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【步步高】高考数学一轮复习



§ 4.1
考试如何考 复习备考要这样做 角函数的基石.

任意角、弧度制及任意角的三角函数

1.考查三角函数的定义及应用;2.考查三角函数的符号;3.考查弧长公式、扇形面积公式. 1.理解任意角的概念,会在坐标系中表示及识别角;2.掌握三角函数的定义,这是三

1. 角的概念 (1)任意角: ①定义: 角可

以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形; ②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角. (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的集合是 S={β|β=k· 360° +α,k∈Z}. (3)象限角:①定义:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边 在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象 限.②分类:角按终边位置不同分为象限角和轴线角. 2. 弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数 是负数,零角的弧度数是零. l (2)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.|α|= ,l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r r l 为半径.比值 与所取的 r 的大小无关,仅与角的大小有关. r 180? π (3)角度制和弧度制的互化:180° =π rad,1° = rad,1 rad=? . ? π ?° 180 1 1 (4)扇形的弧长公式:l=|α|· r,扇形的面积公式:S= lr= |α|· r2. 2 2 3. 任意角的三角函数 y (1)任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sin α=y,cos α=x,tan α= .三个三角函数的初步性质 x 如下表: 三角函数 sin α cos α tan α 定义域 R R {α|α≠kπ+ π ,k∈Z } 2 第一象限 符号 + + + 第二象限 符号 + - - 第三象限 符号 - - + 第四象限 符号 - + -

(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4. 三角函数线 如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.

(Ⅰ) 三角函数线

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

有向线段 MP 为正弦线;有向线段 OM 为余弦线;有向线段 AT 为正切线 [难点正本 疑点清源] 1. 对角概念的理解要准确 (1)不少同学往往容易把“小于 90° 的角”等同于“锐角”,把“0° ~90° 的角”等同于“第一象限的 角”.其实锐角的集合是{α|0° <α<90° },第一象限角的集合为{α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值相等. 2. 对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数,它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数,也可以看 成是以实数为自变量的函数,定义域为使比值有意义的角的范围. y 如 tan α= 有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x,y)的横坐标不等于零,也就是角 α 的终边不能与 y x π ? ? 轴重合,故正切函数的定义域为?α|α≠kπ+2,k∈Z?.
? ?

3. 三角函数线是三角函数的几何表示 (1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上为正,向下为负. (2)余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负. (3)当角 α 的终边在 x 轴上时, 点 T 与点 A 重合, 此时正切线变成了一个点, 当角 α 的终边在 y 轴上时, 点 T 不存在,即正切线不存在. (4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还可以从图形角度考察任意角的三角函数,即用 有向线段表示三角函数值,这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.

2π 1. 若点 P 在角 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标是________________. 3

答案

(-1, 3) 解析 ∵x=|OP|cos

1? 2π 2π =2×? y=|OP|sin = 3.∴点 P 的坐标为(-1, 3). ?-2?=-1, 3 3

2 5 2.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- , 5 则 y=________. 答案 -8 解析 因为 sin θ= y 2 5 2 2=- 5 ,所以 y<0,且 y =64,所以 y=-8. 4 +y
2

9π 3. 下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 A.2kπ+45°(k∈Z) 9 B.k· 360° + π (k∈Z) 4 C.k· 360° -315° (k∈Z)

(

)

5π D.kπ+ (k∈Z) 4

9π 9 答案 C 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π (k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所 4 4 以只有答案 C 正确. 4. 已知 cos θ· tan θ<0,那么角 θ 是 A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 ( )

D.第一或第四象限角

答案 C 解 若 cos θ>0,tan θ<0,则 θ 在第四象限;若 cos θ<0,tan θ>0,则 θ 在第三象限,∴选 C. 5. 已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 A.1 B .4 C.1 或 4 D.2 或 4 ( )

2r+l=6, ? ?r=1, ?r=2, ? ? ? 答案 C 解析 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,则?1 解得? 或? ? ? ?l=4 ?l=2. ? ?2rl=2, l 4 l 2 从而 α= = =4 或 α= = =1. r 1 r 2

题型一 例1

角的有关问题 (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合;

6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 2α、 所在的象限. 2 思维启迪:利用终边相同的角进行表示或判断;根据角的定义可以把角放在坐标系中确定所在象限. 解 π (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合为{α|α=kπ+ ,k∈Z}. 3

6 6 θ θ (2)所有与 π 角终边相同的角的集合是{θ|θ= π+2kπ,k∈Z},∴所有与 角终边相同的角可表示为 = 7 7 3 3 2 2 θ 2 20 34 π+ kπ,k∈Z.,∴在[0,2π)内终边与 角终边相同的角有 π, π, π. 7 3 3 7 21 21

π α π (3)∵2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z, ∴4kπ<2α<4kπ+π,kπ< <kπ+ ,k∈Z. 2 2 4 α ∴2α 在第一或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上, 角终边在第一或第三象限. 2

探究提高 所有与 α 角终边相同的角(连同角 α 在内),可以表示为 β=k· 360° +α,k∈Z;在确定 α 角 所在象限时,有时需要对整数 k 的奇、偶情况进行讨论.

