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三角函数复习提纲(改)



必修 4<三角函数及解三角形>
题型 1:象限角 1) 终边相同的角 与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? 2k? ? ? , k ? ?

?

?

例(1)已知角 ? ? 45? ; (1)在区间 [?720?, 0? ] 内找出所有与角 ? 有相同终边的角 ? ; 2)已知α 所在象限

求α /n、nα 所在象限 已知 ? 是第几象限角,确定

?

正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即 为

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的 n
*

?

n

终边所落在的区域。

例.已知“ ? 是第三象限角,则

? 是第几象限角? 3

练: 角 ? 是第二象限的角,试分别确定 2? ,
3)根据符号判断角所在象限 三角函数的符号与角所在象限的关系: y + - sinx, O + - x - - O y + + x - + tanx, O y + - x

? ? , 的终边所在位置。 2 3

cosx,

例. (2001 全国理,1)若 sinθ cosθ >0,则θ 在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 练习:若 sinα <0, 且 tanα >0,则角α 是第__象限. 4)扇形的弧长和面积 弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数) , 扇形面积公式: S ?

1 1 l r ? | ? | r 2。 2 2
2

例.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 5)弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360?, 1? ? 题型 2:化简求值 1)三角函数定义



? 180 ? ? , 1? ? ? ? 57.3 180 ? ? ?

?

?

设 P(x, y)是角 ? 终边上任意一点,且 |PO| =r,则 sin ? = = ; 例。若角的终边过点(1,2),求 sin ? , cos? , tan? 的值. 练习:已知角 ? 的终边经过点 P(?3,4) ,则 tan ? = ( 3 3 4 (A) (B)? (C) 4 4 3 2)诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 -α sin cos tan
?
2 ??

; cos ? =

;tan ?

) (D)?
4 3

π-α

π+α

2π-α

2kπ+α

?
2

??

3? ?? 2

3? ?? 2

sin cos

例. (1)

? sin(180? ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360? ? ? ) ; tan(? ? 180? ) ? cos(?? ) ? cos(180? ? ? )

2.化简

sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? )
(3) sin 31? ? 6

9 1.求值(1) cos ? ? 4 11 (2)t an(- ? ) ? 6
2.若 cos?=

4 ,则 cos(???)=( 5 3 4 (A)? (B)? 5 5

) (C)

4 5

(D)

3 5

3)同角三角函数的基本关系式:大角化小,切割化弦 (1) 平方关系:sin2α+cos2α=1, (2) 商数关系:tanα= 例.已知 tan x ? 2 ,求 (1)

cos x ? sin x 2 2 1 2 (2) sin x ? cos x cos x ? sin x 3 4
2 2

(3) 2 sin x ? sin x cos x ? cos x 的值。 练习:1.已知 sin ? ? 2. 已知 cos ? ? ?

4 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? 的值 5

8 ,求 sin ? , tan? 的值。 17

3. 已知 tan ? =2,并且 ? 是第三象限角,求 sin ? , cos? 。

4)两角和与差以及二倍角等公式的运用 (1)基本公式:sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβ tan(α±β)= . (2)公式的变式 tanα+tanβ=tan (α+β)(1-tanα tanβ) (3) 常见的角的变换: 2 ? =(α+β)+(α-β);α=
? ??
2

cos(α±β)=

;

1-tanα tanβ=

tan? ? tan ? tan(? ? ? )

? ??
2



? ?? 2

α=(α+β)-β =(α-β)+β
(

=(α-

? ? )-( -β); 2 2

?
4

? x) ? (

?
4

? x) =

? 2

(4) 二倍角的正弦、余弦、正切 sin2α= ; cos2α= tan2α= .







例. (1) 1 ? 2 sin 2 22.50 ? ______; 2 cos
0 0 0

2

?
8

? 1 ? _____ ;

2 tan 22.5 0 ? _______ 1 ? tan2 22.5 0

(2) tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? _____________。
0

(3).设 ? ∈(0,

? ? 3 ),若 sin ? = ,则 2 cos( ? + )= 2 4 5

(4) 已知 tan( ? ? ?) ?

2 ? 3 ? , tan( ? ? ) ? , 那么 tan( ? ? ) ? 5 4 22 4
2 ,则 cos(? ? 2? ) ? ( 3
(C) )

(5).已知 tan( ? + ? )=3,tan( ? - ? )=5,则 tan2 ? = (6)(2010 全国卷 2 文数)已知 sin ? ? (A) ?

