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3-1-2相遇与追及问题



3-1-2 相遇与追及问题

教学目标
1、 2、 3、 4、 根据学习的“路程和=速度和× 时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题 研究行程中复杂的相遇与追及问题 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化,融合多种方法达到正确理解题目的目的 培养学生的解决问题的能力

知识精讲
一、相遇
甲从 A 地到 B

地,乙从 B 地到 A 地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了 A,B 之间 这段路程,如果两人同时出发,那么

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度× 相遇时间+乙的速度× 相遇时间 =(甲的速度+乙的速度)× 相遇时间 =速度和× 相遇时间. 一般地,相遇问题的关系式为:速度和× 相遇时间=路程和,即 S和 =V和t

二、追及
有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计 算两人走的路程之差(追及路程).如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间(追及时间)内: 追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度× 追及时间-乙的速度× 追及时间 =(甲的速度-乙的速度)× 追及时间 =速度差× 追及时间. 一般地,追击问题有这样的数量关系:追及路程=速度差× 追及时间,即 S差 =V差 t 例如:假设甲乙两人站在 100 米的跑道上,甲位于起点(0 米)处,乙位于中间 5 米处,经过时间 t 后甲乙同 时到达终点,甲乙的速度分别为 v甲 和 v乙 ,那么我们可以看到经过时间 t 后,甲比乙多跑了 5 米,或者可 以说,在时间 t 内甲的路程比乙的路程多 5 米,甲用了时间 t 追了乙 5 米

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三、在研究追及和相遇问题时,一般都隐含以下两种条件:
(1)在整个被研究的运动过程中,2 个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中,2 个物体所走的是同一路径。
?总路程=速度和 ? 相遇时间 ? 相遇问题 ?速度和=总路程 ? 相遇时间 ?相遇时间=总路程 ? 速度和 ? ?追及时间=追及路程 ? 速度差 ? 追及问题 ?追及路程=速度差 ? 追及时间 ?速度差=追及路程 ? 追及时间 ?

模块一、直线上的相遇与追及问题
【例 1】 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行 46 千米,货车每小时行 48 千米。3.5 小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米? 【解析】 本题是简单的相遇问题,根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为: (46+48) × 3.5=94× 3.5=329(千米) .

【巩固】 两地间的路程有 255 千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行 45 千米,乙车每小时 行 40 千米。甲、乙两车相遇时,各行了多少千米? 【解析】 根据相遇公式知道相遇时间是:255÷ (45+40)=255÷ 85=3(小时) ,所以甲走的路程为:45× 3=135 (千米) ,乙走的路程为:40× 3=120(千米).

【例 2】 大头儿子的家距离学校 3000 米,小头爸爸从家去学校接大头儿子放学,大头儿子从学校回家, 他们同时出发,小头爸爸每分钟比大头儿子多走 24 米,50 分钟后两人相遇,那么大头儿子的 速度是每分钟走多少米? ( 60 ? 24 ) ? 2 ? 42 (米 【解析】 大头儿子和小头爸爸的速度和: 3000 ? 50 ? 60 (米/分钟),小头爸爸的速度: /分钟),大头儿子的速度: 60 ? 42 ? 18 (米/分钟). 【巩固】 聪聪和明明同时从各自的家相对出发,明明每分钟走 20 米,聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快 42 米,经过 20 分钟后两人相遇,你知道聪聪家和明明家的距离吗? 【解析】 方法一:由题意知聪聪的速度是: 20 ? 42 ? 62 (米/分),两家的距离 ? 明明走过的路程 ? 聪聪走 过的路程 ? 20 ? 20 ? 62 ? 20 ? 400 ? 1240 ? 1640 (米),请教师画图帮助学生理解分析.


聪聪
20分钟后相遇

明明

注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式:S和 ? v和t . 对于刚刚学习奥数的孩子, 注意引导他们认识、理解及应用公式.
( 20 ? 62 ) ? 20 ? 1640 (米). 方法二:直接利用公式: S和 ? v和t ?

【例 3】 A 、 B 两地相距 90 米,包子从 A 地到 B 地需要 30 秒,菠萝从 B 地到 A 地需要 15 秒,现在包 子和菠萝从 A 、 B 两地同时相对而行,相遇时包子与 B 地的距离是多少米? 【解析】 包 子 的 速 度 : 90 ? 30 ? 3 ( 米 / 秒 ) , 菠 萝 的 速 度 : 90 ? 15 ? 6 ( 米 / 秒 ) , 相 遇 的 时 间 :
90 ? (3 ? 6) ? 10 (秒),包子距 B 地的距离: 90 ? 3 ? 10 ? 60 (米).

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【巩固】 甲、 乙两车分别从相距 360 千米的 A 、B 两城同时出发, 相对而行, 已知甲车到达 B 城需 4 小时, 乙车到达 A 城需 12 小时,问:两车出发后多长时间相遇? 【解析】 要求两车的相遇时间,则必须知道它们各自的速度,甲车的速度是 360 ? 4 ? 90 (千米/时) ,乙 车的速度是 360 ? 12 ? 30 (千米/时) ,则相遇时间是 360 ? (90 ? 30) ? 3 (小时) .

【例 4】 甲、乙两辆汽车分别从 A 、 B 两地出发相对而行,甲车先行 1 小时,甲车每小时行 48 千米,乙 车每小时行 50 千米, 5 小时相遇,求 A 、 B 两地间的距离. 【解析】 这题不同的是两车不“同时”. (法 1 )求 A 、 B 两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和.这样可以充分别求出甲车、 乙 车 所 行 的 路 程 , 再 把 两 部 分 合 起 来 . 48? (1? 5)? 288 (千米) , 50 ? 5 ? 250 ( 千 米 ) ,
288 ? 250 ? 538 (千米) .

(法 2 )还可以先求出甲、乙两车 5 小时所行的路程和,再加上甲车 1 小时所行的路程. (48 ? 50) ? 5 ? 490 (千米) , 490 ? 48 ? 538 (千米) . 【巩固】 甲、乙两列火车从相距 770 千米的两地相向而行,甲车每小时行 45 千米,乙车每小时行 41 千米, 乙车先出发 2 小时后,甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇? 【解析】 甲、乙两车出发时间有先有后,乙车先出发 2 小时,这段时间甲车没有行驶,那么乙车这 2 小时 所行的路程不是甲、 乙两车同时相对而行的路程, 所以要先求出甲、 乙两车同时相对而行的路程, 再除以速度和,才是甲、乙两车同时相对而行的时间.乙车先行驶路程: 41 ? 2 ? 82 (千米),甲、 乙两车同时相对而行路程:770 ? 82 ? 688 (千米), 甲、 乙两车速度和:45 ? 41 ? 86 (千米/时), 甲 车行的时间: 688 ? 86 ? 8 (小时).

【巩固】 甲、乙两列火车从相距 144 千米的两地相向而行,甲车每小时行 28 千米,乙车每小时行 22 千米, 乙车先出发 2 小时后,甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇? 【解析】 甲、乙两车出发时间有先有后,乙车先出发 2 小时,这段时间甲车没有行驶,那么乙车这 2 小时 所行的路程不是甲、 乙两车同时相对而行的路程, 所以要先求出甲、 乙两车同时相对而行的路程, 再除以速度和,才是甲、乙两车同时相对而行的时间.乙车先行驶路程: 22 ? 2 ? 44 (千米),甲、 乙两车同时相对而行路: 144 ? 44 ? 100 (千米),甲、乙两车速度和: 28 ? 22 ? 50 (千米),与乙车 相遇时甲车行的时间为: 100 ? 50 ? 2 (小时). 【巩固】 妈妈从家出发到学校去接小红,妈妈每分钟走 75 米.妈妈走了 3 分钟后,小红从学校出发,小 红每分钟走 60 米.再经过 20 分钟妈妈和小红相遇.从小红家到学校有多少米? 【解析】 妈妈先走了 3 分钟,就是先走了 75 ? 3 ? 225 (米) . 20 分钟后妈妈和小红相遇,也就是说妈妈和 小红共同走了 20 分钟,这一段的路程为: (75 ? 60) ? 20 ? 2700 (米) ,这样妈妈先走的那一段路 程,加上后来妈妈和小红走的这一段路程,就是小红家到学校的距离.即 (75 ? 3) ? (75 ? 60) ? 20 ? 2925 (米) . 【巩固】 甲乙两座城市相距 530 千米,货车和客车从两城同时出发,相向而行.货车每小时行 50 千米, 客车每小时行 70 千米.客车在行驶中因故耽误 1 小时,然后继续向前行驶与货车相遇.问相遇 时客车、货车各行驶多少千米? 【解析】 因为客车在行驶中耽误 1 小时,而货车没有停止继续前行,也就是说,货车比客车多走 1 小时.如 果从总路程中把货车单独行驶 1 小时的路程减去, 然后根据余下的就是客车和货车共同走过的. 再 求出货车和客车每小时所走的速度和,就可以求出相遇时间.然后根据路程=速度× 时间,可以 (530 ? 50) ? (50 ? 70) ? 480 ? 120 ? 4 分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程. 相遇时间: (小 时)相遇时客车行驶的路程: 70 ? 4 ? 280 (千米)相遇时货车行驶的路程:50 ? (4 ? 1) ? 250 (千米) .

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【巩固】 甲、乙两列火车从相距 366 千米的两个城市对面开来,甲列火车每小时行 37 千米,乙列火车每 小时行 36 千米,甲列火车先开出 2 小时后,乙列火车才开出,问乙列火车行几小时后与甲列火 车相遇? (366 ? 37 ? 2)( ? 37 ? 36) ? 4 (小时). 【解析】

【例 5】 甲、乙两辆汽车分别从 A 、 B 两地出发相向而行,甲车先行 3 小时后乙车从 B 地出发,乙车出 发 5 小时后两车还相距 15 千米.甲车每小时行 48 千米,乙车每小时行 50 千米.求 A 、 B 两地 间相距多少千米? 【解析】 题目中写的“还”相距 15 千米指的就是最简单的情况。画线段图如下:

由图中可以看出,甲行驶了 3 ? 5 ? 8 (小时),行驶距离为: 48 ? 8 ? 384 (千米);乙行驶了 5 小时, 行驶距离为:50 ? 5 ? 250 (千米), 此时两车还相距 15 千米, 所以 A 、B 两地间相距:384 ? 250 ? 15 ? 649 (千米) (48 ? 50) ? 5 ? 490 (千米), A 、 B 两地间相距: 490 ? 48 ? 3 也可以这样做:两车 5 小时一共行驶: ?15 ? 649 (千米),所以, A 、 B 两地间相距 649 千米.