已知角 α=45° , (1)在区间[-720°,0°]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β; k k ? ? ? ? +45° ,k∈Z?,N=?x|x= ×180° +45° ,k∈Z?,那么两集合的关系是什么? (2)设集合 M=?x|x=2×180° 4
? ? ? ?



(1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为 β=45° +k×360° (k∈Z),则令-720° ≤45° +k×360° ≤0° ,

765 45 得-765° ≤k×360° ≤-45° , 解得- ≤k≤- , 从而 k=-2 或 k=-1, 代入得 β=-675° 或 β=-315° . 360 360 (2)因为 M={x|x=(2k+1)×45° ,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45° ,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而 M?N. 题型二 例2 三角函数的定义 已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= 3 1 x,求 sin α+ 的值. 6 tan α 1 的值. tan α 3 x 3 x,∴cos α= 2 = x. 6 6 x +2

思维启迪:先根据任意角的三角函数的定义求 x,再求 sin α+ 解

∵P(x,- 2) (x≠0),∴点 P 到原点的距离 r= x2+2.。又 cos α=

∵x≠0,∴x=± 10.∴r=2 3.当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), - 2 6 1 10 由三角函数的定义,有 sin α= =- , = =- 5, 6 tan α - 2 2 3 6 5+ 6 6 5- 6 1 6 1 ∴sin α+ =- - 5=- ;当 x=- 10时,同理可求得 sin α+ = . tan α 6 6 tan α 6 探究提高 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关,与点在终边上的位置无关,故要首先判定 P 点所在的象限,确定 r,最后根据定义求解. 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值. 解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0),

则 x=4t,y=-3t,r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, y -3t 3 x 4t 4 y -3t 3 当 t>0 时,r=5t,sin α= = =- ,cos α= = = ,tan α= = =- ; r 5t 5 r 5t 5 x 4t 4 y -3t 3 x 4t 4 y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α= = = ,cos α= = =- ,tan α= = =- . r -5t 5 r -5t 5 x 4t 4 3 4 3 3 4 3 综上可知,sin α=- ,cos α= ,tan α=- 或 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4 5 5 4

题型三 例3

三角函数线、三角函数值的符号 sin?cos θ? (1)若 θ 是第二象限角,试判断 的符号; cos?sin 2θ?

1 (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的集合. 2 思维启迪:由 θ 所在象限,可以确定 sin θ、cos θ 的符号;解三角不等式,可以利用三角函数线. 解 π (1)∵2kπ+ <θ<2kπ+π (k∈Z),∴-1<cos θ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π (k∈Z), 2

sin?cos θ? sin?cos θ? -1≤sin 2θ<0,∴sin(cos θ)<0,cos(sin 2θ)>0.∴ <0,∴ 的符号是负号. cos?sin 2θ? cos?sin 2θ? 1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即 2 2 4 为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3 探究提高 (1)熟练掌握三角函数在各象限的符号. (2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤: ①用边界值定出角的终边位置; ②根据不等式(组)定出角的范围; ③求交集,找单位圆中公共的部分; ④写出角的表达式. (1)y= sin x- 3 的定义域为________. 2

π 2 答案 {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z} 3 3 解析 ∵sin x≥ 3 3 ,作直线 y= 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、 2 2

OB, 则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 的终边的范围, 故满足条件的角 α 的集合为{x|2kπ π 2 + ≤x≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3 (2)已知 sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,则点 P(tan θ,cos θ)在第几象限? 解 π 方法一 由 sin 2θ<0, 得 2kπ+π<2θ<2kπ+2π (k∈Z), kπ+ <θ<kπ+π (k∈Z). 2

