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1函数的基本性质



函数的基本性质
一、函数的概念 1、函数的定义
1、函数的定义:设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于

集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 的值 f(x)和它对应,那么 就称 f::A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y = ,x∈A,其中 x 叫做 .。x 的取值范围 A 叫做函数的

;与 x 的值相对应的 y 的值叫 做 ,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 .
例1、 下列图象不能表示函数的是_______.
y 1
y

y
1

1
-1 O -1 x
-1 O -1 x

-1

O -1 (3)

x

(9

(1)

(2) (2) y ? x (4) y ? x
2

例2、 试判断下列是否是函数,若不是说明理由: (1) y ?| x | (3) y ? x
2

例 3、已知函数 f ( x) ? 5x ? 3 ,求:

(1) f (3) 的值; (2) f (a ) 的值; (3) f ( f (3)) ; (4) f ( f ( f (3))) ; (5) f ( f ( x))
4、常见函数定义域

⑴y? ⑶y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

1 1 1? x ?1

? (2 x ? 1)0 ? 4 ? x 2

2、定义域:如果一个函数没有指明它的定义域,则这个函数的定义 域是指使这个式子有意义的实数 x 的取值范围.对于

实际问题要特别注意定义域的求解.

例 1、求下列函数的定义域: (1)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 [0,2],求函数 y ? f ( x 2 ) 的定义域是 ______________. (2)若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[0,2],则函数 y ? f ( x) 的定义域是 ______________. (3)若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[0,2],则函数 y ? f ( x 2 ) 的定义域 是______________. ( 4 ) 已 知 函 数 f ( x2 ? 2 x? 2 )的 定 义 域 为 ?0, 3? , 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 .

注:抽象函数的定义域是指 x 的取值范围,明确函数中的 x 具体指什 么;原则是位置相同,范围相同 知识小结:求函数的定义域时,一般应考虑:分母不等于零;零的零 次幂没有意义;指数函数的底数 a >0 且 a ? 1 实际问题的背景所允许 的取值范围. 试一试: (相信自己可以做到) (1)、若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[1,2],则函数 y ? f ( x ? 4) 的定 义域是______________.
(2)、设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 ,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_
f ( x ? 2) 的定义域为________;

_

_;函数

3] , (3)、 若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2, 则函数 f (2 x ?1) 的定义域是
1 函数 f ( ? 2) 的定义域为 x





(4) 、已知函数 y ?

4x ? 3 的定义域为全体实数求 a 的范围。 ax ? 3ax ? 4
3 2

(5) (2013 浦东新区一模文科 3) 、 函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域为
1 ? 2x, 0? x? ? ? 2 (6) 、 (2013 浦东新区一模文科 23)设函数 T ( x) ? ? ?2(1 ? x), 1 ? x ? 1 ? ? 2

.

(1)求函数 y ? T ( x2 ) 和 y ? ?T ( x)?2 的解析式; 3、函数的解析式 例 1、求函数解析式的方法: (1)换元法: 已知 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? x 2 ? 2 x ,求函数 y ? f ( x) 的解析式.

(2) 凑配法: 已知 f ? x ? 1? ? x ? 2 x ,求 f ( x) 。 (3) 待定系数法: 已知 f ( f ( x)) ? 4 x ? 3 ,求一次函数 f ( x) 的解析式。

(4) 方程组法: 已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ,求 f ( x) .
x

试一试: (你也可以做到的) (1)已知 f (
x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) 及 f ( x 2 ) ;

(2) 已知 f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出 f(x) 的解析式;

(3) f ( x) ? 3 f (? x) ? 2 x ? 1,求 f ( x) .

(4) 、已知 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ,求函数 y ? f ( x ? 2) 的解析式.

例 2、绝对值函数的图象与解析式 (1) y ? x ? 1 (3) y ? 2 x ? 1 ? 3 二、函数的运算(和函数与积函数) 例 1、(1)设 f ( x) ? 1 ? x , g( x) ? 1 ? x ? x ,则 f ( x) ? g ( x) ? __________
x3 ? x 2x ? 1 , g ( x) ? (2) 已知函数 f ( x) ? , f ( x) ? g ( x) ? __________ 2x ? 1 x

(2) y ? ?2x 2 ? x (4) y ? x ? 1 ? x ? 2

2、已知函数 f ( x) ? ?
f ( x) ? g ( x)

?? x, x ? ?1 ?x 2 , x ? 1 ? ,求函数 f ( x)、g ( x) 的和 , g ( x) ? ? 1 , x ? ? 1 x , x ? 1 ? ? ?x

三、函数奇偶性的判定问题 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法: 第一种方法: ①、 定义域是否关于原点对称; ②、 数量关系 f (? x) ? ? f ( x) 哪个成立;

第二种方法:奇偶函数的运算性质: 奇±奇=奇(函数)偶±偶= 偶(函数) 奇×奇=偶(函数)偶×偶=偶(函数)奇×偶=奇(函 数)

例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f ( x) ? ( x ? 1)
1? x ; 1? x

(2)f ( x) ? ? ?