【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从 A 、 B 两地同时相向开出,出发后 2 小时,两车相距 141 千米;出发后 5 小时,两车相遇. A 、 B 两地相距多少千米? 【解析】 公式“相遇时间 ? 路程和 ? 速度和”中,对于速度不变的两车,“相遇时间”与“路程和”是一一对应 的.如图所示
A
5小时

相遇

5小时 2小时

B

2小时 141千米

5 小时的相遇时间与 A 、 B 两地的距离相对应,( 5 ? 2 )小时的相遇时间与 141 千米相对应.两车的 (5 ? 2) ? 47 (千米/时). A 、 B 两地相距: 47 ? 5 ? 235 (千米) 速度之和是: 141 ?

【例 6】 两列城铁从两城同时相对开出,一列城铁每小时走 40 千米,另一列城铁每小时走 45 千米,在 途中每列车先后各停车 4 次,每次停车 15 分钟,经过 7 小时两车相遇,求两城的距离? 【解析】 每列车停车时间:15 ? 4 ? 60 (分)=1 (小时) ,两列车停车时间共 2 小时,共同行驶时间: 7 ? 1 ? 6 小 时,速度和: 40 ? 45 ? 85 (千米) ,两城距离: 85 ? 6 ? 510 (千米) .

【巩固】 两列城铁从两城同时相对开出,一列城铁每小时走 40 千米,另一列城铁每小时走 45 千米,在途 中每列车先后各停车 5 次,每次停车 12 分钟,经过 7 小时两车相遇,求两城的距离? 12 ? 5 ? 60(分) 【解析】 每列车停车时间: = 1(小时) , 两列车停车时间共 2 小时, 共同行驶时间:7 ? 1 ? 6 40 ? 45 ? 85 85 ? 6 ? 510 小时,速度和: (千米) ,两城距离: (千米) .

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【例 7】 甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行 300 千米,乙机每小时 行 340 千米,飞行 4 小时后它们相隔多少千米?这时候甲机提高速度用 2 小时追上乙机,甲机每 小时要飞行多少千米? 【解析】 ①4 小时后相差多少千米: (340 ? 300) ? 4 ? 160 (千米) .② 甲机提高速度后每小时飞行多少千米:
160 ? 2 ? 340 ? 420 (千米) .

【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地 s 城的方向各执一词, 于是两人都按照自己的想法驾车同 时分别往南和往北驶去,二人的速度分别为 50 千米/时,60 千米/时,那么北辙先生出发 5 小时 他们相距多少千米?. 【解析】 两人虽然不是相对而行,但是仍合力完成了路程, (50+60)× 5=550(千米) .

【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地 S 城的方向各执一词,于是两人都按照自己的想法驾车 同时分别往南和往北驶去,二人的速度分别为 50 千米/时, 60 千米/时,那么北辙先生出发 3 小 时他们相距多少千米? 【解析】 两人虽然不是相对而行,但是仍合力完成了路程, (50 ? 60) ? 3 ? 330 (千米) .

【巩固】 两列火车从相距 80 千米的两城背向而行, 甲列车每小时行 40 千米, 乙列车每小时行 42 千米, 5 小时后,甲、乙两车相距多少千米? 【解析】 因为是背向而行,所以每过 1 小时,两车就多相距 40 ? 42 ? 82 ( 千米 ),则 5 小时后两车相距是: (40 ? 42) ? 5 ? 80 ? 490 (千米) . 【巩固】 两列火车从相距 40 千米的两城背向而行, 甲列车每小时行 35 千米, 乙列车每小时行 40 千米, 5 小时后,甲、乙两车相距多少千米? 【解析】 因为是背向而行,所以两车 5 小时后的距离是: (35 ? 40) ? 5 ? 40 ? 415 (千米) 。 【例 8】 两地相距 900 米, 甲、 乙二人同时、 同地向同一方向行走, 甲每分钟走 80 米, 乙每分钟走 100 米, 当乙到达目标后,立即返回,与甲相遇,从出发到相遇共经过多少分钟? 【解析】 甲、乙二人开始是同向行走,乙走得快,先到达目标.当乙返回时运动的方向变成了同时相对而 行,把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加,就是共同经过的时 乙到达目 标时所用时间: 900 ? 100 ? 9 ( 分钟 ) ,甲 9 分钟走的路程: 80 ? 9 ? 720 ( 米 ) ,甲距目标还有: 900 ? 720 ? 180 (米),相遇时间: 180 ? (100 ? 80) ? 1 (分钟),共用时间: 9 ? 1 ? 10 (分钟). 【巩固】 八戒和悟空两家相距 255 千米,两人同时骑车,从家出发相对而行,悟空每小时行 45 千米,八 戒每小时行 40 千米.两人相遇时,悟空和八戒各行了多少千米? 【解析】 要求他们各行了多少千米,那么就必须知道他们行驶的时间: 255 ? (45 ? 40) ? 3 (小时) .悟空:
45 ? 3 ? 135 (千米) ,八戒: 40 ? 3 ? 120 (千米) .

【例 9】 两地相距 3300 米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行 82 米,乙每分钟行 83 米,已 经行了 15 分钟,还要行多少分钟两人可以相遇? 【解析】 根据题意列综合算式得到: 3300 ? ?82 ? 83? ?15 ? 5 (分钟) ,所以两个人还需要 5 分钟相遇。

【巩固】 两地相距 400 千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行 40 千米,乙车每小时比甲车
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多行 5 千米,4 小时后两车相遇了吗?为什么? ( 40 ? 45 ) ? 4 ? 340 (千米),340 千米<400 千米,因为两车 4 小时共行 340 千米, 【解析】 40 ? 5 ? 45 (千米), 所以 4 小时后两车没有相遇.

【例 10】 孙悟空在花果山,猪八戒在高老庄,花果山和高老庄中间有条流沙河,一天,他们约好在流沙 河见面,孙悟空的速度是 200 千米/小时.猪八戒的速度是 150 千米/小时,他们同时出发 2 小时后还相距 500 千米,则花果山和高老庄之间的距离是多少千米? 【解析】 注意:“还相距”与“相距”的区别.建议教师画线段图.可以先求出 2 小时孙悟空和猪八戒走的路 200? 150 ) ? 2? 700 ( 千米 ) ,又因为还差 500 米,所以花果山和高老庄之间的距离: 程:(
700 ? 500? 1200 (千米).

【巩固】 两列货车从相距 450 千米的两个城市相向开出,甲货车每小时行 38 千米,乙货车每小时行 40 千米,同时行驶 4 小时后,还相差多少千米没有相遇? 【解析】 所求问题=全程- 4 小时行驶的路程和.路程和: 38 ? 4 ? 40 ? 4 ? 312 (千米) , 450 ? 312 ? 138 (千米) . 【例 11】 (2008 年第六届希望杯一试)甲乙两人分别以每小时 6 千米, 每小时 4 千米的速度从相距 30 千米 的两地向对方的出发地前进.当两人之间的距离是 l 0 千米时,他们走了___________小时. 【解析】 有 两 种 情 况 , 一 种 是 甲 乙 两 人 一 共 走 了 3 0 ? 1 0? 2 0 (千米),一种是甲乙两人一共走了 3 0? 1 0 ? 4( 0 ( 30 ? 10 )( ? 6?4 ) ? 2 (小时)或 ( 30 ? 10 )( ? 6?4 ) ? 4 (小时) 千米),所以有两种答案:

【巩固】 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 450 千米的两地相向而行,公共汽车每小时行 40 千米, 小轿车每小时行 50 千米,问几小时后两车相距 90 千米? 【解析】 两车在相距 450 千米的两地相向而行,距离逐渐缩短,在相遇前某一时刻两车相距 90 千米,这时 两车共行的路程应为( 450 ? 90 )千米.即 (450 ? 90) ? (40 ? 50) ? 4 (小时).需要注意的是当两车 相遇后继续行驶时,两车之间的距离又从零逐渐增大,到某一时刻,两车再一次相距 90 千米.这 时两车共行的路程为 450 ? 90 千米,即 (450 ? 90) ? (40 ? 50) ? 6 (小时).

【巩固】 两列火车从相距 480 千米的两城相向而行,甲列车每小时行 40 千米,乙列车每小时行 42 千 米, 5 小时后,甲、乙两车还相距多少千米? 【解析】 两 车 的 相 距 路 程 减 去 5 小 时 两 车 共 行 的 路 程 , 就 得 到 了 两 车 还 相 距 的 路 程 : 480 ? (40 ? 42) ? 5 ? 480 ? 410 ? 70 (千米) .

【例 12】 甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行.出发 2 小时后,两人相距 54 千米;出发 5 小 时后,两人还相距 27 千米.问出发多少小时后两人相遇? 【解析】 根据 2 小时后相距 54 千米, 5 小时后相距 27 千米,可以求出甲、乙二人 3 小时行的路程和为 (54 ? 27) 千米,即可求出两人的速度和: (54 ? 27) ? (5 ? 2) ? 9 (千米) ,根据相遇问题的解题规 律;相隔距离÷ 速度和=相遇时间,可以求出行 27 千米需要: 5 ? 27 ? 9 ? 5 ? 3 ? 8 (小时) .