当 k 为奇数时,θ 的终边在第四象限; 当 k 为偶数时,θ 的终边在第二象限. 又因 cos θ≤0,所以 θ 的终边在左半坐标平面(包括 y 轴),所以 θ 的终边在第二象限. 所以 tan θ<0,cos θ<0,点 P 在第三象限. 方法二 由|cos θ|=-cos θ 知 cos θ≤0,① 又 sin 2θ<0,即 2sin θcos θ<0,②
?sin θ>0 由①②可推出? ,因此 θ 在第二象限,P(tan θ,cos θ)在第三象限. ?cos θ<0

题型四

扇形的弧长、面积公式的应用

例4

已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 思维启迪:(1)弓形面积可由扇形面积与三角形面积相减得到;(2)建立关于 α 的函数. 解 π π 10π (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则 α=60° = ,R=10,l= ×10= (cm), 3 3 3

1 10π 1 π 50 50 3 π 3 S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×102×sin = π- =50? - ? (cm2). 2 3 2 3 3 2 ?3 2 ? C 1 2 1 ? C ?2 (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= ,∴S 扇= α· R = α·2+α 2 2 ? ? 2+α = C2 1 C2 1 C2 C2 2 α· = · ≤ . 当且仅当 α = 4 ,即 α = 2 时,扇形面积有最大值 . 2 4+4α+α2 2 4 16 16 4+α+ α

探究提高 (1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. (2)从扇形面积出发, 在弧度制下使问题转化为关于 α 的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应 最值. 1 1 (3)记住下列公式:①l=αR;②S= lR;③S= αR2.其中 R 是扇形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心 2 2 角,S 是扇形面积. (1)一个半径为 r 的扇形, 若它的周长等于弧所在的半圆的长, 那么扇形的圆心角是多少弧 度?扇形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm;当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解 (1)设扇形的圆心角为 θ rad,则扇形的周长是 2r+rθ. 依题意:2r+rθ=πr,∴θ=(π-2) rad.

1 1 ∴扇形的面积 S= r2θ= (π-2)r2. 2 2 1 1 (2)设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20,即 l=20-2r (0<r<10).∴扇形的面积 S= lr= (20- 2 2 l 2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25. ∴当 r=5 时,S 有最大值 25,此时 l=10,α= =2 rad. r 因此,当 α=2 rad 时,扇形的面积取得最大值.

数形结合思想在三角函数线中的应用 典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 审题视角 (1)求定义域,就是求使 3-4sin2x>0 的 x 的范围.用三角函数线求解. (2)比较大小,可以从以下几个角度观察:

θ θ θ θ ①θ 是第二象限角, 是第几象限角?首先应予以确定.②sin ,cos ,tan 不能求出确定值,但可 2 2 2 2 以画出三角函数线.③借助三角函数线比较大小. 规范解答 解 (1)∵3-4sin2x>0,

3 3 3 ∴sin2x< ,∴- <sin x< .[2 分] 4 2 2 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示), π π? ∴x∈? ?kπ-3,kπ+3?(k∈Z).[4 分] (2)∵θ 是第二象限角, π π θ π ∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,∴ +kπ< < +kπ,k∈Z, 2 4 2 2 θ ∴ 是第一或第三象限的角.[6 分] 2 (如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得: θ θ θ θ θ θ θ ①当 是第一象限角时,sin =AB,cos =OA,tan =CT,从而得,cos <sin <tan ;[8 分] 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ ②当 是第三象限角时,sin =EF,cos =OE,tan =CT,得 sin <cos <tan .[10 分] 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ 综上可得,当 在第一象限时,cos <sin <tan ;当 在第三象限时,sin <cos <tan .[12 分] 2 2 2 2 2 2 2 2

温馨提醒 1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式,可以用三角函数图像,也可以用三角函数 线.用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观的 θ 表示.3.本题易错点:①不能确定 所在的象限;②想不到应用三角函数线.原因在于概念理解不透, 2 方法不够灵活.

方法与技巧 1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r 一定是 正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 失误与防范 1.注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、 第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示.

A组

专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α 等于 A. 5 5 2 5 B. 5 C.- 5 5 2 5 D.- 5 2 2 5 2 2= 5 . ?-1? +2 ( C.cos α-tan α<0 ) ( )

答案 B 解析 由三角函数的定义, 得 sin α= 2. 若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α+cos α<0 B.tan α-sin α<0

D.tan αsin α<0

答案 B 解析 在第三象限,sin α<0,cos α<0,tan α>0,则可排除 A、C、D,故选 B. 3. 已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为 A.2 B .4 C .6 D.8 ( )

