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100测评网高三数学复习广东省深圳市翠园、宝安中学2008—2009学年第一学期第二次联



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广东省深圳市翠园、宝安中学 2008—2009 学年第一学期第二次联
高三数学(理)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上. 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.

1 . 设全集 I 是实数集 R . M ? {x | x2 ? 4} 与 N ? {x |
示 ( ) ) , 则 阴 影 部 分
I

2 ? 1} 都是 I 的子集(如图所 x ?1

N






M







A. x x ? 2

?

? ?

B. x ? 2 ? x ? 1

?

?

C. x 1 ? x ? 2

?

D. x ? 2 ? x ? 2

?

?
(第 1 题图) ( D.第四象限 )

2. 在复平面内,复数 z ? A.第一象限

1 ? 2i 2009 对应的点位于 i?2
C.第三象限

B.第二象限

3.若把函数 y ? cos x ? 3 sin x ? 1的图象向右平移 m(m>0)个单位,使点( 其对称中心,则 m 的最小值是 A.π B. ( C.

? ,1)为 3


? 2

? 3

D.

? 6

4.已知物体的运动方程是 s ?

1 4 t ? 4t 3 ? 16t 2 ( t 表示时间,单位:秒; s 表示位移,单 4
( )

位:米),则瞬时速度为 0 米每秒的时刻是 A.0 秒、2 秒或 4 秒 B.0 秒、2 秒或 16 秒 C.2 秒、8 秒或 16 秒 D.0 秒、4 秒或 8 秒 5.设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)=

1 ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=( 2

)

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. A.0 B .1 C.
5 2

D.5

6.设 a,b,c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的 是 A.当 c⊥ ? ,则 ? ∥ ? ? 时,若 c⊥ B.当 b ? ? 时,若 b⊥ ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b⊥ c,则 a⊥ b D.当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c∥ c ? ,则 b∥ 7.已知曲线 C : y ? 2 x 2 ,点 A(0, ?2) 及点 B(3, a ) ,从点 A 观察点 B,要使视线不被曲线 ( )

C
挡住,则实数 a 的取值范围是 A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.(10,+∞) D.(-∞,10) ( )

8. 定义域和值域均为[-a,a] (常数 a>0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示, 给出下列四个命题中: (1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解; (2) 方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个解; (3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解; (4)方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 y y

)

a y?f(x)
?a

a

y?g(x) a x

O

a

x
(第 8 题图)

?a

O
?a

?a

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生
只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分. 9.若 ? ~ B(n, p), E? ? 6, D? ? 3 ,则 P(? ? 1) 的值为____________ 10.从 4 双不同鞋子中取出 4 只鞋,其中至少有 2 只鞋配成一双的取法种数为 11.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的: .

x
lg x

3

5

8

9

2a ? b

a?c

3 ? 3a ? 3c

4a ? 2b

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请将错误的一个改正为 lg

=

开始 12.图中所示的 S 的表达式为 . 输 入 n s←1 i←1 i<20 13.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线 是 s←s+1/(2i+1) 输出 s


? ? cos(? ? ) ? 1 与圆 ? ? 2 的公共点个数是_______.
3
14.(不等式选讲选做题)设 a,b ?R ,且 a+b =1,则

i←i+1 结束 ( 第 12 题 图) D C B O (第 15 题图) A P

2a ? 1 ? 2b ? 1 的最大值是_______.
15.(几何证明选讲选做题)如图所示, AB 是半径等于 3 的 的直径,CD 是 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P,

若 PA=4,PC=5,则 ?CBD ? ________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤. 16.(本小题满分 12 分)

设a ? (cos? , (? ? 1) sin ? ),
2

b ? (cos? , sin ? ), (? ? 0,0 ? ? ? ? ? ? ) 是平面上的两

个向量,且 a ? b与a ? b 互为垂直.
0

(1)求 ? 的值;

(2)若 a ? b
0 7 0

?