【例 13】 甲、乙两地相距 240 千米,一列慢车从甲地出发,每小时行 60 千米.同时一列快车从乙地出 发,每小时行 90 千米.两车同向行驶,快车在慢车后面,经过多少小时快车可以追上慢车?
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(火车长度忽略不计) 【解析】 追及路程即为两地距离 240 千米,速度差 90 ? 60 ? 30 (千米) ,所以追及时间 240 ? 30 ? 8 (小 时)

【巩固】 下午放学时,弟弟以每分钟 40 米的速度步行回家.5 分钟后,哥哥以每分钟 60 米的速度也从学 校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?(假定从学校到家有足够远,即哥哥追 上弟弟时,仍没有回到家). 【解析】 若经过 5 分钟,弟弟已到了 A 地,此时弟弟已走了 40× 5=200(米) ;哥哥每分钟比弟弟多走 20 米,几分钟可以追上这 200 米呢?40× 5÷ (60-40)=200÷ 20=10(分钟) ,哥哥 10 分钟可以追上弟 弟. 【巩固】 甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶 10 千米后乙才开始出发,甲每小时行驶 15 千米,乙每 小时行驶 10 千米,问:乙经过多长时间能追上甲? 【解析】 出发时甲、乙二人相距 10 千米,以后两人的距离每小时都缩短 15-10=5(千米) ,即两人的速度 的差(简称速度差) ,所以 10 千米里有几个 5 千米就是几小时能追上.10÷ (15-10)=10÷ 5=2(小 时) ,还需要 2 个小时。 【巩固】 解放军某部先遣队,从营地出发,以每小时 6 千米的速度向某地前进,12 小时后,部队有急事, 派通讯员骑摩托车以每小时 78 千米的速度前去联络,问多少时间后,通讯员能赶上先遣队? 【解析】 ? 6 ?12? ? ? 78 ? 6? ? 1 (小时).

【巩固】 甲地和乙地相距 40 千米,平平和兵兵由甲地骑车去乙地,平平每小时行 14 千米,兵兵每小时行 17 千米,当平平走了 6 千米后,兵兵才出发,当兵兵追上平平时,距乙地还有多少千米? 【解析】 平平走了 6 千米后,兵兵才出发,这 6 千米就是平平和兵兵相距的路程.由于兵兵每小时比平平 多走 17 ? 14 ? 3 (千米),要求兵兵几小时可以追上 6 千米,也就是求 6 千米里包含着几个 3 千米, 用 6 ? 3 ? 2 (小时). 因为甲地和乙地相距 40 千米, 兵兵每小时行 17 千米,2 小时走了 17 ? 2 ? 34 (千 米),所以兵兵追上平平时,距乙地还有 40 ? 34 ? 6 (千米) 【例 14】 小明步行上学,每分钟行 70 米.离家 12 分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家中,爸爸带着 明具盒,立即骑自行车以每分钟 280 米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明?当爸 爸追上小明时他们离家多远? 【解析】

当爸爸开始追小明时,小明已经离家: 70 ? 12 ? 840 (米),即爸爸要追及的路程为 840 米,也就是 爸爸与小明的距离是 840 米,我们把这个距离叫做“路程差”,爸爸出发后,两人同时走,每过 1 分, 他们之间的距离就缩短 280 ? 70 ? 210 (米), 也就是爸爸与小明的速度差为 280 ? 70 ? 210 (米 /分),爸爸追及的时间:840 ? 210 ? 4 (分钟).当爸爸追上小明时,小明已经出发 12 ? 4 ? 16 (分钟), 此时离家的距离是: 70 ? 16 ? 1120 (米)

【巩固】 哥哥和弟弟在同一所学校读书.哥哥每分钟走 65 米,弟弟每分钟走 40 米,有一天弟弟先走 5 分钟后,哥哥才从家出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校 有多远?
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【解析】 哥哥出发的时候弟弟走了: 40 ? 5 ? 200(米) ,哥哥追弟弟的追及时间为: 200 ? (65 ? 40) ? 8 (分 钟) ,所以家离学校的距离为: 8 ? 65 ? 520 (米).

【巩固】 小明以每分钟 50 米的速度从学校步行回家,12 分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果 在距学校 1000 米处追上小明,求小强骑自行车的速度. 【解析】 小强出发的时候小明走了 50 ? 12 ? 600(米) , 被小强追上时小明又走了:(1000 ? 600) ? 50 ? 8(分 钟) ,说明小强 8 分钟走了 1000 米,所以小强的速度为: 1000 ? 8 ? 125 (米/分钟). 【巩固】 小聪和小明从学校到相距 2400 米的电影院去看电影. 小聪每分钟行 60 米, 他出发后 10 分钟小明 才出发,结果俩人同时到达影院,小明每分钟行多少米? 【解析】 要求小明每分钟走多少米,就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间;要求小明所用的 时间,就要先求小聪所用的时间,小聪所用的时间是:2400 ? 60 ? 40 (分钟),小明所用的时间是: 40 ? 10 ? 30 (分钟),小明每分钟走的米数是: 2400 ? 30 ? 80 (米).

【巩固】 一辆慢车从甲地开往乙地,每小时行 40 千米,开出 5 小时后,一辆快车以每小时 90 千米的速度 也从甲地开往乙地.在甲乙两地的中点处快车追上慢车,甲乙两地相距多少千米? 【解析】 慢车先行的路程是: 40 ? 5 ? 200 (千米),快车每小时追上慢车的千米数是: 90 ? 40 ? 50 (千米), 追及的时间是: 200 ? 50 ? 4 (小时),快车行至中点所行的路程是: 90 ? 4 ? 360 (千米),甲乙两地 间的路程是: 360 ? 2 ? 720 (千米).

【巩固】 六年级同学从学校出发到公园春游,每分钟走 72 米,15 分钟以后,学校有急事要通知学生,派 李老师骑自行车从学校出发 9 分钟追上同学们,李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学 们? 【解析】 同学们 15 分钟走 72 ? 15 ? 1080 (米) ,即路程差.然后根据速度差=路程差÷ 追及时间,可以求出 李老师和同学们的速度差,又知道同学们的速度是每分钟 72 米,就可以得出李老师的速度.即 1080 ? 9 ? 72 ? 192 (米) . 【例 15】 小强每分钟走 70 米,小季每分钟走 60 米,两人同时从同一地点背向走了 3 分钟,小强掉头去追 小季,追上小季时小强共走了多少米? 【解析】 小强走的时间是两部分,一部分是和小季背向走的时间,另一部分是小季追他的时间,要求追及 时间,就要求出他们的路程差.路程差是两人相背运动的总路程: (60 ? 70) ? 3 ? 390 (米)追及时
(70 ? 60) ? 39 (分钟)小强走的总路程为: 70 ? (39 ? 3) ? 2940 (米) 间为: 390 ?

【例 16】 王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走 110 米,李华每分钟走 70 米, 出发 5 分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了 2 分钟,然后追赶李华.求多少分钟 后追上李华? 【解析】 已知二人出发 5 分钟后,王芳返回学校取运动服,这样用去了 5 分钟,在学校又耽误了 2 分钟, 王芳一共耽误了 5 ? 2 ? 2 ? 12 (分钟).李华在这段时间比王芳多走: 70 ? 12 ? 840 (米),速度差为: 110 ? 70 ? 40 (米/秒),王芳追上李华的时间是: 840 ? 40 ? 21 (分钟)

【巩固】 小王、小李共同整理报纸,小王每分钟整理 72 份,小李每分钟整理 60 份,小王迟到了 1 分钟, 当小王、小李整理同样多份的报纸时,正好完成了这批任务.一共有多少份报纸? 【解析】 本题可用追及问题思路解题,类比如下:路程差:小王迟到 1 分钟这段时间,小李整理报纸的份 数( 60 份) ,速度差: 72 ? 60 ? 12 (份/分钟) .此时可求两人整理同样多份报纸时,小王所用时
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间,即追及时间是 60 ? 12 ? 5 (分钟) .共整理报纸: 5 ? 72 ? 2 ? 720 (份)

【巩固】 甲、乙两车同时从 A 地向 B 地开出,甲每小时行 38 千米,乙每小时行 34 千米,开出 1 小时后, 甲车因有紧急任务返回 A 地;到达 A 地后又立即向 B 地开出追乙车,当甲车追上乙车时,两车 正好都到达 B 地,求 A 、 B 两地的路程. 【解析】 根据题意画出线段图:

从图中可以看出,当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的 2 小时的路程,那么 根据追及路程和速度差可以求出追及时间,而追及时间正好是甲车从 A 地到 B 地所用的时间,由 (38 ? 34) ? 17 (小 此可以求出 A 、 B 两地的路程,追及路程为: 34 ? 2 ? 68 (千米),追及时间为: 68 ? 时), A 、 B 两地的路程为: 38 ? 17 ? 646 (千米). 【巩固】 小李骑自行车每小时行 13 千米,小王骑自行车每小时行 15 千米.小李出发后 2 小时,小王在小 李的出发地点前面 6 千米处出发,小李几小时可以追上小王? 【解析】 小李 2 小时走: 13 ? 2 ? 26 (千米) ,又知小王在小李的出发地点前面 6 千米处出发,则知道两人 的路程差是 26 ? 6 ? 20 (千米) .每小时小王追上小李 15 ? 13 ? 2 (千米) ,则 20 千米里面有几 个 2 千米,则追及时间就是几小时,即: 20 ? 2 ? 10 (小时) .

【例 17】 甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发去 B 地,甲车每小时行 50 千米,乙车每小时行 40 千米.途中 甲车出故障停车修理了 3 小时,结果甲车比乙车迟到 1 小时到达 B 地. A 、 B 两地间的路程是多 少? 【解析】 由于甲车在途中停车 3 小时,比乙车迟到 1 小时,说明行这段路程甲车比乙车少用 2 小时.可理解 成甲车在途中停车 2 小时,两车同时到达,也就是乙车比甲车先行 2 小时,两车同时到达 B 地, 3 ? 1 ? 2 (小 所以, 也可以用追及问题的数量关系来解答. 即: 行这段路程甲车比乙车少用的时间是: 时), 乙车 2 小时行的路程是:40 ? 2 ? 80 (千米), 甲车每小时比乙车多行的路程是:50 ? 40 ? 10 (千 米),甲车所需的时间是: 80 ? 10 ? 8 (小时), A 、 B 两地间的路程是: 50 ? 8 ? 400 (千米).