5 3

(B) ?

1 9

1 9

(D)

5 3

题型3:三角函数 1. “五点法”作 y=Asin(ωx+ ? )(ω>0)的图象. 令 x'=ωx+ ? 转化为 y=sinx',作图象用五点法,通过列表、描点后作图象. 例:作 y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? 在一个周期内的简图。 6?

2.图像的变换 由 y=sinx 的图象得到 y=Asin(ωx+ ? )的图象主要有下列两种方法: y=sinx 或 y=sinx
周期 变换 相位 变换 振幅 变换 相位 变换 周期 变换 振幅 变换

说明:前一种方法第一步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 第二步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 个单位.

个单位.后一种方法

例.已知函数 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来 的 2 倍,然后把所得的图象沿 x 轴向左平移

? ,这样得到的曲线和 y ? 2 sin x 的图象相同, 2

则已知函数 y ? f ( x) 的解析式为_______________________________.

练习. (全国一 8) 为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移 3.三角函数的图像与性质 函 性 质 数 y ? sin x

π? 只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 ( ) ? 的图像, 3? 5π B.向右平移 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义 域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ? 时 ,

??1,1?
?
2

? k ???

ymax ? 1 ; 当

当 x ? 2k? ? k ??? 时,

最值

x ? 2 k? ?

?
2

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期 性

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

2?

?

奇偶 性

奇函数 在 ? 2k? ?

偶函数

奇函数

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ?

单调 性

? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是减函数.
? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
x ? k? ? k ???

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称 中心 对称 轴

? k? ,0?? k ???
x ? k? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

?
2

?k ? ??

1)单调性、周期性、对称轴、对称中心 例. (1) 求y ? 2sin( (2)函数 y ? ? cos(

?

?3? y ? sin 2x

x ? ? ) 的单调递增区间是_______________________. 2 3

4

? x)的单调区间

的最小正周期 ;对称中心是 。

1 ? (4). y ? 4sin( x ? ) ? 1 的对称轴方程 2 3 ?5? f ( x) ? sin x cos x 的最小值
(2)求f (x ) ? sinx+sin(x+ 3

?
2

)的最大值

练习.1(安徽卷 8)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(



?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
12


2.(江苏卷 1) f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?
?? ? ? 上的最大值是( , ?4 2? ?
)

3.(湖南卷 6)函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? A.1 B.

3 D.1+ 3 2 4. (广东卷 12 )已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期
C. 是 .

1? 3 2

2)求解析式 例.已知定义在区间 [ ? ? 当 x ?[ ?

? 2

2 ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称, 3 6
y

? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) , 6 3 2 2
2 3

其图象如图所示. (1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式;
1
? ?

2 (2)求方程 f ( x ) ? 的解. 2



x??

?
6

o

? 6

2? 3

?

x

3)求复杂式子的周期,单调区间、最值:将复杂式子化成 y ? A sin(? x ? ? ) 的形式 例.(1)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ? x ?
2

? ?

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? .求: 8? 8? 8? ? ?

(Ⅰ) 函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 函数 f ( x ) 的单调增区间.

(2)设函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x ? a(a ? R) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
6

] 时, f ( x) 的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y ? f ( x)( x ? R) 的对

称轴方程. 题型四:解三角形 1)解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C. (1) 角与角关系:A+B+C = π, (2) 边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b. (3) 边与角关系: 正弦定理

余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA. 它们的变形形式有: b2 ? c2 ? a2 sin A a a = 2R sinA, . ? , cos A ? 2bc sin B b (4)面积公式:

a b c . ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C

S? ?

1 1 1 1 1 1 aha ? bhb ? ch c ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2 2 2 2

2)解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b. (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求 较短边所对的角,然后利用 A+B+C = π ,求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π ,求角 C. 例.(1)在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________。 (2)在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 300 , C ? 1350 , 则a ? _________。 (3) 在△ABC 中, 若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 , 则 C ? _____________。 (4)若在△ABC 中, ?A ? 600 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

(5)在△ABC 中, A ? 1200 , c ? b, a ? 21, S? ABC ? 3 ,求 b, c 。 3) 判断三角形形状:注意进行边角互化 例 (2)在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是什么? (3)在△ABC 中,若 a ? 9, b ? 10, c ? 12, 则△ABC 的形状是_________。

练习:1(2015 年全国卷 17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积

2.(17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 3asinC-ccosA



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