4 4 , tan ? ? , 求 tan ? 的值. 5 3

4

1

2

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17.(本小题满分 12 分) 某企业有一套价值为 4 万元的生产设备,因要提高其生产能力,计划对该套设备进行技 术改造,假设改造后产值 y 万元与投入的改造费用 x 万元之间的关系满足: ① y 与 (4 ? x) x 2 成正比;② 当 x ? 2 时, y ? 32 ;③0 ? 且 a ?[0, 2] (1)设 y ? f ( x) ,求出 f ( x) 的表达式; (2)求产值 y 的最大值,并求出此时 x 的值.

x ? a ,其中 a 为常数, 4(4 ? x)

18.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC= 3 ,AA1=1,∠ ACB=90° . (Ⅰ )求异面直线 A1B 与 CB1 所成角的余弦值; (Ⅱ )问:在 A1B1 边上是否存在一点 Q,使得平面 QBC 与平面 A1BC 所成的角为 30° , 若存在,请求点 Q 的位置,若不存在,请说明理由. C1 B1
A1

C
A

B

19.(本小题满分 14 分)
2 2 2 2

(第 18 题图)

动圆 P 与定圆 O1 : x ? y ? 4 x ? 5 ? 0和O2 : x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 均外切,设 P 点的轨 迹为 C. (1)求 C 的方程; (2)过点 A(3,0)作直线 l 交曲线 C 于 P、Q 两点,交 y 轴于 M 点,若

MA ? ?1 MP ? ?2 MQ
当 ?1 ? ?2 ? m时, 求m 的取值范围.

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20.(本小题满分 14 分) 如 果

f ( x) 在 某 个 区 间

I

内 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? I , 都 有

x ?x 1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) , 则 称 f ( x) 在 I 上 为 下 凸 函 数 ; 已 知 函 数 2 2

f ( x) ?

1 ? a ln x. x

(Ⅰ )证明:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上为下凸函数; (Ⅱ )若 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,且 x ? [ ,2] 时, | f ?( x) |? 1, 求实数 a 的取值范围.

1 2

21.(本小题满分 14 分) 已知一系列的抛物线 Cn 的方程为 y=anx2(n ? N*,an>1),过点 An(n, ann2)作该抛物线 Cn 的切线 ln 与 y 轴交于点 Bn, Fn 是 Cn 的焦点, ? An Bn Fn 的面积为 n3

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求证:1+

3 ≤an <2; 2
? nbn ? 3 4

2 (3) 设 bn ? 2an ? an ,求证:当 n≥1 时, b1 ? 2b2 ? 3b3 ?

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翠园、宝安中学 2008—2009 学年第一学期第二次联考
高三数学(理)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B 7.D 8.B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 3 ? 2 13.2
?10

10.54 14.2 2

11.lg15= 3a-b+c 15. 30

12. 1 ?

1 1 ? ? 3 5

1 39

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由题设,得 (a ? b) ? (a ? b) ?| a |2 ? | b |2 ? (? ? 1) 2 sin 2 ? ? sin 2 ?

?(? ?1)2 sin 2 ? ? sin 2 ? ? 0

--------------------------2 分

即? (? ? 2)sin 2 ? ? 0 0 ? ? ? ? , ?sin 2 ? ? 0, 又? ? 0
?? ? 2 ? 0

故? 的值为 2.

--------------------------4 分

(2) a ? b与a ? b垂直时 , a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? )

a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ?

4 --------------------------6 分 5

3 3 ? sin(? ? ? ) ? ? , tan( ? ? ? ) ? ? ,--------------------------8 分 5 4

? tan? ? tan[( ? ? ?) ? ?] ?
17.(本小题满分 12 分)

tan( ? ? ? ) ? tan ? 7 ? -----------------------12 分 1 ? tan( ? ? ? ) tan ? 24

解:(1)∵ y 与 (4 ? x) x 成正比,∴ 设 y ? f ( x) ? k (4 ? x) x ,又 x ? 2 时, y ? 32
2 2

∴ 解得 k=4,从而有 y ? 4(4 ? x) x …………………………………………… 3 分
2

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由0 ?

16a x ? a 解得 0 ? x ? 1 ? 4a 4(4 ? x)
16a ) …………………………………………… 5 分 1 ? 4a

故 f ( x) ? 4(4 ? x) x2 (0 ? x ?

(2)∵ f ( x) ? 16 x2 ? 4 x3 ,∴ f '( x) ? 4 x(8 ? 3x) 令 f ' ( x) ? 0 解得 x1=0, x2 ?

8 ……………………………………………… 6 分 3

(ⅰ ) 若

16a 8 8 1 ? ,即 ? a ? 2 ,当 x ? (0 , ) 时, f ' ( x) ? 0 2 1 ? 4a 3 3
8 ] 上单调递增; 3

所以 f ( x) 在[0,



8 16a 8 16 a ?x? ] 上单调递减, 时, f ' ( x) ? 0 ,由于 f ( x) 在 [ , 3 1 ? 4a 3 1 ? 4a
8 8 1024 时, f ( x) 取得最大值 f ( ) ? …………………… 9 分 3 3 27

故当 x ?

