosα= - 1-sin α= - 1-? ? = - ? 5 ? 2 5 , 5

sinβ= 1-cos β=
2

? 3 10?2 ? ? 1-?- = 10 ? ? ?

10 . 10

∵π<α+β<2π, 故由 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ? 5 10 2 2 5?? 3 10? ? ?? ? =?- ? = , ??- ?- 5 10 2 5 ?? 10 ? ? 7π 得 α+β= . 4

7π 答案: 4

考点探究讲练互动
考点突破 给角求值问题
例1

2cos5° -sin25° 的值为________. cos25°

【解析】

由已知得:原式=

2cos?30° -25° ?-sin25° cos25° 3cos25° = = 3. cos25°

【答案】

3

【题后感悟】

给角求值:一般所给出

的角都是非特殊角,从表面来看是很难

的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有
一定的关系,解题时,要利用观察得到

的关系,结合三角公式转化为特殊角并
且消除非特殊角的三角函数而得解.有

时还可逆用、变形运用公式.

cos20° 例 求值: · cos10° 3sin10°tan70° + · -2cos40° . sin20° cos20° 【解】 · cos10° 3sin10° + tan70° -2cos40° sin20° cos20° cos10° 3sin10° sin70° = + -2cos40° sin20° cos70° cos20° cos10° 3sin10° + cos20° = -2cos40° sin20° cos20° ?cos10° 3sin10° + ? = -2cos40° sin20° 2cos20° ?cos10° sin30° +sin10° cos30° ? = -2cos40° sin20° 2cos20° sin40° -2sin20° cos40° = =2. sin20°

变式训练 sin20° -cos50° 1.计算: =________. cos80°
cos70° -cos50° 解 析 : 原 式 = = cos80° cos?60° +10° ?-cos?60° -10° ? sin10° -2sin60° sin10° = =- 3. sin10°
答案:- 3

给值求值问题
例2

已知

? ?π ? π? α∈?0,2 ?, ?2,π?, ? ? β∈? ? cos2β ? ? ? ?

7 7 =- ,sin(α+β)= . 9 9 (1)求 cosβ 的值; (2)求 sinα 的值.

【解】

1+cos2β (1)∵cos β= 2
2



? 7? 1+?-9? ? ? ? ?

2

1 = , 9

?π ? 1 ? ? 又∵β∈?2,π?,∴cosβ=- . 3 ? ?

(2)由(1)知 sinβ= 1-cos2β = 由
? 1?2 2 2 ? ? 1-?-3? = . 3 ? ? ? ?π ? π? ? ? ? ? α ∈ ?0,2? 、 β ∈ ?2,π? 得 (α + β) ∈ ? ? ? ?

?π 3π? ? , ?. ? 2? ?2 ?

cos(α+β)=- 1-sin2?α+β? =-
?7? 4 2 ? ?2 1-?9? =- . 9 ? ?

sinα = sin(α+ β- β)= sin(α+ β)cosβ- cos(α+β)sinβ 7 ? 1? ? 4 2? 2 2 1 ? ? ? ? = ??-3?-?- = . ?? 9 ? ? ? 9 ? 3 3

【题后感悟】

已知三角函数式的值,

求其他三角函数式的值,一般思路为:
(1)先化简所求式子或所给条件;

(2)观察已知条件与所求式子之间的联
系(从三角函数名及角入手);

(3)将已知条件代入所求式子,化简求
值.

备选例题(教师用书独具) 3π 1 10 例 已知 <α<π,tanα+ =- . 4 tanα 3 α α 2α 5sin +8sin cos +11cos -8 2 2 2 2 求 的值. π 2sin?α- ? 2


1 10 【解】 ∵tanα+ =- , tanα 3 ∴3tan2α+10tanα+3=0, 1 解得 tanα=-3 或 tanα=- . 3 3π 又∵ <α<π, 4 1 ∴tanα=- . 3

α α 2α 5sin +8sin cos +11cos -8 2 2 2 2 ∴ π 2sin?α- ? 2 1-cosα 1+cosα 5· +4sinα+11· -8 2 2 = - 2cosα 5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16 = -2 2cosα 8sinα+6cosα 8tanα+6 5 2 = = =- . 6 -2 2cosα -2 2



给值求角问题
例3

π α 1 已知 0<α< <β<π,tan = , 2 2 2

2 cos(β-α)= .(1)求 sinα 的值;(2)求 β 10 的值.