【例 18】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地出发,同向而行,乙车在前,甲车在后.已知甲车比乙车提前出 发 1 小时,甲车的速度是 96 千米/小时,乙车每小时行 80 千米.甲车出发 5 小时后追上乙车,求 A 、 B 两地间的距离. 【解析】 由已知可求出甲、乙两车的追及时间,利用追及问题的公式求解.追及时间为: 5 ? 1 ? 4 (小时), (96 ? 80) ? 4 ? 64 (千米), A 、 B 两地间的距离为: 96 ? 1 ? 64 ? 160 (千米) 追及路程为:

【巩固】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、 乙两地出发, 向同一个方向前进, 摩托车在前, 每小时行 28 千 米,汽车在后,每小时行 65 千米,经过 4 小时汽车追上摩托车,甲乙两地相距多少千米? 【解析】 方法一:根据题意,画出线段示意图:
汽车( 65千米 /小时) 摩托车( 28千米 /小时) 甲地 乙地 追及地点

从图中可知,甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差.先求出汽车追上摩托车时,
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两车分别行驶的路程,再求出两地的路程,即 65 ? 4 ? 28 ? 4 ? 260 ? 112 ? 148 (千米)方法二:先求 出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差),再求出两地相距的路程,即: (65 ? 28) ? 4 ? 37 ? 4 ? 148 (千米)

【例 19】 小明的家住学校的南边,小芳的家在学校的北边,两家之间的路程是 1410 米,每天上学时,如 果小明比小芳提前 3 分钟出发,两人可以同时到校.已知小明的速度是 70 米/分钟,小芳的速 度是 80 米/分钟,求小明家距离学校有多远? 【解析】 小明比小芳提前 3 分钟出发, 则多走 70 ? 3 ? 210 (米) . 两家之间的所剩路程是1410 ? 210 ? 1200(米) , 两人的速度和是 70 ? 80 ? 150 (米) ,所剩路程需:1200 ? (70 ? 80) ? 8 (分钟)走完.小明家距离 学校 70 ? (8 ? 3) ? 770 (米) .

【巩固】 学校和部队驻地相距 16 千米,小宇和小宙由学校骑车去部队驻地,小宇每小时行 12 千米,小宙 每小时行 15 千米.当小宇走了 3 千米后,小宙才出发.当小宙追上小宇时,距部队驻地还有多 少千米? ( 15 ? 12) ? 1 (小时),此时距部队驻地还有: 16 ? 15 ? 1 ? 1 (千米). 【解析】 追及时间为: 3 ?

【例 20】 甲、乙两列火车同时从 A 地开往 B 地,甲车 8 小时可以到达,乙车每小时比甲车多行 20 千米, 比甲车提前 2 小时到达.求 A 、 B 两地间的距离. 【解析】 这道题的路程差比较隐蔽,需要仔细分析题意,乙到达时,甲车离终点还有两小时的路程,因此 路程差是甲车两小时的路程. 方法一:如图:

甲车 8 小时可以到达,乙车比甲车提前 2 小时到达,因此,乙车到达时用了: 8 ? 2 ? 6 (小时),此 时路程差为: 20 ? 6 ? 120 ( 千米 ) ,此时路程差就是甲车 2 小时的路程,所以甲车速度为: 120 ? 2 ? 60 (千米/小时), A 、 B 两地间的距离: 60 ? 8 ? 480 (千米) 方法二:如图:

假设两车都行了 8 小时,则甲车刚好到达,乙车则超出了: 20 ? 8 ? 160 (千米),这段路程正好是 乙车 2 小时走的, 因此乙车速度:160 ? 2 ? 80 (千米/小时), 乙车到达时用了:8 ? 2 ? 6 (小时), A 、 B 两地间的距离: 80 ? 6 ? 480 (千米)

【例 21】 龟、兔进行 1000 米的赛跑.小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想:“我小兔每分钟能跑 100 米,而你乌龟 每分钟只能跑 10 米,哪是我的对手.”比赛开始后,当小兔跑到全程的一半时,发现把乌龟甩 得老远, 便毫不介意地躺在旁边睡着了. 当乌龟跑到距终点还有 40 米时, 小兔醒了, 拔腿就跑. 请 同学们解答两个问题: 它们谁胜利了?为什么?

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【解析】 ⑴ 乌龟胜利了.因为兔子醒来时,乌龟离终点只有 40 米,乌龟需要 40 ? 10 ? 4 (分钟)就能到达终 点,而兔子离终点还有 500 米,需要 500 ? 100 ? 5 (分钟)才能到达,所以乌龟胜利了. ⑵ 乌龟跑到终点还要 40 ? 10 ? 4 (分钟),而小兔跑到终点还要 1000 ? 2 ? 100 ? 5 (分钟),慢 1 分 钟.当胜利者乌龟跑到终点时,小兔离终点还有: 100 ? 1 ? 100 (米).

【巩固】 上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气,于是向乌龟再次下战书,比赛之前,为了表示它的大度, 它让乌龟先跑 10 分钟,但是兔子不知道乌龟经过锻炼,速度已经提高到 5 倍,那么这一次谁将 获得胜利呢? 【解析】 由乌龟速度提高到 5 倍,可知乌龟现在的速度为 10 ? 5 ? 50 (米/分),乌龟先跑 10 分钟,即兔子开 始跑时,乌龟已经跑了 50 ? 10 ? 500 (米),还剩 1000 ? 500 ? 500 (米),需要 500 ? 50 ? 10 (分钟)就可 以到达终点,而兔子到达终点需要的时间是:1000 ? 100 ? 10 (分钟),所以,兔子和乌龟同时到达 终点.

【例 22】 军事演习中,“我”海军英雄舰追及“敌”军舰,追到 A 岛时,“敌”舰已在 10 分钟前逃离,“敌” 舰每分钟行驶 1000 米,“我”海军英雄舰每分钟行驶 1470 米,在距离“敌”舰 600 米处可开炮射 击,问“我”海军英雄舰从 A 岛出发经过多少分钟可射击敌舰? 【解析】 “我”舰追到 A 岛时, “敌”舰已逃离 10 分钟了, 因此, 在 A 岛时, “我”舰与“敌”舰的距离为 10000 米 (=1000× 10) .又因为“我”舰在距离“敌”舰 600 米处即可开炮射击, 即“我”舰只要追上“敌”舰 9400 (=10000 米-600 米)即可开炮射击.所以,在这个问题中,不妨把 9400 当作路程差,根据公式求 得追及时间 .(1000× 10-600) ÷ ( 1470-1000)=(10000-600) ÷ 470=9400÷ 470=20(分钟) ,经过 20 分钟可开炮射击“敌”舰.

【巩固】 (第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上,前面一辆汽车以 90 千米/小时的速度行 驶,后面一辆汽车以 108 千米 /小时的速度行驶.后面的汽车刹车突然失控,向前冲去 (车速不 变).在它鸣笛示警后 5 秒钟撞上了前面的汽车.在这辆车鸣笛时两车相距多少米? 【解析】 这是一道“追及问题”.根据追及问题的公式,追及时间 ? 路程差 ? 时间差.由题意知,追及时间 (60 ? 60) 为 5 秒钟,也就是 5 ? 小时,两车相距距离为路程差,速度差为 108 ? 90 ? 18 (千米/时), 18 ? 1000 (60 ? 60) ? 90000 ? 3600 ? 25 (米),所以,在 也就是 米/时,所以路程差为: 18 ? 1000 ? 5 ? 这辆车鸣笛时两车相距 25 米.

【例 23】 甲车每小时行 40 千米,乙车每小时行 60 千米。两车分别从 A,B 两地同时出发,相向而行, 相遇后 3 时,甲车到达 B 地。求 A,B 两地的距离。 【解析】 相遇后甲行驶了 40× 3=120 千米,即相遇前乙行驶了 120 千米,说明甲乙二人的相遇时间是 120÷ 60=2 小时,则两地相距(40+60)× 2=200 千米.

【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙二人同时从 A 地去 B 地,甲每分钟行 60 米,乙每分钟行 90 米, 乙到达 B 地后立即返回,并与甲相遇,相遇时,甲还需行 3 分钟才能到达 B 地, A 、 B 两地相
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距多少米? 【解析】 相遇时甲走了 AB 距离减去 60 ? 3 ? 180 (米),乙走了 AB 距离加上 180 米,乙比甲多走了 360 米, (90 ? 60) (90 ? 60) ? 12 ( 分钟 ) 才能达到,这 12 分钟两人一共行走了 12 ? 这个路程差需要 360 ? ? 1800 米.所以 AB 距离为 1800 ? 2 ? 900 米.

【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙二人同时从 A 地去 B 地,甲每分钟行 60 米,乙每分钟行 90 米, 乙到达 B 地后立即返回,并与甲相遇,相遇时,甲还需行 3 分钟才能到达 B 地, A 、 B 两地相 距多少米? 【解析】 相遇时甲走了 AB 距离减去 60 ? 3 ? 180 (米),乙走了 AB 距离加上 180 米,乙比甲多走了 360 米, (90 ? 60) (90 ? 60) ? 12 ( 分钟 ) 才能达到,这 12 分钟两人一共行走了 12 ? 这个路程差需要 360 ? ? 1800 米.所以 AB 距离为 1800 ? 2 ? 900 (米).

【例 24】 甲乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出,4 小时后两车相遇,然后各自继续行驶 3 小时,此时 甲车距 B 地 10 千米,乙车距 A 地 80 千米.问:甲车到达 B 地时,乙车还要经过多少时间才能 到达 A 地? 【解析】 由 4 时两车相遇知,4 时两车共行 A,B 间的一个单程.相遇后又行 3 时,剩下的路程之和 10+ 80=90(千米)应是两车共行 4-3=1(时)的路程.所以 A,B 两地的距离是(10+80)÷ (4 -3)× 4=360(千米) 。因为 7 时甲车比乙车共多行 80-10=70(千米) ,所以甲车每时比乙车多 行 70÷ 7=10 (千米) , 又因为两车每时共行 90 千米, 所以每时甲车行 50 千米, 乙车行 40 千米. 行 一个单程,乙车比甲车多用 360÷ 40-360÷ 50=9-7.2=1.8(时)=1 时 48 分.