(ⅱ ) 若

16a 8 16 a 1 ? ,即 0 ? a ? 时,当 x ? (0 , ) 时, 2 1 ? 4a 3 1 ? 4a
16 a ] 上单调递增, 1 ? 4a

由于 f ' ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在[0,

故 f ( x)max ? f ( 综上可知:

16a 4096a 2 ……………………………………… 11 分 )? 1 ? 4a (1 ? 4a)3
2

16a 4096a 1 当 0 ? a ? 时,产值 y 的最大值为 ,此时投入的技术改造费用为 万 3 2 1 ? 4a (1 ? 4a )
元; 当

1024 8 1 ,此时投入的技术改造费为 万元…… 12 分 ? a ? 2 时,产值 y 的最大值为 2 3 27

18.(本小题满分 14 分) 解:分别以 CA,CB,CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系………………1 分 则A ………………2 分 1 ( 3,0,1), B (0, 3,0) , C(0,0,0), B 1 (0, 3,1)
A1 B ? (? 3 , 3 ,?1), | A1 B |? 7
CB1 ? (0, 3 ,1), | CB1 |? 2

C1 A1

z

B1

C
A x

B

y

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A1 B ? CB1 | A1 B || CB1 |

cos ? A1 B ? CB1 ??

?

2 2 7

?

7 …………6 分 7

异面直线 A1B 与 CB1 所成的角的余弦值为

7 ………………7 分 7

(Ⅱ )解法一:∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱,∠ ACB=90° ,∴ BC⊥ CA1,BC⊥ CC1 ∴ ∠ A1CC1 是二面角 A1-BC-C1 所成的平面角 在 RtΔA1C1C 中,可求∠ A1CC1=60°………9 分 假设存在这样的点 Q,使得面 QBC 与面 A1BC 成 30° 角. 在平面 A1B1C1 中过点 Q 作 QP∥ B1C1,交 A1C1 于 P,连 PC,则 P.Q.B.C 共面 ∴ ∠ A1CP 就是 Q—BC—A1 的平面角为 30°…………………12 分 ∵ 30° <60° ,故存在点 P,在角 A1CC1 的平分线上 在 RtΔPC1C 中,可得 PC1 ?
3 6 ,又 A1B1= 6 ,由相似比可求得 QB1= , 3 3

∴ Q 在距点 A1

2 6 6 处(或距 B1 点 处)……14 分 3 3

解法二:假设存在这样的点 Q,使得面 QBC 与面 A1BC 成 30° 角.

A1B1 ? (? 3, 3,0) , CA1 ? ( 3,0,1) ,设 AQ ? ? A1B1 , 1
则 CQ ? CA ? ((1? ?) 3, 3?,1) ,又 CB ? (0, 3,0) ,…………………8 分 1 ? AQ 1 设面 QBC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 ?

?n1 ? CQ ? (1 ? ? ) 3x ? 3? y ? z ? 0 ,取 x=1,有 n1 ? CB ? 3 ? y ? 0 ?

n1 ? (1,0,(? ?1) 3) ,…………………10 分
同理设面 A1BC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , 由?

? n2 ? CB ? 3 y ? 0 ,取 x=1,有 n2 ? (1,0, ? 3) ,…………………12 分 ?n2 ? CA1 ? 3x ? z ? 0

? cos30 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

4 ? 3? 2 3(? ? 1)2 ? 1

?

2 3 ,求出 ? ? 3 2

∴ Q 在距点 A1

2 6 处…………14 分 3

19.(本小题满分 14 分) 解(1) Q1 : ( x ? 2) ? y ? 9, Q2 : ( x ? 2) ? y ? 1 ,动圆的半径为 r,则|PQ1|=r+3,
2 2 2 2

|PQ2|= r+1,|PQ1|-|PQ2|=2,…………………3 分 点 P 的轨迹是以 O1、O2 为焦点的双曲线右支,a=1,c=2,

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方程为 x ?
2

y2 ?1 3

( x ? 0) ………………………………………………6 分

(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),当 k 不存在时,不合题意. 直线 PQ 的方程为 y=k(x-3), 则 M (0,?3k ), MA ? (3,3k ), MP ? ( x1 , y1 ? 3k ),

MQ ? ( x2 , y2 ? 3k )

?3 ? ?1 x1 ………………8 分 由MA ? ?1 MP ? ?2 MQ得 ? ?3 ? ? 2 x 2

? y ? k ( x ? 3) ? 由 ? 2 y2 得(3 ? k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3 ? 9k 2 ? 0 ?1 ?x ? 3 ?
, x1 ? x2 ? ? x1 、 x2是此方程的两正根 6k 2 9k 2 ? 3 ? 0 , x x ? ?0 1 2 k2 ?3 k2 ?3

? k 2 ? 3 …………………………………………………………10 分

3 3 3( x1 ? x2 ) 6k 2 2 9 m ? ?1 ? ?2 ? ? ? ? 2 ? 2? 2 ? ( ,2) …………14 分 x1 x2 x1 x2 3k ? 1 3k ? 1 5
20.(本小题满分 14 分) 解(Ⅰ )任取 x1 , x2 ? (0,??), 则 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ?