π α 1 【解】 (1)∵0<α< ,tan = , 2 2 2 α 2tan 2 1 4 ∴tanα= = = . α 1 3 2 1-tan 1- 2 4 ∵sin2α+cos2α=1, 4 ∴sinα= . 5

π (2)因为 0<α< <β<π, 2 所以 0<β-α<π. 2 因为 cos(β-α)= ,所以 sin(β-α)= 10 7 2 . 10 又 cosα= 42 3 1-? ? = , 5 5

所以 sinβ=sin[(β-α)+α] =sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα 7 2 3 2 4 2 = ? + ? = . 10 5 10 5 2 π 3π 因为 β∈( ,π),所以 β= . 2 4

【题后感悟】

已知三角函数值求角,

一般可分以下三个步骤: (1)确定角所在的范围; (2)求角的某一个三角函数值(要求该 三角函数应在角的范围内严格单调);

(3)根据角的范围写出所求的角.其中在 第二步中,具体选用哪个三角函数,一 般可由条件中的函数去确定,一般已知 正切函数值,选正切函数;已知正、余 弦函数值时,选正、余弦函数;若角范 π 围是(0, ),正、余弦函数均可;若角 2 范围是(0,π)时,一般选余弦函数;若 π π 角范围是(- , )时,则一般选正弦函 2 2 数等.

备选例题(教师用书独具) 例 如图,在平面直角坐 标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边 作两个锐角 α、β,它们的终 边分别与单位圆相交于 A、B 两点.已 2 2 5 知 A、B 的横坐标分别为 、 . 10 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值.

【解】 (1)由已知条件及三角函数的定 义可知, 2 2 5 cosα= ,cosβ= . 10 5 因 α 为锐角,故 sinα>0,从而 sinα= 7 2 2 1-cos α= , 10 5 同理可得 sinβ= .因此 tanα=7,tanβ 5 1 = . 2

tanα+tanβ 所以 tan(α+β)= = 1-tanαtanβ =-3.

1 7+ 2 1 1-7? 2

(2)tan(α + 2β) = tan[(α + β) + β] = 1 -3+ 2 =-1. 1 1-?-3?? 2 ? 3 ? ? 又 α,β 均为锐角,故有 α+2β∈?0, π?, 2 ? ? ? 3 故 α+2β= π. 4

变式训练 1 2.△ABC 中,tanA=-2,tanB= , 3 则 C=______.

1 解析:∵tanA=-2,tanB= , 3 1 -2+ tanA+tanB 3 ∴ tan(A+ B)= = 1 1-tanAtanB 1+2? 3 =-1. ∵tanC=-tan(A+B)=1, C∈(0, 而 π), π 故 C= . 4 π 答案: 4

方法感悟
方法技巧

常用的三角恒等变换技巧
(1)角变换:观察各角之间的和、差、

倍、半关系,减少角的种类,化异角
为同角.

(2)函数名称变换:观察比较题设与结论 之间,等号两端函数名称差异,化异名 为同名. π 2 2 (3)常数变换: 1=sin α+cos α=tan , 如 4 3 π =sin 等. 2 3 (4)次数变换:常用方式是升幂或降幂, 主要是二倍角余弦公式及其逆向使用.

失误防范

1.利用三角函数值求角时,若角范围是 (0,π),一般选余弦函数;若角范围为
? π π? ? ? ?- , ?,一般选正弦函数. 2 2? ?

2.在三角求值时,往往要估计角的范围 后再求值.

