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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系



§ 9.3

圆的方程

1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 4.圆的一般方程 D E? x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0,

其中圆心为? ?- 2 ,- 2 ?,半径 r = D2+E2-4F . 2

5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则以 AB 为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)= 0.( √ ) (3) 方程 Ax2 + Bxy+ Cy2 +Dx +Ey +F = 0 表示圆的充要条件是 A =C≠0, B= 0 ,D2 + E2-

-1-

4AF>0.( √ ) (4)方程 x2+2ax+y2=0 一定表示圆.( × ) 1? (5)圆 x2+2x+y2+y=0 的圆心是? ?1,2?.( × )

1.x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3) 答案 D

)

B.(-2,3) D.(2,-3)

D E? 2 2 解析 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的圆心为? ?- 2 ,- 2 ?,∴圆 x +y -4x+6y=0 的圆心为(2, -3). 2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 答案 A 解析 ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1. 3.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( 2 A.a<-2 或 a> 3 C.-2<a<0 答案 D 解析 由题意知 a2+4a2-4(2a2+a-1)>0, 2 解得-2<a< . 3 4.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为______________. 答案 (x-2)2+y2=10 解析 设圆心坐标为(a,0), 易知 ?a-5?2+?-1?2= ?a-1?2+?-3?2, 解得 a=2,∴圆心为(2,0),半径为 10, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 2 B.- <a<0 3 2 D.-2<a< 3 ) B.0<a<1 D.a=± 1 )

-2-

题型一 求圆的方程 例 1 根据下列条件,求圆的方程. (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2). 思维点拨 (1)设圆的一般方程,利用待定系数法求解. (2)求圆心和半径,确定圆的标准方程. 解 (1)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将 P、Q 两点的坐标分别代入得
? ?2D-4E-F=20, ? ?3D-E+F=-10. ?

① ②

又令 y=0,得 x2+Dx+F=0.③ 设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6 有 D2-4F=36,④ 由①、②、④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0,或 x2+y2-6x-8y=0. 4x0-2 (2)方法一 如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得 =1, 3-x0 ∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径 r=2 2, 故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 方法二 设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, y =-4x , ? ??3-x ? +?-2-y ? =r , 根据已知条件得? |x +y -1| ? ? 2 =r,
0 0 0 2 0 2 2 0 0

?x0=1, ? 解得?y0=-4, ? ?r=2 2.
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 思维升华 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法

-3-

①若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 a,b,r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程, 依据已知条件列出关于 D、 E、 F 的方程组,进而求出 D、E、F 的值. (2014· 陕西)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的 标准方程为____________. 答案 x2+(y-1)2=1 解析 由题意知圆 C 的圆心为(0,1),半径为 1,所以圆 C 的标准方程为 x2+(y-1)2=1. 题型二 与圆有关的最值问题 例 2 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求: y (1) 的最大值和最小值; x (2)y-x 的最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值. 思维点拨 显然实数 x,y 所确定的点在圆 x2+y2-4x+1=0 上运动, y 而 则可看成是圆上的点与原点连线的斜率, x y-x 可以转化为截距,x2+y2 可以看成是圆上点与原点距离的平方. 解 (1)如图,方程 x2+y2-4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的 圆. y 设 =k,即 y=kx, x 则圆心(2,0)到直线 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最 小值. 由 |2k-0|
2

= 3,解得 k2=3, k +1

∴kmax= 3,kmin=- 3. (也可由平面几何知识,得 OC=2,CP= 3,∠POC=60° ,直线 OP 的倾斜角为 60° ,直线 OP′的倾斜角为 120° ) (2)设 y-x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与圆切于第四象限时,截距 b 取最小值,由点 到直线的距离公式, 得 |2-0+b| = 3,即 b=-2± 6, 2

故(y-x)min=-2- 6. (3)x2+y2 是圆上点与原点的距离的平方,故连接 OC,

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与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,则 (x2+y2)max=|OC′|2=(2+ 3)2=7+4 3, (x2+y2)min=|OB|2=(2- 3)2=7-4 3. 思维升华 (1)与圆相关的最值,若几何意义明显时,可充分利用几何性质,借助几何直观求

解.否则可转化为函数求最值. y-b (2)①形如 u= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t=ax+by 形式 x-a 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题, 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 P 是圆(x-1)2+y2=1 上任意一点,则△PAB 面积 的最大值与最小值分别是( 1 A.2, (4- 5) 2 1 1 B. (4+ 5), (4- 5) 2 2 C. 5,4- 5 1 1 D. ( 5+2), ( 5-2) 2 2 答案 B 解析 如图,圆心(1,0)到直线 AB: 2x-y+2=0 的距离为 d= 4 , 5 4 4 +1,最小值是 -1, 5 5 )

故圆上的点 P 到直线 AB 的距离的最大值是 又|AB|= 5, 故△PAB 面积的最大值和最小值分别是 2+ 题型三 与圆有关的轨迹问题

5 5 ,2- . 2 2

例 3 设定点 M(-3,4), 动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四边形 MONP, 求点 P 的轨迹. 思维点拨 结合图形寻求点 P 和点 M 坐标的关系,用相关点法(代入法)解决. x y? 解 如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为? ?2,2?, 线段 MN 的中点坐标为? x0-3 y0+4? ? 2 , 2 ?.由于平行四边形的对角线互相平分,

? ?x0=x+3 x x0-3 y y0+4 故 = , = .从而? . 2 2 2 2 ?y0=y-4 ?

