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梳理抛物线焦点弦的有关结论



梳理抛物线焦点弦的有关结论
知识点 1:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的弦。设 A?x1 , y1 ?,

B?x2 , y2 ? ,则(1) x1 x 2 ?

p2 ; (2) y1 y2 ? ? p 2 4
A y

证明:如图, (1)若 AB 的斜率

不存在时, 依题意 x1 ? x 2 ?
p2 p , ? x1 x 2 ? 2 4

x o
B

F

p? ? 若 AB 的斜率存在时,设为 k , 则 AB : y ? k ? x ? ? ,与 y 2 ? 2 px 联立,得 2? ?

p? k 2 p2 ? k ? x ? ? ? 2 px ? k 2 x 2 ? k 2 ? 2 px ? ?0 2? 4 ?
2

2

?

?

p2 ? x1 x 2 ? . 4
2

p2 . 综上: x1 x2 ? 4

(2)? x1 ?

y1 y 2 2 , x2 ? 2 ,? y1 y2 ? p 4 ? y1 y2 ? ? p 2 , 2p 2p

2

但 y1 y2 ? 0,? y1 y2 ? ? p 2 (2)另证:设 AB : x ? my ?
p 与 y 2 ? 2 px 联立,得 2

y 2 ? 2 pmy? p 2 ? 0,? y1 y2 ? ? p 2
知识点 2:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的弦。设 A?x1 , y1 ?,

B?x2 , y2 ? , (1)AB ? x1 ? x2 ? p(2) 则 设直线 AB 的倾斜角为 ? , AB ? 则 ;
证明: (1)由抛物线的定义知 p p AF ? x1 ? , BF ? x 2 ? , 2 2

2p n i s
A
2

?



y

? AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? p
p 2p (2)若 ? ? 90 0 , 则x1 ? x 2 ? , 由(1)知 AB ? 2 p ? 2 sin 2 ?

o
B

F

p? ? 若 ? ? 900 , 设AB : y ? k ? x ? ?, 与y 2 ? 2 px 联立,得 2? ?
1

p? k 2 p2 ? 2 2 2 k ? x ? ? ? 2 px ? k x ? k ? 2 px ? ?0 2? 4 ?
2

2

?

?

? x1 ? x 2 ?

p k2 ? 2 2 p k 2 ?1 , ? AB ? x1 ? x2 ? p ? ,而 k ? tan ? , k2 k2

?

?

?

?

? AB ?

2 p 1 ? tan2 ? 2p ? 2 tan ? sin 2 ?

?

?

知识点 3:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的弦, 则以 AB 为直径 的圆与抛物线的准线相切。 y 证明:过点 A、B 分别向抛物线的准线引垂线,垂足分别为

A

A1、B1 , 过 AB 中点 M 向准线引垂线,垂足为 N ,
设以 AB 为直径的圆的半径为 r ,
? 2r ? AB ? AF ? BF ? AA1 ? BB1 ? 2 MN ? MN ? r.

o
B

F

? 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点 4:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的弦。 过点 A、B 分别
y

向抛物线的准线引垂线,垂足分别为 A1、B1 , 则 ?A1 FB1 ? 900 。 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明

A

o
B

F

知识点 5:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的弦,抛物线的准线 与 x 轴相交于点 K ,则 ?AKF ? ?BKF . 证明:过点 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 A、B1 . 1
y

A

? AA1 // KF // BB1
? A1 K AF ? 而AF ? A1 A, BF ? B1 B B1 K FB A1 K A1 A ? B1 K B1 B ?

K

o
B

F

?

A1 K B1 K ? ,而 ?AA1 K ? ?BB1 K ? 900 A1 A B1 B

? ?AA1 K ∽ ?BB1 K

? ?A1 KA ? ?B1 KB

2

? ?AKF ? ?BKF

知识点 6:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的弦, o 为抛物线的 顶点,连接 AO 并延长交该抛物线的准线于点 C , 则 BC // OF . 证明:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则
y A

AB : y ?
? yC ? ?

? p y p? y1 x,? C ? ? ,? 1 ? ? 2 2x ? x1 1 ? ?
y1 p y p p2 ?? 1 2 ?? 2 x1 y1 y 2? 1 2p
2

o
C
B

F

由知识点 1 知 y1 y2 ? ? p

p2 ? yC ? ? ? y2 p2 ? y2

? BC // OF

逆定理: AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的弦, 若 过点 B 作 BC // OF 交抛物线准线于点 C , 则 A、C、O 三点共线。 证明略 知 识 点 7 : 若 AB 是 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的 焦 点 F 的 弦 , 设

AF ? m, BF ? n, 则
1 1 2 ? ? . m n p

y A

o
B

F

证法: (1)若 AB ? x 轴,则 AB 为通径,而 AB ? 2 p,
?m ? n ? p

?