【例 25】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走 52 米,小强每分钟走 70 米,二人在途中 的 A 处相遇。若小红提前 4 分钟出发,但速度不变,小强每分钟走 90 米,则两人仍在 A 处相 遇。小红和小强的家相距多远? 【解析】 因为小红的速度不变,相遇地点不变,所以小红两次走的时间相同,推知小强第二次比第一次少 走 4 分。由(70× 4)÷ (90-70)=14(分) ,推知小强第二次走了 14 分,第一次走了 18 分,两人 的家相距(52+70)× 18=2196(米) .

【巩固】 小明每天早晨按时从家出发上学,李大爷每天早晨也定时出门散步,两人相向而行,小明每分 钟行 60 米,李大爷每分钟行 40 米,他们每天都在同一时刻相遇.有一天小明提前出门,因此比 平时早 9 分钟与李大爷相遇,这天小明比平时提前多少分钟出门? 【解析】 因为提前 9 分钟相遇,说明李大爷出门时,小明已经比平时多走了两人 9 分钟合走的路,即多走 了 (60 ? 40) ? 9 ? 900 (米) ,所以小明比平时早出门 900 ? 60 ? 15 (分) . 【例 26】 小红和小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑 20 米,则小红跑 5 秒钟就可追上小蓝;若小红让小蓝 先跑 4 秒钟,则小红跑 6 秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少? 【解析】 小红让小蓝先跑 20 米,则 20 米就是小红、小蓝二人的路程差,小红跑 5 秒钟追上小蓝,5 秒就 是追及时间,据此可求出他们的速度差为 20 ? 5 ? 4 (米/秒);若小红让小蓝先跑 4 秒,则小红 6 秒可追上小蓝,在这个过程中,追及时间为 6 秒,根据上一个条件,由追及差和追及时间可求出 在这个过程中的路程差,这个路程差即是小蓝 4 秒钟所行的路程,路程差就等于 4 ? 6 ? 24 (米), 也即小蓝在 4 秒内跑了 24 米,所以可求出小蓝的速度,也可求出小红的速度.综合列式计算如 下:小蓝的速度为: 20 ? 5 ? 6 ? 4 ? 6 (米/秒),小红的速度为: 6 ? 4 ? 10 (米/秒)

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【巩固】 甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑 10 米,则甲跑 5 秒钟可追上乙;若甲让乙先跑 2 秒钟,则 甲跑 4 秒钟就能追上乙.问:甲、乙二人的速度各是多少? 【解析】 若甲让乙先跑 10 米,则 10 米就是甲、乙二人的路程差,5 秒就是追及时间,据此可求出他们的 速度差为 10 ? 5 ? 2 (米/秒);若甲让乙先跑 2 秒,则甲跑 4 秒可追上乙,在这个过程中,追及时间 为 4 秒,因此路程差就等于 2 ? 4 ? 8 (米),也即乙在 2 秒内跑了 8 米,所以可求出乙的速度,也可 求出甲的速度.综合列式计算如下:乙的速度为: 10 ? 5 ? 4 ? 2 ? 4 ( 米 / 秒 ) ,甲的速度为: 10 ? 5 ? 4 ? 6 (米/秒)

【巩固】 甲、乙二人沿着同一条 100 米的跑道赛跑,甲由起跑线上起跑,乙在甲后 8 米处起跑,当甲离终 点还有 12 米时,乙追上甲,那么当乙跑到终点时,甲离终点还有多少米? 【解析】 甲、乙两人的运动时间相同,所以,甲的路程 ? 甲的速度 ? 乙的路程 ? 乙的速度,而甲、乙的速 度都不变,所以,乙的路程变为原来的几倍,甲的路程也变为原来的几倍
乙 8 起点 100米 甲 12

终点

由图可知,甲跑 100 ? 12 ? 88 (米),乙跑 88 ? 8 ? 96 (米),所以当乙跑 8 ? 100 ? 108 (米)时,甲跑: 108 ? 96 ? 88 ? 99 (米),即当乙跑到终点时,甲离终点还有 100 ? 99 ? 1 (米)

【例 27】 刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访,以 10 千米/时的速度行进,下午 1 点到;以 15 千米/时的 速度行进,上午 11 点到.如果希望中午 12 点到,那么应以怎样的速度行进? 【解析】 这道题没有出发时间,没有学校到韩丁家的距离,也就是说既没有时间又没有路程,似乎无法求 速度.这就需要通过已知条件,求出时间和路程.假设有 A,B 两人同时从学校出发到韩丁家,A 每小时行 10 千米,下午 1 点到;B 每小时行 15 千米,上午 11 点到.B 到韩丁家时,A 距韩丁家 还有 10× 2=20(千米) ,这 20 千米是 B 从学校到韩丁家这段时间 B 比 A 多行的路程.因为 B 比 A 每小时多行 15-10=5(千米) ,所以 B 从学校到韩丁家所用的时间是 20÷ (15-10)=4(时).由此 知,A,B 是上午 7 点出发的,学校离韩丁家的距离是 15× 4=60(千米).刘老师要想中午 12 点到, 即想(12-7=)5 时行 60 千米,刘老师骑车的速度应为 60÷ (12-7)=12(千米/时) .

【巩固】 王新从教室去图书馆还书,如果每分钟走 70 米,能在图书馆闭馆前 2 分钟到达,如果每分钟走 50 米,就要超过闭馆时间 2 分钟,求教室到图书馆的路程有多远? 【解析】 设从教室去图书馆闭馆时所用时间是 x 分钟

70 (x ? 2) ? 50 (x ? 2) 70 x ? 140 ? 50 x ? 100 70 x ? 50 x ? 100 ? 140 x ? 12
70 ? ( 12 ? 2) ? 700 (米)

答:教室到图书馆的路程有 700 米.

【例 28】 (2008 年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛) 甲、 乙二人分别从山顶和山脚同时出发,沿同一山道行进。两人的上山速度都是 20 米/分,下山的速
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度都是 30 米/分。甲到达山脚立即返回,乙到达山顶休息 30 分钟后返回,两人在距山顶 480 米 处再次相遇。山道长 米。 【解析】 甲、乙两人相遇后如果甲继续行走 480 ? 20 ? 24 (分钟)后可以返回山顶,如果乙不休息,那么 这个时候乙应该到达山脚,所以这个时候乙还需要 30 分钟到达山脚,也就是距离山脚还有 30 ? 30 ? 900 (米) (20 ? 30) ? 900 ? 1200 ? 2100 (米) ,所以山顶到山脚的距离为 900 ? 24 ? 。

【巩固】 (北京市 2006 年迎春杯试题)小张和小王早晨 8 点整同时从甲地出发去乙地,小张开车,速度是每 小时 60 千米. 小王步行, 速度为每小时 4 千米. 如果小张到达乙地后停留 1 小时立即沿原路返回, 恰好在 10 点整遇到正在前往乙地的小王.那么甲、乙两地之间的距离是 千米. 【解析】 因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离,而这个过程中小张开车 1 个小时,小 王步行 2 个小时,他们一共所走的路程是: 60 ? 1 ? 4 ? 2 ? 68 (千米),所以甲、乙两地之间的距离 是: 68 ? 2 ? 34 (千米).

【例 29】 (2003 年明心奥数挑战赛)如下图,某城市东西路与南北路交会于路口 A .甲在路口 A 南边 560 米的 B 点,乙在路口 A .甲向北,乙向东同时匀速行走.4 分钟后二人距 A 的距离相等.再继 续行走 24 分钟后,二人距 A 的距离恰又相等.问:甲、乙二人的速度各是多少?

1. 【解析】 本题总共有两次距离 A 相等,第一次:甲到 A 的距离正好就是乙从 A 出发走的路程.那么甲、乙 两人共走了 560 米,走了 4 分钟,两人的速度和为: 560 ? 4 ? 140 (米/分)。第二次:两人距 A 的 距离又相等,只能是甲、乙走过了 A 点,且在 A 点以北走的路程 ? 乙走的总路程.那么,从第二 次甲比乙共多走了 560 米,共走了 4 ? 24 ? 28 (分钟),两人的速度差: 560 ? 28 ? 20 (米/分),甲速 ? 乙 速 ? 140 , 显 然 甲 速 要 比 乙 速 要 快 ; 甲 速 ? 乙 速 ? 20 , 解 这 个 和 差 问 题 , 甲 速 ? ( 140 ? 20 ) ? 2 ? 80 (米/分),乙速 ? 140 ? 80 ? 60 (米/分).

【例 30】 (第六届“走进美妙的数学花园"中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛 )早晨,小 张骑车从甲地出发去乙地.下午 1 点,小王开车也从甲地出发,前往乙地.下午 2 点时两人之 间的距离是 15 千米.下午 3 点时,两人之间的距离还是 15 千米.下午 4 点时小王到达乙地, 晚上 7 点小张到达乙地.小张是早晨_________出发. 【解析】 由“下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米.下午 3 点时,两人之间的距离还是 l5 千米”可知:两 人的速度差是每小时 30 千米,由 3 点开始计算,我们知:小王再有一小时就可走完全程,在这 一小时当中,小王比小张多走 30 千米,那小张 3 小时多走 (15 ? 30) 千米,故小张的速度是 15 千 米/小时,小王的速度是 45 千米/小时.全程是 45 ? 3 ? 135 (千米), 135 ? 15 ? 7 ? 2 (小时),即上午 10 点出发.