1 2

1 1 1 [ ? a ln x1 ? ? a ln x2 ] 2 x1 x2

?

x1 ? x2 ? a ln x1 x2 , …………………………………………………………2 分 2 x1 x2
x1 ? x2 x ? x2 2 )? ? a ln 1 , …………………………………………3 分 2 x1 ? x2 2

f(

2 ? x12 ? x2 ? 2x1 x2 ,? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ,

又 x1 ? 0, x2 ? 0,

x1 ? x2 2 ? , …………………………………………5 分 2 x1 x2 x1 ? x2
? ?a ln x1 x2 ? a ln x1 ? x2 , 2



x1 ? x2 ? x1 x2 , a ? 0, 2 1 2

即 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( (Ⅱ ) f ?( x ) ? ?

x1 ? x 2 ) .? f ( x)为(0,??) 上的下凸函数………………7 分 2

1 a ? ,…………………………………………………………9 分 x2 x

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?| f ?( x) |? 1, 即 | 1 a 1 1 ? |? 1, ? ?( x ? ) ? a ? x ? , ……………………………11 分 2 x x x x

1 1 1 ? x ? [ ,2]时, | f ?( x) |? 1 恒成立,设 g ( x) ? ?( x ? ), h( x) ? x ? 2 x x
则有 gmax ( x) ? a ? hmin ( x) ,又 g ( x ) ? ?( x ? ) 在 [ ,1] 上为增函数,在 [1, 2] 上为减函数

1 x

1 2

? gmax ( x) ? g (1) ? ?2 ……………………………12 分,
而 h( x ) ? x ?

1 1 1 3 在 [ , 2] 上为增函数,? hmin ( x) ? h( ) ? ? ……………………13 分 x 2 2 2

3 ? a ? (?2,? ) …………………………………………………14 分 2

21.(本小题满分 14 分) 解:(1) An(n, ann2)在抛物线 Cn 上, y? ? 2an x y, 则切线 ln 的斜率为 2ann,

切线方程为 y-ann2=2 ann(x-n)……………………………2 分 令 x=0,得 y=-ann2,, ∴ Bn(0, -ann2),又 Fn(0,

1 ) 4a n

∴ S ?An Bn Fn =

1 1 ( + ann2)n=n3 2 4a n
即 4n2an2-8n2an+1=0, ……………………………3 分



1 + ann2=2n2, 4a n

∴? =64n4-16n2=16n2(4n2-1)>0,

∵ an>1, ∴an=1+

1 2n

4n 2 ? 1 ……………4 分

(2)证明:∵ an=1+

1 2n

4n 2 ? 1 =1+ 1 ?

1 ,{an}为递增数列, 4n 2

∴ an≥1+ 1 ?

1 3 =1+ . ……………………………6 分 2 4
3 ≤an <2. ……………………………8 分 2
1 ……………………9 分 4n 2

又 an <1+ 1 =2, ∴ 1+

(3).证明: bn ? 2an ? an ?
2

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∴b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ∵k ? 2 时,

1 1 2 3 ? nbn ? ( 2 ? 2 ? 2 ? 4 1 2 3

?

n ) n2

k k
2

?

1 2 2 ? ? k ? k ? k ( k ? k ) k ? k ( k ? k ? 1) k ? k ? 1

?

2( k ? k ? 1) 1 1 ? 2( ? ) ……………………12 分 k ? k ?1 k ?1 k
1 1 1 1 ? nbn ? [1 ? 2(1 ? ? ? ? 4 2 2 3 ? 1 1 ? )] k ?1 k

∴b1 ? 2b2 ? 3b3 ?

1 1 1 2 3 ? [1 ? 2(1 ? )] ? (3 ? ) ? ……………………14 分 4 4 4 n n

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版,外研版, 新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六, 初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 , 教学研究 , 在线教学 , 在线学习 , 学习 , 测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育,中考,高考,中小 学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小 升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档, 教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网, 在线学科网 ,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料,中考学习资料 ,单元测试,单元复习,单元试卷,考点, 模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.



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