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看,利用同角三 角函数的关系改变三角函数的名称,利 用诱导公式、和差角公式及二倍角公式

改变角的恒等变换是高考的热点,常与
三角函数式的求值、三角函数的图象与

性质、向量等知识综合考查,既有选择 题、填空题,又有解答题,属中、低档

题.
预测2013年高考仍将以同角三角函数 的关系及和差角公式、二倍角公式进行 恒等变换为主要考点,重点考查转化与

化归的数学思想和计算能力.

典例透析
(本题满分 12 分)(2011· 高考广东 ?1 π? ? ? 卷)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? (1)求 f(0)的值; ? π? ? π? 10 ? ? ? 0, ?,f?3α+ ?= ,f(3β (2)设 α,β∈? 2? ? 2 ? 13 ? ? 6 +2π)= ,求 sin(α+β)的值. 5


【解】 -1.2 分

? π? ? (1)f(0)=2sin?-6?=-2sin ? ? ?

π = 6

? π? ? π? ? ? ? 0, ?,f?3α+ ?= (2)由题意知,α,β∈? 2? ? 2? ? ?

10 6 10 ,f(3β+2π)= ,即 2sinα= ,2cosβ 13 5 13 6 = , 5

5 12 ∴sinα= ,cosα= ;8 分 13 13 3 4 cosβ= ,sinβ= .10 分 5 5 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 5 3 12 4 63 = ? + ? = .12 分 13 5 13 5 65

【得分技巧】 解答本题关键在于:一是 ? π? 10 ?? 6 ? ? ? ? 由 f?3α+ 2?= ,f?3β+2π?= ,求 sinα, 13 5 ? ? cosβ 的值;二是利用两角和的正弦求值.
【失分溯源】 本题的易误点:一是对 ? π? ?? ? ? ? f ?3α+2 ? 、f?3β+2π?? 不知如何应用,二是 ? ? 运算化简出错.



更多相关文章:
2《三角恒等变换单元教学设计》教案(新人教A版必修4 )
2《三角恒等变换单元教学设计》教案(新人教A版必修4 )_数学_高中教育_教育专区。必修 4 第三章 三角恒等变换单元教学设计 案例 3.1.1 两角和与差的余弦 ()...
湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 3.2简单的三角恒等变换(1)教案 新人教A版必修4
湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 3.2简单的三角恒等变换(1)教案 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 3.2 ...
(课堂设计)2014-2015高中数学 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4
(课堂设计)2014-2015高中数学 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。3.2 简单的三角恒等变换自主学习 知识梳理 1.半角公式 α...
3.2 简单的三角恒等变换(1)教案 新人教A版必修4
3.2 简单的三角恒等变换(1)教案 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。数学 3.2 简单的三角恒等变换(1)教案一、教学分析 本节主要包括利用已有的十一个...
必修4第三章 三角恒等变换
必修4第三章 三角恒等变换_高二数学_数学_高中教育...展示多媒体动画课件, 通过正、 余弦线及它们之间的...? 45 2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2...
3.2简单的三角恒等变换教案(人教A必修4)
3.2 简单的三角恒等变换(3 个课时)、课标要求: 课标要求: 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中 的应用. 二、编写...
必修4第三章《简单的三角恒等变换》
高二数学必​修​4​第​三​章​《​...简单的三角恒等变换 1、 掌握两角和与差的三角函数...王新敞 wxckt@126.com 3 2 ) 特级教师 王新敞...
必修4-第三章-简单的三角恒等变换
必修4-第三章-简单的三角恒等变换_高一数学_数学_...cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan...(α+φ)或 a2+b2cos(α+φ),其中 φ由 a, ...
3.2 简单的三角恒等变换教学设计
所以学生对三角变换与代数变换 3.2 简单的三角恒等变换 1 普通高中课程标准实验教科书 数学(人教 A 版)必修 4 教学设计 的区分理解会比较困难, 在教学中教师应...
更多相关标签:
必修四三角恒等变换    三角恒等变换    三角恒等变换公式    三角函数恒等变换    简单的三角恒等变换    三角恒等变换测试题    三角恒等变换技巧    三角函数恒等变换公式    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图