【例 31】 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发,如果两人同向而行,甲 26 分钟赶上乙;如果两人相向 而行,6 分钟可相遇,又已知乙每分钟行 50 米,求 A、B 两地的距离. 【解析】 先画图如下:
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若设甲、乙二人相遇地点为 C,甲追及乙的地点为 D,则由题意可知甲从 A 到 C 用 6 分钟.而从 A 到 D 则用 26 分钟,因此,甲走 C 到 D 之间的路程时,所用时间应为: (26-6)=20(分) 。同 时,由上图可知,C、D 间的路程等于 BC 加 BD.即等于乙在 6 分钟内所走的路程与在 26 分钟内 所走的路程之和,为 50× (26+6)=1600(米).所以,甲的速度为 1600÷ 20=80(米/分) ,由此 可求出 A、B 间的距离。50× (26+6)÷ (26-6)=50× 32÷ 20=80(米/分) , (80+50)× 6=130× 6=780 (米)

【巩固】 小叶子上学时骑车,回家时步行,路上共用 50 分钟,如果往返都步行,则全程需要 70 分钟,求 往返都骑车所需的时间是多少? 【解析】 一个单程步行比骑车多用 70 ? 50 ? 20 (分钟) ,骑车单程 (50 ? 20) ? 2 ? 15 (分钟) ,往返骑车的 时间 15 ? 2 ? 30 (分钟) .

模块二、终(中)点问题
【例 32】 夏夏和冬冬同时从两地相向而行,夏夏每分钟行 50 米,冬冬每分钟行 60 米,两人在距两地中 点 50 米处相遇,求两地的距离是多少米? 【解析】 根据题意,画线段图如下:

从图中可以看出(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧,为什么?),因为夏夏的速度比冬冬慢, 所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边 50 米,由图可以得出:夏夏所行路程 ? 全程一半 ? 50 米 ,冬冬所行路程 ? 全程一半 ? 50 米 ;所以两人相遇时,冬冬比夏夏多走了 50 ? 2 ? 100 (米), 冬 冬 比 夏 夏 每 分 钟 多 走 10 米 , 所 以 两 人 从 出 发 到 相 遇 共 走 了 10 分 钟 , 两 地 的 距 离 : ( 60 ? 50 ) ? 10 ? 1100 (米).

【巩固】 甲乙两人同时从两地相向而行.甲每小时行 5 千米,乙每小时行 4 千米.两人相遇时乙比甲少 行 3 千米.两地相距多少千米? 【解析】 两人行驶的时间为 3÷ (5-4)=3 小时,所以两地相距(5+4)× 3=27 千米

【巩固】 夏夏和冬冬同时从两地相向而行,两地相距 1100 米,夏夏每分钟行 50 米,冬冬每分钟行 60 米, 问两人在距两地中点多远处相遇? 【解析】 两个人的相遇时间为: 1100 ? (50 ? 60) ? 10 (分钟) ,所以相遇时东东走了: 60 ? 10 ? 600 (米) , 两个人距离中点距离为: 600 ? 1100 ? 2 ? 50 (米)

【巩固】 王老师从甲地到乙地,每小时步行 5 千米,张老师从乙地到甲地,每小时步行 4 千米.两人同 时出发,然后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇,求甲、乙两地间的距离. 【解析】 画一张示意图(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧,为什么?)

3-1-2.相遇与追及问题.题库

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1千米 中点

A



离中点 1 千米的地方是 A 点,从图上可以看出,王老师走了两地距离的一半多 1 千米,张老师走 了两地距离的一半少 1 千米.从出发到相遇,王老师比张老师多走了 2 千米,王老师比张老师每 小时多走 (5 ? 4) 千米,从出发到相遇所用的时间是 2 ? (5 ? 4) ? 2 (小时)。因此,甲、乙两地的距 离是 (5 ? 4) ? 2 ? 18 (千米).

【巩固】 甲乙二人同时分别自 A、B 两地出发相向而行,相遇之地距 A、B 中点 300 米,已知甲每分钟行 100 米,乙每分钟行 70 米,求 A 地至 B 地的距离. 【解析】 相遇时甲比乙多行 300 ? 2 ? 600 (米) ,相遇时共用了 600 ? ?100 ? 70? ? 20 (分) ,A、B 两地之 间的距离为 ?100 ? 70? ? 20 ? 3400 (米). 【巩固】 李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行,李明每小时行 18 千米,王亮每小时行 16 千米,两人 相遇时距全程中点 3 千米.问全程长多少千米? 【解析】 李明走了全程的一半多 3 千米, 王亮走了全程的一半少 3 千米, 李明比王亮实际多走了 3 ? 2 ? 6 (千米). 由 已知李明每小时比王亮多走 18 ? 16 ? 2 (千米),李明比王亮多行 6 千米需要 6 ? 2 ? 3 (小时),这就 是两人的相遇时间,有了相遇时间,全程是: (18 ? 16) ? 3 ? 102 (千米). 【巩固】 树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行,树叶每小时行 18 千米,月亮每小时行 16 千米,两人 相遇时距全程中点 5 千米.问全程长多少千米? 【解析】 树 叶 走 了 全 程 的 一 半 多 5 千 米 , 月 亮 走 了 全 程 的 一 半 少 5 千 米 , 树 叶 比 月 亮 实 际 多 走 了 5 ? 2 ? 10 (千米).已知树叶每小时比月亮多走 18 ? 16 ? 2 (千米),那么树叶比月亮多行 10 千米需要 10 ? 2 ? 5 ( 小 时 ) , 这 就 是 两 人 的 相 遇 时 间 , 有 了 相 遇 时 间 , 全 程 就 容 易 求 了 . 全 程 : (18 ? 16) ? 5 ? 170 (千米).

【巩固】 蜡笔小新从家出发去超市找妈妈,小新妈妈从超市回家,他们同时出发,小新每分钟走 45 米, 小新妈妈每分钟走 65 米,他们在离中点 60 米的地方相遇了,求小新家到超市的距离是多少米? 【解析】 路程差: 60 ? 2 ?120 (米),速度差: 65 ? 45 ? 20 (米/分钟),相遇所用的时间:120 ? 20 ? 6 (分钟), 家到超市的距离: (45 ? 65) ? 6 ? 660 (米).

【巩固】 甲、乙两人同时从两地相向而行.甲每小时行 5 千米,乙每小时行 4 千米.两人相遇时乙比甲少 行 3 千米.两地相距多少千米? 【解析】 乙每小时比甲少行: 5 ? 4 ? 1 (千米),由题意知,“两人相遇时乙比甲少行 3 千米”,说明两人行驶 3? (5 ? 4) ? 3 (小时), (5 ? 4) ? 3 ? 27 (千 的时间为: 已知速度和与相遇时间, 可求路程. 两地相距为: 米).

【例 33】 小新和正南二人同时从学校和家出发,相向而行,小新骑车他的三轮车每分钟行 100 米,5 分 钟后小新已超过中点 50 米,这时二人还相距 30 米,正南每分钟行多少米? 【解析】 5 分钟后小新比正南多走了 50 ? 2 ? 30 ? 130 (米) ,所以每分钟多走: 130 ? 5 ? 26 (米) ,所以正 南每分钟走: 100 ? 26 ? 74 (米/分)
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【例 34】 甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的 A 地出发向东西两镇反向而行,它们分别到达东西两镇 后,再以同样的速度返回,已知甲每小时行 60 千米,乙每小时行 70 千米,相遇时甲比乙少行 120 千米,东西两镇之间的路程是多少千米? 【解析】 建议教师帮助学生画图分析.

从出发到甲、乙两列火车相遇,两列火车共同行驶了 2 个全程.已知甲比乙少行 120 千米,甲每 小时比乙少行 70 ? 60 ? 10 (千米), 120 ? 10 ? 12 (小时),说明相遇时,两辆车共同行驶了 12 小时. ( 60 ? 70 ) ? 6 ? 780 (千米). 那么两辆车共同行驶 1 个全程需要 6 小时,东西两镇之间的路程是 【例 35】 (明心奥数挑战赛)甲、乙二人从 A , B 两地同时出发相向而行,甲每分钟行 80 米,乙每分钟行 70 米,出发一段时间后,二人在距中点 60 米处相遇.如果甲晚出发一会儿,那么二人在距中 点 220 米处相遇.甲晚出发了多少分钟? ( 80 ? 70 ) ? 12 (分),因此甲、乙两地 【解析】 同时出发,相遇时甲多走 60 ? 2 ? 120 (米),相遇时间为 120 ? 80 ? 70 ) ? 12 ? 1800 ( 米 ) . 当 甲 晚 出 发 一 会 儿 时 , 两 人 各 用 时 间 分 别 为 乙 用 时 : 距 离 为( ( 1800 ? 2 ? 220 ) ? 70 ? 16 ( 分 ) , 甲 用 时 :( 1800 ? 2 ? 220 ) ? 80 ? 8.5 ( 分 ) , 所 以 甲 比 乙 晚 出 发 16 ? 8.5 ? 7.5 (分).

【例 36】 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去,已知学校到少年宫的距离是 2400 米.甲到少年宫后立 即返回学校,在距离少年宫 300 米处遇到乙,此时他们离开学校已经 30 分钟.问:甲、乙每分 钟各走多少米? 【解析】 根据题意,画线段图如下:

方法一:30 分钟内,二人的路程和 S和 ? 2400 ? 2 ? 4800 (米),因此速度和为: 4800 ? 30 ? 160 (米/ 分);又知道 30 分钟甲的路程为: 2400 ? 300 ? 2700 (米),所以甲速度为:2700 ? 30 ? 90 (米/分),则乙速度为: 160 ? 90 ? 70 (米/分). 方法二:30 分钟内,甲的路程为 2400 ? 300 ? 2700 (米),乙走的路程为: 2400 ? 300 ? 2100 (米), ( 2400 ? 300 ) ? 30 ? 70 (米/分). 因此甲的速度为: 2700 ? 30 ? 90 (米/分),乙的速度为: 【例 37】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出, 摩托车每小时行 54 千米. 汽车每小时行 48 千 米.两车相遇后又以原来的速度继续前进,摩托车到乙地立即返回.汽车到甲地立即返回.两 车在距离中点 108 千米的地方再次相遇,那么甲乙两地的路程是多少千米? 【解析】 第二次相遇距中点 108 千米, 说明两车共有 108 ? 2 ? 216 (千米)的路程差, 由此可知两车共行驶了: 216 ? (54 ? 48) ? 36 ( 小 时 ) . 又 因 为 第 二 次 相 遇 两 车 共 走 了 三 个 全 程 , 所 以 走 一 个 全 程 用 36 ? 3 ? 12 (小时).这样可以求出甲乙两地的路程是: (54 ? 48) ? 12 ? 1224 (千米).