1 1 2 ? ? . m n p

( 2 ) 若 AB 与 x 轴 不 垂 直 , 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? , AB 的 斜 率 为 k , 则
p? ? l : y ? k? x ? ? 2? ?
2 2



y 2 ? 2 px









p? k 2 p2 ? 2 2 2 k ? x ? ? ? 2 px ? k x ? k ? 2 px ? ?0 2? 4 ?

?

?

3

? x1 ? x 2 ?

p k2 ? 2 p2 , x1 x2 ? . 4 k2
p p , n ? BF ? x 2 ? 2 2

?

?

由抛物线的定义知 m ? AF ? x1 ?
?
1 1 m?n ? ? ? m n mn

x1 ? x 2 ? p 2 ? 2 p p p x1 x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 2 4

知 识 点 8 : 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 中 , AB 为 其 过 焦 点 F 的 弦 ,

AF ? m, BF ? n, 则
S ?AOB ? p2 4 ? n m? ? ? ? ? m n? ? ?
y A

证明:设 ?AFx ? ? , 则

o
B

F

S ?AOB ? S ?AOF ? S ?BOF
1 p 1 p ? ? m sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ? 2 2 2 2 p ? ?m ? n ?sin ? 4 ?

而m ?

p p p2 p2 ,n ? ,? mn ? ,? sin ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? mn sin 2 ?
2 2 ? ? p ?m ? n ? p ? p ? n ? m ?. 4 mn 4 ? m n? ? ?

? S ?AOB ?

逆定理:已知抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 中, AB 为其弦且与 x 轴相交于点 M ,若

AM ? m, BM ? n, 且 S ?AOB ?

p2 4

? n m? ? ?, 则弦 AB 过焦点。 ? ? m n? ? ?

证明:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? , ?AMx ? ? , M ?t ,0? ,则
1 1 1 S ?AOB ? S ?AOM ? S ?BOM = tm sin ?? ? ? ? ? tn sin ? ? ?m ? n ?t sin ? 2 2 2

而 sin ? ?

y1 m

, sin ? ?

y2 n

, ? sin 2 ? ?

? y1 y 2 mn

4

? sin ? ?

? y1 y 2 mn
1 ?m ? n?t ? y1 y2 ? 1 ?m ? n? t ? y1 y2 2 mn 2 mn
p2 4 ? n m ? 1 ?m ? n ? p 2 ? ?? ? ? m n ? 2 mn 2 ? ?

? S ?AOB ?
而 S ?AOB ?

? t ? y1 y 2 ?

p2 ① 2

又可设

l : x ? ay ? t ? 2 ? ? y ? 2 pay ? 2 pt ? 0 2 y ? 2 px ?
p 2

? y1 y2 ? ?2 pt ②

由①②得 t ?

? AB 恒过焦点 ?

?p ? ,0 ? ?2 ?

例 1、过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点做直线交抛物线于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,如果

x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB ?

8

变式:过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点做直线交抛物线于 A, B 两点,如果 AB ? 8 , O 为 坐标原点,则 ?OAB 的重心的横坐标是 2

例 2、直线 l 经过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且与抛物线交于 A, B 两点, 由 A, B 分别向准线引垂线 AA' , BB' ,垂足分别为 A' , B ' ,如果 A' B ' ? a , Q 为 A' B ' 的中点,则 QF ?
a 2

(用 a 表示)

变式:直线 l 经过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且与抛物线交于 A, B 两点, 由 A, B 分别向准线引垂线 AA' , BB' ,垂足分别为 A' , B ' ,如果 AR ? a, BF ? b , Q 为 A' B ' 的中点, 则 QF ?

a 2 ? b2 2

(用 a , b 表示)

??? ??? ? ? 例 3、设坐标原点为 O ,过焦点的直线 l 交抛物线 y 2 ? 4x 于 A, B 两点, OA ? OB ?
-3
5

例 4、过抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点 F 作一直线
A?

y (x1,y1)

交抛物线于 P, Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别 是 p, q ,则
1 1 ? ? p q
4 a

x

B?

(x2,y2)

小结: (1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题,在解决 这类问题时注意对这个梯形的运用; (2)万变不离其宗,解决问题的关键仍然是抛物线定义.

6



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