? x2 ? x ? ?? x ? x
2

( x ? 0) ( x ? 0)



例 2.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1, 2a] ,则 a=___________,b=___________.

例 2 已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,
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(1)求证: f ( x) 是奇函数;

(2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12)

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例 3 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R
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(1)讨论 f ( x) 的奇偶性;

(2)求 f ( x) 的最小值

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例 4 利用奇偶性求解析式
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(1)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则
f ( x) 的解析式为

例 5、若 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f ( x) 的单调区 间?

例 6、已知函数 f ( x) ? a ?

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

例 7、奇偶性函数的图象 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, 如右图, 则不等式 xf(x)<0 的解是

f(x)的图象 .

试一试: (相信自己也可以) 1、已知 f ( x) 为偶函数 当0 ? x ? 1时, f ( x) ? 1 ? x,当 ? 1 ? x ? 0时 , 求 f ( x) 的解 析式? 2 、已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数,当 x ? ( ? ?, f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? ________ 3、已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) =
0)

时,

1 ,则 f ( x) = x ?1

四、函数单调性的判定问题: 1、判断方法:已知函数 y=f (x),给定区间 D,对任意 x1,x2?D, 设 x1<x2 , 如 果 ___________ , 就 称 函 数 f (x) 在 区 间 D 上 为 ____________,如果__________,就称_________________减函数。 反之: 如果函数 f (x)在区间D上为减函数, 则对区间D内任意 x1, x2,

x1<x2?__________。 如果函数 f (x)在区间D上为增函数,___________________。其中区 间D称为函数 f (x)______________。

题型一:用定义证明函数的单调性 例 1、讨论函数 f(x)= 调性.
ax (a>0)在 x ?1
2

x∈(-1,1)上的单

题型二:图象法对单调性的判断 例 2:指出下列函数的单调区间:
?1? y ? x 2 ? 1 ? 2? y ? ? x2 ? 2 x ? 3

题型三:函数单调性解题应用 例 1:已知函数 y=x2-2ax+a2-1 在(-∞,1)上是减函数,求 a 的 取值范围. 题型四:复合函数的单调性(同增异减) (1)、已知函数 y ? ( ) x ?6 x ?17
2

1 2

2

,求函数的定义域、值域、单调区间;

( 2) 、函数 y ? log1 (x2 ? 3x ? 2)的递增区间是 _________ ,递减区间是 __________; (3)若 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)

试一试: (你也可以做到的) 1、求下列函数的单调区间:
(1) y ? x 2 ? 1 ( x ? 0) x ( 2) y ? 2x ? 2 x?1

(3) y ? ? x 2 ? 2 | x | ?3

五、函数奇偶性与单调性的应用。 1、 (1)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 5, f (2) ? 3, 求 f ( ?2) 。 (2)已知 f ( x ) 是偶函数, g( x ) 为奇函数, f ( x) ? g( x) ? x 2 ? 2 x 求
f (1) 。

2、二次函数在区间上的最值问题。 【例 9】求函数 y ? ?2 x 2 ? 3 x ? 1 在区间 [1,2] 上的最大值和最小值。

【例 10】求函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间 [a , a ? 1] 上的最大值。

【例 11】求函数 y ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间 [0,2] 上的最大值和最小值。

3、已知函数 f ( x) 在 R 上是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 1 ,求
f ( x) 在 R 上的表达式。

4 、 若 关 于 x 的 不 等 式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的 解 集 不 是 空 集 , 则 a ?_________;

5、 ( 2012 高考文科 9 )已知 y ? f ( x) 是奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且
g (1) ? 1 ,则 g (?1) ?

五、函数的周期性 1、 定义: 若 T 为非零常数, 对于定义域内的任一 x, 使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期
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例 1、已知函数 f ( x) 是周期为 2 的函数,当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 ?1 , 当 19 ? x ? 21 时, f ( x) 的解析式是

例 2、 、(宝山 12)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,又是周期为 2 的 周期函数, 当 x ? [0,1) 时,f ( x) ? 2 x ? 1 , 则 的值为 。 o g lf (6 ) 5.0

3 、设 f(x) 是定义在( - ∞, + ∞)上的函数,对一切 x ∈ R 均有 f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤1 时,f(x)=2x-1,求当 1<x≤3 时,函数 f(x)的解析式。



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