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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课件:1.1.1~1.1.2 变化率问题 导数的概念



1.1

变化率与导数

1.1.1~1.1.2

变化率问题

导数的概念

平均变化率
[提出问题]

假设下图是一座山的剖面示意图,建立如图所示的平 面直角坐标系.A 是出发点,H 是山顶.爬山路线用函数 y=f(x)表示.

/> 自变量 x 表示某旅游者的水平位置,函数值 y=f(x)表示 此时旅游者所在的高度.设点 A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐 标为(x2,y2). 问题 1:若旅游者从点 A 爬到点 B,且这段山路是平直 的,自变量 x 和函数值 y 的改变量 Δx,Δy 分别是多少?
提示: 自变量 x 的改变量为 Δx=x2-x1, 函数值的改变量 为 Δy=y2-y1.
问题 2:能否根据 Δy 的大小判断山路的陡峭程度?
提示:不能.

问题 3:怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢? Δy y2-y1 提示:对山坡 AB 来说, = 可以近似地刻画. Δx x2-x1 Δy 问题 4:能用 刻画山路陡峭程度的原因是什么? Δx Δy 提示:因 表示 A,B 两点所在直线的斜率 k,显然, Δx
“线段”所在直线的斜率越大,山路越陡.这就是说,竖直 Δy 位移与水平位移之比 越大,山路越陡;反之,山路越缓. Δx Δy 问题 5:从 A 到 B 与从 A 到 C,两者 相同吗? Δx
提示:不相同.

[导入新知]

1.函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),给定自变量的两个值 x1 和 x2,当自变 量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),我们把式子 f?x2?-f?x1? x2-x1 _______________ 称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率. 习惯上用 Δx 表示 x2-x1,即 Δx= x2-x1 ,可把 Δx 看作 是相对于 x1 的一个“增量”,可用 x1+Δx 代替 x2;类似地, Δy Δx Δy= f(x2)-f(x1) .于是,平均变化率可表示为_____.

2.平均变化率的几何意义 设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f(x) f?x2?-f?x1? Δy 的平均变化率 = = Δx x2-x1 f?x1+Δx?-f?x1? 为割线AB的斜率,如右图所示. Δx

[化解疑难]

对Δx,Δy的理解 (1)Δx,Δy是一个整体符号,而不是Δ与x,y相乘. (2)x1,x2是定义域内不同的两点,因此Δx≠0,但Δx可 正也可负;Δy=f(x2)-f(x1)是Δx=x2-x1相应的改变量,Δy 的值可正、可负,也可为零,因此平均变化率可正、可 负,也可为零.

导数的概念
[提出问题]
一质点的运动方程为s=8-3t2,其中s表示位移,t表示时 间.问题1:试求质点在[1,1+Δ t]这段时间内的平均速度.
2 2 Δs 8-3?1+Δt? -8+3×1 提示: = =-6-3Δt. Δt Δt

问题2:当Δt趋近于0时,问题1中的平均速度趋近于 何值?如何理解这一速度?
Δs 提示:当Δt趋近于0时, 趋近于-6.这时的平均速 Δt 度即为t=1时的瞬时速度.

[导入新知]
1.瞬时速度 (1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度. (2)若物体运动的路程与时间的关系式是 s=f(t),当 Δt 趋近于 0 时,函数 f(t)在 t0 到 t0+Δt 之间的平均变化率 f?t0+Δt?-f?t0? 趋于一个 定数,我们就把这个 定数叫作物体 Δt 在 t0 时刻的瞬时速度.

2.导数的定义 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim = lim ,我们称它为函数y=f(x) Δ x Δ x Δx→0 Δx→0 在x=x0处的导数,记作 f′(x0)或y′|x=x0 ,即f′(x0)= lim Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δy Δx Δx→0 =___________________. Δx

[化解疑难]
导数概念的解读 (1)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0 处及其附近的函数值有关,与Δx无关. (2) f′(x0)是一个常数,即当Δx→0时,存在一个常数 f?x0+Δx?-f?x0? Δy 与 无限接近.如果当Δx→0时, lim 不 Δx Δ x Δx→0 存在,则称函数f(x)在x=x0处不可导.

求函数的平均变化率
[例1] (1)已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx= ( B.0.41 D.0.44 )

0.1时,Δy的值为 A.0.40 C.0.43

1 (2)已知函数f(x)=x+ x ,分别计算f(x)在自变量x从1变 到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数 值变化得较快.

[解] 0.41.

(1)

Δy=f(2+Δx)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=

(2)自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为 1 f?2?-f?1? 2+2-?1+1? 1 = = ; 1 2 2-1 自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为 1 ? 1? ?3+ ? 5 + - f?5?-f?3? 5 ? 3? 14 = = . 2 15 5-3 1 14 1 因为 < ,所以函数f(x)=x+ x 在自变量x从3变到5时 2 15 函数值变化得较快.

[答案]

B

[类题通法] 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量Δx=x2-x1; (2)求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1); Δy f?x2?-f?x1? (3)求平均变化率 = . Δx x2-x1

[活学活用] 分别计算下面三个图象表示的函数h(t)在区间[0,3]上的平 均变化率.

解:对于图①,Δh=h(3)-h(0)=10-0=10, Δh 10 10 10 ∴ = = ,即平均变化率为 .同理可以算得图 Δt 3-0 3 3 10 ②、图③中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为 . 3

求函数在某点处的导数
[例2] (1)设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx) ( )

-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则 A.f′(x)=a C.f′(x0)=a B.f′(x)=b D.f′(x0)=b

(2)求函数f(x)= x在x=1处的导数.