模块三、行程间的倍比关系
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【例 38】 甲、乙两车分别同时从 A 、 B 两地相对开出,第一次在离 A 地 95 千米处相遇.相遇后继续前进 到达目的地后又立刻返回,第二次在离 B 地 25 千米处相遇.求 A 、 B 两地间的距离. 【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线)

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A 、B 两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个 A 、 B 两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个 A 、 B 两地间的距离时,甲车行了 95 千米,当 它们共行三个 A 、 B 两地间的距离时,甲车就行了 3 个 95 千米,即 95 ? 3 ? 285 (千米),而这 285 千米比一个 A 、 B 两地间的距离多 25 千米,可得: 95 ? 3 ? 25 ? 285 ? 25 ? 260 (千米).

【巩固】 甲、乙两车分别同时从 A 、 B 两地相对开出,第一次在离 A 地 90 千米处相遇.相遇后继续前进 到达目的地后又立刻返回,第二次在离 B 地 30 千米处相遇.求 A 、 B 两地间的距离? 【解析】 第一次相遇意味着两车行了一个 A 、 B 两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个 A 、 B 两 地间的距离.当甲、乙两车共行了一个 A 、 B 两地间的距离时,甲车行了 90 千米,当它们共行 三个 A 、 B 两地间的距离时,甲车就行了 3 个 90 千米,即 90 ? 3 ? 270 (千米) ,而这 270 千米比 一个 A 、 B 两地间的距离多 30 千米,可得: 90 ? 3 ? 30 ? 270 ? 30 ? 240 (千米).

【巩固】 (第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图, 亮亮在 A 点, A 、 B 是一条道路的两端点, 明明在 B 点,两人同时出发,相向而行.他们在离 A 点 100 米的 C 点第一次相遇.亮亮到达 B 点 后返回 A 点,明明到达 A 点后返回 B 点,两人在离 B 点 80 米的 D 点第二次相遇.整个过程中, 两人各自的速度都保持不变.求 A 、 B 间的距离.要求写出关键的推理过程.
100米 A C 第4题 D 80米 B

【解析】 第一次相遇,两人共走了一个全程,其中亮亮走了 100 米,从开始到第二次相遇,两人共走了三 个全程 ,则亮亮走了 100? 3? 300 ( 米 ) .亮亮共 走的路程为一个全程 多 80 米,所以道路长 300? 80? 220 (米) .

【巩固】 甲、乙两车分别同时从 A 、 B 两地相对开出,第一次在离 A 地 80 千米处相遇.相遇后继续前进 到达目的地后又立刻返回,第二次在离 B 地 20 千米处相遇.求 A 、 B 两地间的距离? 【解析】 第一次相遇意味着两车行了一个 A 、 B 两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个 A 、 B 两 地间的距离.当甲、乙两车共行了一个 A 、 B 两地间的距离时,甲车行了 80 千米,当它们共行 三个 A 、 B 两地间的距离时,甲车就行了 3 个 80 千米,即 80 ? 3 ? 240 (千米) ,而这 240 千米比 一个 A 、 B 两地间的距离多 20 千米,可得: 240 ? 20 ? 220 (千米).

【巩固】 (2007 年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)甲、
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乙二人同时分别从 A 、 B 两地出发,相向匀速而行.甲到达 B 地后立即往回走,乙到达 A 地后 也立即往回走.已知他们第一次相遇在离 A , B 中点 2 千米处靠 B 一侧,第二次相遇在离 A 地 4 千米处. A 、 B 两地相距多少千米?
甲 A

4

2

B 乙

【解析】 如图所示,两人第一次相遇,合走一个全程,两人第二次相遇,合走三个全程.而两人速度不变, 这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的 3 倍.因此,甲在第二次相遇所走的路程 是第一次相遇所走路程的 3 倍.第一次相遇时,甲走了半全程多 2 千米,那么,第二次相遇时, 他应该走了 3 个半个全程多 6 千米, 而实际他走了 2 个全程差 4 千米, 即 4 个半个全程差 4 千米. 因 此,半个全程长 6 ? 4 ? 10 (千米), A 、 B 两地相距 10 ? 2 ? 20 (千米).

【例 39】 甲、乙两辆汽车同时分别从 A 、 B 两地相对开出,甲车每小时行 42 千米,乙车每小时行 45 千 米.甲、乙两车第一次相遇后继续前进,甲、乙两车各自到达 B 、 A 两地后, 立即按原路原速 返回.两车从开始到第二次相遇共用 6 小时.求 A 、 B 两地的距离? 【解析】 甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个 AB 间的路程,第一次相遇后继续前进,各自到 B 、 A 两地后,又共同行完一个 AB 间的路程.当甲、乙两车第二次相遇时,又共同行完一个 AB 间 的路程.因此,甲、乙两车从开始到第二次相遇共行 3 个 AB 间的路程.甲、乙速度和: 42 ? 45 ? 87 (千米), 3 个 AB 间路程: 87 ? 6 ? 522 (千米), A 、 B 相距: 522 ? 3 ? 174 (千米).

【例 40】 上午 8 点 8 分,小明骑自行车从家里出发,8 分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家 4 千米的 地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰 好是 8 千米,这时是几点几分? 【解析】 画一张简单的示意图:
4千米 家 小明 爸爸 4千米

图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明骑了 8 ? 4 ? 4 (千米).而爸爸骑的距离是 4 ? 8 ? 12 (千米). 这就可以知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12 ? 4 ? 3 倍.按照这个倍数计算,小 明骑 8 千米, 爸爸可以骑行 8 ? 3 ? 24 (千米). 但事实上, 爸爸少用了 8 分钟, 骑行了 4 ? 12 ? 16 (千 米),少骑行 24 ? 16 ? 8 (千米).摩托车的速度是 8 ? 8 ? 1 (千米/分),爸爸骑行 16 千米需要 16 分 钟. 8 ? 8 ? 16 ? 32 (分钟).所以这时是 8 点 32 分.

【巩固】 自行车队出发 12 分钟后,通信员骑摩托车去追他们,在距出发点 9 千米处追上了自行车队,然 后通信员立即返回出发点;随后又返回去追自行车队,再追上时恰好离出发点 18 千米,求自行 车队和摩托车的速度. 【解析】 在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间, 摩托车所走的路程为( 18 ? 9 )千米, 而自行车 所走的路程为( 18 ? 9 )千米,所以,摩托车的速度是自行车速度的 3 倍( ? (18 ? 9) ? (18 ? 9) );摩托 车与自行车的速度差是自行车速度的 2 倍,再根据第一次摩托车开始追自行车队时,车队已出发 了 12 分钟,也即第一次追及的路程差等于自行车在 12 分钟内所走的路程,所以追及时间等于
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12 ? 2 ? 6 (分钟);联系摩托车在距出发点 9 千米的地方追上自行车队可知:摩托车在 6 分钟内走

( 18 ? 9 )( ? 18 ? 9 ) ? 3 倍, 了 9 千米的路程,于是摩托车和自行车的速度都可求出了.列式为: 12 ? ( 3?1 ) ? 6 (分钟),摩托车的速度为:9 ? 6 ? 1.5 (千米/分钟),自行车的速度为:1.5 ? 3 ? 0.5 (千 米/分钟)

【例 41】 A 、 B 两地间有条公路,甲从 A 地出发,步行到 B 地,乙骑摩托车从 B 地出发,不停地往返于 A 、 B 两地之间,他们同时出发,80 分钟后两人第一次相遇,100 分钟后乙第一次追上甲,问: 当甲到达 B 地时,乙追上甲几次? 【解析】


A

F

E

B


第一次相遇 第一次追上

由上图容易看出: 在第一次相遇与第一次追上之间, 乙在 100 ? 80 ? 20 (分钟)内所走的路程恰等于 线段 FA 的长度再加上线段 AE 的长度,即等于甲在( 80 ? 100 )分钟内所走的路程,因此,乙的速 度是甲的 9 倍( ? 180 ? 20 ), 则 BF 的长为 AF 的 9 倍, 所以, 甲从 A 到 B , 共需走 80 ? (1 ? 9) ? 800 (分 钟)乙第一次追上甲时,所用的时间为 100 分钟,且与甲的路程差为一个 AB 全程.从第一次追上 甲时开始, 乙每次追上甲的路程差就是两个 AB 全程, 因此, 追及时间也变为 200 分钟( ? 100 ? 2 ), 所以,在甲从 A 到 B 的 800 分钟内,乙共有 4 次追上甲,即在第 100 分钟,300 分钟,500 分钟 和 700 分钟.

【巩固】 甲、乙两地之间有一条公路.李明从甲地出发步行去乙地,同时张平从乙地出发骑摩托车去甲 地,80 分钟后两人在途中相遇.张平到达甲地后马上折回往乙地,在第一次相遇后又经过 20 分 钟在途中追上李明.张平到达乙地后又马上折回往甲地,这样一直下去.问:当李明到达乙地 时,张平共追上李明多少次? 【解析】 我们希望知道二人的速度,或至少是二人各自走完全程的时间,进而确定整个过程的进展,并得 到答案.但知道这些并不够.应先分析什么是“追上”.如图,当两人经过 80 分钟相遇时,两人 所走的路程之和恰是甲乙两地指间的距离,因此两人才能相遇.如图所示:
甲 A C 相遇 第一次追上 D 乙 B 张平 李明

第一次追上就是张平比李明多走了一个甲、乙两地距离.这用了 80 ? 20 ? 100 分钟.以此类推, 第二次相遇的情况从图上可以看出来,使张平比李明多走了 3 个甲、乙之间距离;第三次相遇, 是张平比李明多走了 5 个甲乙之间距离……所以,知道了张平的速度是李明的几倍,也就知道在 李明走完一个甲乙之间距离的时候,张平走了几个甲乙之间距离,他比李明多走了几个.这样就 可求出当李明到达乙地时,张平追上了他几次.C 是两人相遇地点, D 是张平第一次追上李明的 地点.要分析如何求出两人速度的倍数关系.在从相遇到第一次追上这 20 分钟内,张平从 C 走 到 A 再走到 D ,即 CA ?AD .CA 也就是 AC ,是李明相遇前的路程,即李明 80 分钟走的; AD 是 李明第一次被追上时已走的路程,即他 80 ? 20 ? 100 分钟走的.因此,张平 20 分钟走的路程 AC ? AD ,是李明 80 ? 100 ? 180 分钟走的,也就是说,张平的速度是李明的 9 倍.当李明从甲到
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乙时,张平走了 9 个这样的距离,即比李明多走了 8 个从甲到乙的距离.比李明多走 1 个 AB 时, 张平第一次追上李明;多走 3 个时,第二次追上;多走 5 个时,第三次追上;多走 7 个时,第四 次追上.综上所述,在李明从甲到乙的过程中,一共被张平追上 4 次.