-5-

N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4, 9 12? ? 21 28? 但应除去两点? ?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?(点 P 在直线 OM 上的情况). 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方程. ④代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. (2014· 课标全国Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4. → → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). → → 由题设知CM· MP=0, 故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上. 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 又|OM|=|OP|=2 2, 4 10 O 到 l 的距离为 , 5 |PM|= 4 10 , 5

16 所以△POM 的面积为 . 5

-6-

利用几何性质巧设方程求半径 典例:在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上,求圆 C 的 方程. 思维点拨 本题可采用两种方法解答,即代数法和几何法. 规范解答 解 一般解法 (代数法)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2, 0),(3-2 2,0),设圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),

?1+E+F=0, 则有??3+2 2? +D?3+2 ??3-2 2? +D?3-2
2 2

2?+F=0, 2?+F=0,

D=-6, ? ? 解得?E=-2, ? ?F=1,

故圆的方程是 x2+y2-6x-2y+1=0. 巧妙解法 (几何法)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0),(3 -2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2, 解得 t=1.则圆 C 的半径为 32+?t-1?2=3, 所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. 温馨提醒 (1)一般解法(代数法):可以求出曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的三个交点,设圆的 方程为一般式,代入点的坐标求解析式. (2)巧妙解法(几何法):利用圆的性质,知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上,从而设 圆的方程为标准式,简化计算.显然几何法比代数法的计算量小,因此平时训练多采用几何 法解题.

方法与技巧 1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法, 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. 失误与防范 1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方 程.

-7-

2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不 存在的情况.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.“a=1”是“方程 x2+y2-2x+2y+a=0 表示圆”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 方程 x2+y2-2x+2y+a=0 表示一个圆, 则(-2)2+22-4a>0,∴a<2, 又 a=1?a<2,反之不成立, ∴“a=1”是“方程 x2+y2-2x+2y+a=0 表示圆”的充分而不必要条件. 2.点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 内弦 AB 的中点,则 AB 的方程为( A.x+y-1=0 C.x-y-3=0 答案 C 解析 由题意可知圆心 Q(1,0),故 kPQ=-1. ∴kAB=1,∴AB 的方程为 y+1=1×(x-2). 即 x-y-3=0. 3.已知点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的最小值是 ( ) B.3+ 2 3- 2 D. 2 B.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.3- 2 C.3- 2 2

答案 A 解析 圆的标准方程为(x-1)2+y2=1. 直线 AB 的方程为 x-y+2=0, |1-0+2| 3 2 圆心(1,0)到直线 AB 的距离 d= = . 2 2 3 2 则点 C 到直线 AB 的最短距离为 -1. 2 又|AB|=2 2.

-8-

1 3 2 ? ∴S△ABC 的最小值为 ×2 2×? =3- 2. 2 ? 2 -1? 4.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2) +(y+1) =1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 答案 A 解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 x2 0+y0=4,连线中点坐标为(x,y), 2 2

)

?2x=x0+4 ?x0=2x-4, ? ? 则? ?? ?2y=y0-2 ?y0=2y+2, ? ?
2 2 2 代入 x2 0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1.

1 2 5.若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长,则 + 的最小 a b 值为( )

A.1 B.5 C.4 2 D.3+2 2 答案 D 解析 由题意知圆心 C(2,1)在直线 ax+2by-2=0 上, ∴2a+2b-2=0,整理得 a+b=1, 1 2 1 2 b 2a ∴ + =( + )(a+b)=3+ + a b a b a b ≥3+2 b 2a × =3+2 2, a b

b 2a 当且仅当 = ,即 b=2- 2,a= 2-1 时,等号成立. a b 1 2 ∴ + 的最小值为 3+2 2. a b 6 . (2013· 江西 ) 若圆 C 经过坐标原点和点 (4,0) ,且与直线 y = 1 相切,则圆 C 的方程是 __________________. 3?2 25 答案 (x-2)2+? ?y+2? = 4 解析 如图,设圆心坐标为(2,y0),则
2 ?y2 ? 0+4=r , ? ? ?|1-y0|=r,