1 答案 C 解析 设扇形的半径为 R,则 R2|α|=2, ∴R2=1,∴R=1, 2 ∴扇形的周长为 2R+|α|· R=2+4=6,故选 C. 4. 有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角; ④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中正确的命题的个数是 A.1 B .2 C .3 D.4 -x x2+y2 . ( )

π 2π π 2π 答案 A 解析 ①正确,②不正确,∵sin =sin ,而 与 角的终边不相同. 3 3 3 3 ③不正确.sin α>0,α 的终边也可能在 y 轴的非负半轴上. x x ④不正确.在三角函数的定义中,cos α= = 2 2,不论角 α 在平面直角坐标系的任何位置,结论 r x +y 都成立. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第________象限. 答案 二 解析 点 P 在第三象限,∴tan α<0,cos α<0. ∴α 在第二象限. 2 m,则 sin α 的值为________. 4

6. 设 α 为第二象限角,其终边上一点为 P(m, 5),且 cos α=

答案

10 4

m 2 解析 设 P(m, 5)到原点 O 的距离为 r, 则 =cos α= m, r 4 5 5 10 = = . r 2 2 4 1 -cos x的定义域是___________________________. 2 sin x≥0, sin x≥0, ? ? ? ? 解析 由题意知?1 即? 1 ?2-cos x≥0, ? ? ?cos x≤2.

∴r=2 2,sin α=

7.函数 y= sin x+

π ? 答案 ? ?3+2kπ,π+2kπ?(k∈Z)

π ∴x 的取值范围为 +2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 3 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= 和 tan θ 的值. 解 由题意,得 r= 3+m2, 所以 sin θ= m 2 = m. 3+m2 4 2 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 4

因为 m≠0,所以 m=± 5,故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 y 5 15 所以 cos θ= = =- , tan θ= = =- ; r 2 2 4 x - 3 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角, x - 3 6 y - 5 15 所以 cos θ= = =- , tan θ= = = . r 2 2 4 x - 3 3 9.(12 分)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 1 ? ?r=1, ?2lr=1, ? l 解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,则? 解得? ∴圆心角 α= =2. r ?l=2. ? ? ?l+2r=4, 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm). B组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 4 1. 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 答案 B 1 B. 2 C.- 3 2 D. 3 2 )

解析 ∵r= 64m2+9,∴cos α=

4 4m2 1 1 =- , ∴ m >0 , ∴ = ,即 m= . 2 2 5 25 2 64m +9 64m +9 -8m )

3π 3π? 2. 已知点 P? ?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π A. 4 3π B. 4 5π C. 4 7π D. 4

答案 D 解析 由 sin

3π 3π >0,cos <0 知角 θ 是第四象限的角, 4 4

3π cos 4 7π ∵tan θ= =-1,θ∈[0,2π),∴θ= . 3π 4 sin 4 3. 给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 答案 A 解析 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错;当三角形的内角为 90° 时,其既不是第 π 5π π 5π 一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于 sin =sin ,但 与 的终边不相同,故④ 6 6 6 6 错;当 cos θ=-1,θ=π 时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴重合,点 P(-4m,3m) (m>0)是 α 终边上一点,则 2sin α +cos α=________. 答案 2 5 3 4 2 解析 由条件可求得 r=5m,所以 sin α= ,cos α=- , 所以 2sin α+cos α= . 5 5 5 B .2 C .3 D.4 ( )

5. 函数 y= 2cos x-1的定义域为________. π π? 答案 ? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z) 1 解析 ∵2cos x-1≥0, ∴cos x≥ . 2 π π? 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). 6. 一扇形的圆心角为 120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________. 答案 (7+4 3)∶9 2 3? 解析 设扇形半径为 R,内切圆半径为 r. 则(R-r)sin 60° =r,即 R=?1+ r. 3 ? ?

7+4 3 2 S扇 7+4 3 1 1 2π π 又 S 扇= αR2= × ×R2= R2= πr , ∴ 2= . 2 2 3 3 9 πr 9 三、解答题 7. (13 分)已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 (3)试判断 tan 解 α α α sin cos 的符号. 2 2 2

(1)由 sin α<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;由 tan α>0,知 α 在第一、三象限,

3π 故 α 角在第三象限,其集合为{α|(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z}. 2 3π π α 3π α (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ ,得 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z,故 终边在第二、四象限. 2 2 2 4 2 α α α α α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 所以 tan sin cos 取正号; 2 2 2 2 2 2 2 α α α α α α α 当 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0, 所以 tan sin cos 也取正号. 2 2 2 2 2 2 2 因此,tan α α α sin cos 取正号. 2 2 2



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