【例 42】 (这道题就是之前介绍过的苏步青教授利用巧妙方法解决过的一个问题,当时苏步青教授在德 国访问,一位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题)甲和乙分别从东西两地同时出发, 相对而行,两地相距 100 里,甲每小时走 6 里,乙每小时走 4 里.如果甲带一只狗,和甲同时出 发,狗以每小时 10 里的速度向乙奔去,遇到乙后即回头向甲奔去,遇到甲后又回头向乙奔去, 直到甲乙两人相遇时狗才停住.这只狗共跑了多少里路? 【解析】 只从狗本身考虑,光知道速度,无法确定跑的时间.但换个角度,狗在甲乙之间来回奔跑,狗从 开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同.由此便能求出答案.狗一共跑了 100 ? ? 6 ? 4? ? 10 (小时)所以狗跑的距离为 10 ? 10 ? 100 (千米) 注:有时我们遇到的应用题往往无法用直接的方法列式解决,甚至看起来好像条件不足.这个时 候我们就需要停下来问问自己: 是否应该换个角度思考?尝试这样思考, 一方面能让我们对一些 原本无法解答的题目豁然开朗,更可以让自己的头脑在锻炼中变得越来越聪明.

【巩固】 A、B 两地相距 480 千米,甲、乙两车同时从两站相对出发,甲车每小时行 35 千米,乙车每小 时行 45 千米,一只燕子以每小时行 50 千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去,遇到乙车又折 回向甲车返飞去,遇到甲车又返飞向乙车,这样一直飞下去,燕子飞了多少千米两车才能相遇? 【解析】 由燕子和两车同时开始飞行和同时停止, 故燕子飞行的时间和两车相遇的时间相等, 480÷ (35+45) =6 小时。燕子飞行的路程:50 × 6=300 千米

【巩固】 小新和阿呆各骑一辆自行车从相距 32 千米的两个地方沿直线相向而行,在他们同时出发的那一 瞬间,一辆自行车把上的一只小鸟开始向另一辆自行车径直飞去,它一到达另一辆自行车的车 把,就立即转向往回飞行,这只小鸟如此在两辆自行车的车把之间来回飞行,直到小新和阿呆 相遇为止.如果小新每小时行驶 17 千米,阿呆每小时行驶 15 千米,小鸟每小时飞行 24 千米,那 么小鸟总共飞行了多少千米? 【解析】 由小鸟和两车同时开始飞行和同时停止, 故小鸟飞行的时间和两车相遇的时间相等, 32÷ (17+15) =1 小时。燕子飞行的路程:24× 1=24(千米).

【巩固】 在一次宴会上,一位客人给著名的数学大师、“计算机之父”冯· 诺伊曼先生出了一个蜜蜂问题: 两列火车相距 100 英里,在同一轨道上相向行驶,速度都是每小时 50 英里.火车 A 的前端有一 只蜜蜂以每小时 100 英里的速度飞向火车 B , 遇到火车 B 以后. 立即回头以同样的速度飞向火车 A ,遇到火车 A 后,又回头飞向火车 B ,速度始终保持不变,如此下去,直到两列火车相遇时 才停止.假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计,那么,这只蜜蜂一共飞了多少英里的路? 【解析】 因为两列火车相距 100 英里,以每小时 50 英里的速度相向而行.所以,他们相遇时所经过的时间 是 1 小时,而蜜蜂在这段时间内,不停地在两列火车之间往返飞行,蜜蜂飞行的全部时间正好是 两行火车相遇的时间,所以,蜜蜂在这 1 小时内,正好飞行了 100 英里.

【巩固】 阿呆和阿瓜同时从距离 20 千米的两地相向而行, 阿呆每小时走 6 千米, 阿瓜每小时走 4 千米. 阿 瓜带着一只小狗,狗每小时走 10 千米.这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候,它就掉头朝阿
3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 21 of 23

瓜这边走,碰到阿瓜时又朝阿呆那边走,直到两人相遇,问这只小狗一共走了多少千米? (6 ? 4) ? 2 (小时),狗共跑路程为: 10 ? 2 ? 20 (千米). 【解析】 阿呆和阿瓜两人相遇时间为: 20 ?

【例 43】 甲、乙两人分别从相距 35.8 千米的两地出发,相向而行.甲每小时行 4 千米,但每行 30 分 钟就休息 5 分钟;乙每小时行 12 千米,则经过________小时________分的时候两人相遇. 【解析】 经过 2 小时 15 分钟的时候,甲实际行了 2 小时,行了 4× 2=8 千米,乙则行了 12 ? 2

1 ? 27 千 4

米,两人还相距 35.8-27-8=0.8 千米,此时甲开始休息,乙再行 0.8÷ 12× 60=4 分钟就能与甲相 遇.所以经过 2 小时 19 分的时候两人相遇.

【例 44】 一个圆的圆周长为 1.26 米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行.这两只蚂蚁 每秒钟分别爬行 5.5 厘米和 3.5 厘米,在运动过程中它们不断地调头.如果把出发算作第零次调 头,那么相邻两次调头的时间间隔顺次是 1 秒、3 秒、5 秒、……,即是一个由连续奇数组成的 数列.问它们相遇时,已爬行的时间是多少秒? 【解析】 (法 1)找路程规律. 通过处理, 找出每次爬行缩小的距离关系规律. 两只蚂蚁相距 1.26 ? 2 ? 0.63 米 ? 63 厘米,相向爬行 1 秒距离缩小 5.5 ? 3.5 ? 9 (厘米).如果不调头,需要 63 ? 9 ? 7 (秒)相遇; 第 1 轮爬行 1 秒,假设向上半圆方向爬,距离缩小 9 ? 1 厘米; 第 2 轮爬行 3 秒,调头向下半圆方向爬,距离缩小 9 ? ? 3 ? 1? ? 9 ? 2 厘米; 第 3 轮爬行 5 秒,调头向上半圆方向爬,距离缩小 9 ? ? 5 ? 2? ? 9 ? 3 厘米;…… 每爬行 1 轮距离缩小 9 ? 1 厘米,所以爬行 7 轮后相遇,时间是 1 ? 3 ? 5 ? (法 2)对于这种不断改变前进方向的问题,可以先看简单的情况:
? 13 ? 49 (秒).

A4

A2

O A1

A3

A5

在一条直线上,如上面的图形,一只蚂蚁先从 O 点出发向右走,然后按照经过 1 秒、3 秒……改 变方向.由于它的速度没有变化,可以认为蚂蚁每秒钟走一格. 第一次改变方向时,它到 A1 ,走 1 格, OA1 ? 1 格; 第二次改变方向时,它到 A2 ,走 3 格, OA2 ? 2 格; 第三次改变方向时,它到 A3 ,走 5 格, OA3 ? 3 格; 第四次改变方向时,它到 A4 ,走 7 格, OA4 ? 4 格; 第五次改变方向时,它到 A5 ,走 9 格, OA5 ? 5 格. 不难发现, 小蚂蚁的活动范围在不断扩大, 每次离 O 点都远了一格. 当两只蚂蚁活动范围重合时, 也就是它们相遇的时候. 另外从上面的分析可以知道,每一次改变方向时,两只蚂蚁都在出发 点的同一侧.这样,通过相遇问题,可以求出它们改变方向的次数,进而求出总时间. 由于每一次改变方向时,两只蚂蚁之间的距离都缩短 5.5 ? 3.5 ? 9 厘米. 所以,到相遇时,它们已改变方向: 1.26 ? 100 ? 2 ? 9 ? 7 次,也就是在第 7 次要改变方向时,两 只蚂蚁相遇,用时: 1 ? 3 ? 5 ? ? 13 ? 49 (秒).

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【巩固】 老师教同学们做游戏:在一个周长为 114 米的圆形跑道上,两个同学从一条直径的两端同时出 发沿圆周开始跑,1 秒钟后他们都调头跑,再过 3 秒他们又调头跑,依次照 1、3、5……分别都 调头而跑,每秒两人分别跑 5.5 米和 3.5 米,那么经过几秒,他们初次相遇? 【解析】 与例题的分析过程类似,可以知道,每跑 1 轮距离缩小 9 ? 1 米,由于两个同学最开始相距 57 米, 小于例题中的 63 米,而又大于 54 米,所以两人在第七次掉头后相遇,而且没有走完第七次掉头
2 的 13 秒,相遇时比 13 秒少走了 ? 63 ? 57? ? ? 5.5? 3.5 ? ? 秒,所以他们初次相遇时经过了 3 49 ? 2 1 ? 48 秒. 3 3

【例 45】 某条道路上,每隔 900 米有一个红绿灯.所有的红绿灯都按绿灯 30 秒、黄灯 5 秒、红灯 25 秒 的时间周期同时重复变换.一辆汽车通过第一个红绿灯后,以每小时多少千米的速度行驶,可 以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯? 【解析】 因为红绿灯变换的时间周期是 30 ? 5 ? 25 ? 60 (秒) ,所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿 灯,那么汽车通过第一个路口后,到下一个路口所花的时间必须是 60 秒.换句话说,只要 60 秒 走 900 米,汽车就可以一路绿灯.因此,汽车应以每小时 900 ? 60 ? 3600 ? 1000 ? 54 (千米)的速 度行驶.

课后练习

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