3 5 解得 y0=- ,r= , 2 2

-9-

3?2 25 ∴圆 C 的方程为(x-2)2+? ?y+2? = 4 . 7.若方程 x2+y2-2x+2my+2m2-6m+9=0 表示圆,则 m 的取值范围是________;当半径 最大时,圆的方程为______________________. 答案 2<m<4 (x-1)2+(y+3)2=1 解析 ∵原方程可化为(x-1)2+(y+m)2=-m2+6m-8,∴r2=-m2+6m-8=-(m-2)(m- 4)>0, ∴2<m<4. 当 m=3 时,r 最大为 1, 圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=1. 8. 已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称, 则 a-b 的取值范围是________. 答案 (-∞,1) 解析 ∵圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a, ∴其圆心为(-1,2),且 5-a>0,即 a<5. 又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称, ∴2=-2+b,∴b=4.∴a-b=a-4<1. 9.一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求此圆的方程. 解 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令 y=0,得 x2+Dx+F=0,所以 x1+x2=-D. 令 x=0,得 y2+Ey+F=0,所以 y1+y2=-E. 由题意知-D-E=2,即 D+E+2=0.① 又因为圆过点 A、B,所以 16+4+4D+2E+F=0.② 1+9-D+3E+F=0.③ 解①②③组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 10.已知圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆 C 的方程. 解 因为圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1), 1 所以过点(4,-1)的直径所在直线的斜率为- =-6, 1 6 其方程为 y+1=-6(x-4),即 y=-6x+23. 5 5 13 又因为圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线 y- =- (x- ), 2 7 2 即 5x+7y-50=0 上,
?y=-6x+23, ? 由? 解得圆心为(3,5), ?5x+7y-50=0 ?

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所以半径为 ?9-3?2+?6-5?2= 37, 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差 最大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 C.x-y=0 答案 A 解析 当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件. 圆心 O 与 P 点连线的斜率 k=1, ∴过点 P 垂直于 OP 的直线方程为 x+y-2=0. 12.(2014· 山东)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长 为 2 3,则圆 C 的标准方程为______________________. 答案 (x-2)2+(y-1)2=4 解析 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0), 由题意得 a=2b>0,且 a2=( 3)2+b2, 解得 a=2,b=1. ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 13.设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线, 切点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积的最小值为________. 答案 3 ) B.y-1=0 D.x+3y-4=0

解析 依题意,圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心是点 C(1,1),半径是 1, 10 易知|PC|的最小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的距离,即 =2, 5 而四边形 PACB 的面积等于 1 2S△PAC=2×( |PA|· |AC|) 2 =|PA|· |AC|=|PA|= |PC|2-1, 因此四边形 PACB 的面积的最小值是 22-1= 3.
? ?x-2y≥0, 14.已知 D 是由不等式组? 所确定的平面区域,则圆 x2+y2=4 在区域 D 内的弧 ?x+3y≥0 ?

长为________. 答案 π 2

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解析 作出可行域 D 及圆 x2+y2=4,如图所示, 图中阴影部分所在圆心角 θ=α-β 所对的弧长即为所求. 1 1 1 1 易知图中两直线的斜率分别为 、- ,得 tan α= ,tan β=- , 2 3 2 3 1 1 + 2 3 tan θ=tan(α-β)= =1, 1 1 1- × 2 3 π π π 得 θ= ,得弧长 l=θ· R= ×2= (R 为圆的半径). 4 4 2 15.(2013· 课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 2

解 (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 则 y2+2=r2,x2+3=r2. ∴y2+2=x2+3,即 y2-x2=1. ∴P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P 的坐标为(x0,y0), 则 |x0-y0| 2 = ,即|x0-y0|=1. 2 2

∴y0-x0=± 1,即 y0=x0± 1.
2 2 2 ①当 y0=x0+1 时,由 y2 0-x0=1 得(x0+1) -x0=1.

? ?x0=0, ∴? ∴r2=3. ?y0=1, ?

∴圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3.
2 2 2 ②当 y0=x0-1 时,由 y2 0-x0=1 得(x0-1) -x0=1.

?x0=0, ? ∴? ∴r2=3. ?y0=-1, ?

∴圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3. 综上所述,圆 P 的方程为 x2+(y± 1)2=3. 16.在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△OAB 的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且 点 B 的纵坐标大于 0. → (1)求AB的坐标; (2)求圆 x2-6x+y2+2y=0 关于直线 OB 对称的圆的方程.

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→ → → 解 (1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,AB· OA=0,
?x2+y2=100, ?x=6, ?x=-6, ? ? ? 得? 解得? 或? ? ? ? ?4x-3y=0, ?y=8 ?y=-8.

→ 若AB=(-6,-8),则 yB=-11 与 yB>0 矛盾.
?x=-6, ? → ∴? 舍去.即AB=(6,8). ? y =- 8 ?

(2)圆 x2-6x+y2+2y=0, 即(x-3)2+(y+1)2=( 10)2, 其圆心为 C(3,-1),半径 r= 10, → → → ∵OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5), 1 ∴直线 OB 的方程为 y= x. 2 1 设圆心 C(3,-1)关于直线 y= x 的对称点的坐标为(a,b), 2 b+1 ? ?a-3=-2, 则? b-1 1 a+3 ? 2 =2· 2 , ?
?a=1, ? 解得? ?b=3, ?

∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.

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