[解]

(1)

f?x0+Δx?-f?x0? f′(x0)=Δ lim x→0 Δx

=Δ lim (a+b·Δx)=a. x→0 (2)由导数的定义知,函数在x=1处的导数f′(1)= lim f?1+Δx?-f?1? f?1+Δx?-f?1? ,而 = Δx Δx 1+Δx-1 = Δx

Δx→0

1 ,又Δ lim x→0 1+Δx+1
[答案] C

1 1 1 = ,所以f′(1)= . 2 1+Δx+1 2

[类题通法] 利用定义求导数的三步曲 由导数的定义知,求一个函数y=f(x)在x=x0处的导 数的步骤如下: (1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)取极限,得导数f′(x0)=Δ lim . x→0 Δx 简记为:一差、二比、三趋近.

[活学活用] 4 求函数 y= 2 在 x=2 处的导数. x 4 4 4 解:∵Δy= - 2= -1 ?Δx+2?2 2 ?Δx+2?2
?Δx?2+4Δx =- , ?Δx+2?2 Δx+4 Δy ∴ =- 2. Δx ?Δx+2? Δx+4 Δy ∴f′(2)=Δ lim =-Δ lim 2=-1. x→0 Δx x→0 ?Δx+2?

瞬时速度的应用
[例 3] 若一物体的运动距离 s(单位:m)与时间 t(单位:s)
2 ? ?29+3?t-3? ,0≤t<3, s=? 2 ? ?3t +2,t≥3

的关系可用函数

表示.求:

(1)物体在 t=3 s 到 t=5 s 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t=1 s 时的瞬时速度.
[解] (1)因为Δs=3×52+2-(3×32+2)=48,Δt=2,

Δs 48 所以物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度为 = Δt 2 =24(m/s).

(2)因为Δs=29+3[(1+Δt)-3]2-29-3×(1-3)2=
2 3 ? Δ t ? -12Δt Δs 2 3(Δt) -12Δt,所以 = =3Δt-12,则物体在t Δt Δt

Δs =1 s时的瞬时速度为s′(1)= Δ lim =Δ lim (3Δt-12)=- t→0 Δt t→0 12(m/s).

[类题通法] 求瞬时速度的步骤 (1)求位移增量,Δs=s(t0+Δt)-s(t0); Δs (2)求平均速度,v= ; Δt


s?t0+Δt?-s?t0? Δs (3)取极限,Δ lim =Δ lim ; x→0 Δt t→0 Δt Δs (4)若极限存在,则t0时刻的瞬时速度为v=Δ lim . t→0 Δt

[活学活用] 一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时 间单位:s),若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s, 求常数a的值.
解:因为Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a· 22-1 Δs =4aΔt+a(Δt) ,所以 =4a+aΔt,故在t=2 s时, Δt
2

Δs 瞬时速度为s′(2)=liΔm t→0 Δt =4a(m/s). 由题意知,4a=8,所以a=2.

1.对导数的概念理解不透彻
[典例] 已知 f(x)在 x=x0 处的导数为 4,则Δ lim x→0

f?x0+2Δx?-f?x0? =________. Δx

[解析]

f?x0+2Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx

?f?x0+2Δx?-f?x0? ? ? ? =Δ lim × 2 ? x→0 ? 2Δx ? ?

f?x0+2Δx?-f?x0? =2lim Δx→0 2Δx =2f′(x0)=2×4=8. [答案] 8

[易错防范] 1.本题分子中x的增量是2Δx,即(x0+2Δx)-x0=2Δx,而 分母为Δx,两者不是等量的,如果忽视该点,则易得出结论为4 的错误答案. 2.在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是 哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致, 常见的形式还有: f?x0-Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx f?x0-Δx?-f?x0? =-Δ lim =-f′(x0). x→0 - Δx

[成功破障] f?1-2Δx?-f?1? 已知f′(1)=-2,则Δ lim =________________. x→0 Δx

f?1-2Δx?-f?1? 解析:Δ lim x→0 Δx f?1-2Δx?-f?1? =(-2)×Δ lim x→0 -2Δx =(-2)×(-2)=4. 答案:4

[随堂即时演练]
1.如果函数 y=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3,则 a= A.-3 C.3 B. 2 ( )

D.-2 Δy ?2a+b?-?a+b? 解析:根据平均变化率的定义,可知 = Δx 2-1

=a=3. 答案:C

f?x0+h?-f?x0? 2.若f(x)在x=x0处存在导数,则lim ( h h→0 A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关,而与h无关 C.仅与h有关,而与x0无关 D.以上答案都不对
解析:由导数的定义知,函数在 x=x0 处的导数只与 x0 有关. 答案:B

)

3.已知函数y=2x2-1的图象上一点(1,1)及其邻近一点 Δy (1+Δx,1+Δy),则 等于________. Δx
2 Δy 2?1+Δx? -1-1 解析: = =4+2Δx. Δx Δx

答案:4+2Δx

4.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2(t≥0),其中 s 的单 位是米,t 的单位是秒,那么该物体在 3 秒末的瞬时速 度是________.

Δs s?3+Δt?-s?3? lim 解析:∵ = =Δt+5,Δ t→0 (Δt+5)=5, Δt Δt ∴该物体在 3 秒末的瞬时速度是 5 米/秒. 答案:5 米/秒

1 5.求 y=x +x+5 在 x=2 处的导数. ? ? 1 1 2 2 解:∵Δy=(2+Δx) + +5-?2 +2+5? 2+Δx ? ?
2

Δx =4Δx+(Δx) - , 2?2+Δx?
2

Δy 1 ∴ =4+Δx- , Δx 4+2Δx Δy ∴f′(2)= lim Δx→0 Δx
? 1 ? ? ? 4 + Δ x - = lim 4+2Δx? Δx→0 ? ? ?

1 15 =4+0- = . 4+2×0 4



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