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2013年北京市各区高三二模试题汇编--函数与导数(理科)



2013 年北京市各区高三二模试题汇编--函数与导数(理科)
0? 时,f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0(其 (2013 年东城二模理科) 已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? ? ?? ,
1? ? 1? ? 中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数) ,若 a ? 30.3 ? f 30.3 ,b ? ? log? 3? ? f ? log? 3? , c ? ? log 3 ? ? f ? log 3 ? ,则 a ,b , c 的 9? ? 9? ? 大小关系是( C ) A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

? ? ? ?

(2013 年东城二模理科) (本小题共 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ( a ? 0 ) .
⑴ 求 f ? x ? 的单调区间;⑵ 如果 P ? x0 ,y0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 上的任意一点,若以 P ? x0 ,y0 ? 为切点的切线的斜率
1 k ≤ 恒成立,求实数 a 的最小值; 2
1 的实根情况. 2x 2 a 1 a x?a 解:(Ⅰ) f ( x) ? ln x ? ,定义域为 (0, ??) ,o 则 f | ( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x 因为 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a) , 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) .

a x

⑶ 讨论关于 x 的方程 f ? x ? ?

x 3 ? 2 ? bx ? a ?

?

(Ⅱ)由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足
k ? f ?( x0 ) ? x0 ? a 1 ? 2 x0 2

1 ,所以 a ? ? x02 ? x0 对 x0 ? 0 恒成立. ( x0 ? 0 ) 2

1 1 1 又当 x0 ? 0 时, ? x02 ? x0 ? ,所以 a 的最小值为 . 2 2 2

x3 ? 2(bx ? a) 1 1 1 ? 化简得 b ? ln x ? x2 + 2 2 2x 2 1 1 1 (1 ? x)(1 ? x) 令 h( x) ? ln x ? x2 ? b ? ,则 h?( x) ? ? x ? . 2 2 x x 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减.
(Ⅲ)由题意,方程 f ( x) ?

x ? (0, ??)

1 1 所以 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值即最大值,最大值为 h(1) ? ln1 ? ? 12 ? b ? ? ?b . 2 2 所以 当 ?b ? 0 , 即 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有两个交点,

方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有两个实根, 新 课 标 2x 2



一 网

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有一个交点, 方程 f ( x) ?
y ? h( x) 的图象与 x 轴无交点,方程 f ( x) ?
1
1

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有一个实根, 当 b ? 0 时, 2x 2

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 无实根. …14 分 2x 2

(2013 年西城二模理科)设 a ? 2 2 , b ? 33 , c ? log3 2 ,则( D )
(A) b ? a ? c (B ) a ? b ? c

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b

(2013 年西城二模理科)已知函数 f ( x) ? x ? [ x] , 其中 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数. 若
关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 ( B )

1 1 1 2 4 3 1 1 1 (D) (? , ? ] [ ,1) 3 4 2 2 (2013 年西城二模理科)(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 a ? R . 3
(A) [?1, ? ) (B) (?1, ? ] [ , ) (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最大值和最小值. (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 R , 且 f ?( x) ? 2x2 ? 4x ? 2 ? a . 当 a ? 2 时, f (1) ? ? ??????2 分

1 1 1 ( , ] 2 4 3 1 1 1 (C) [ ? , ? ) ( ,1] 3 4 2

1 , f ?(1) ? ?2 , 3 1 ? ?2( x ? 1) , 3
??????4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 即 6x ? 3 y ? 5 ? 0 . (Ⅱ)解:方程 f ?( x) ? 0 的判别式为 ? ? 8a .

(ⅰ)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (2) ?

7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3

??????6 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 ?

2a 2a ,或 x2 ? 1 ? . 2 2

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x)
f ( x)
(??, x1 )
x1

( x1 , x2 )
?

x2
0

( x2 , ? ?)

?

0

?







故 f ( x ) 的单调增区间为 (??, 1 ?

2a 2a 2a 2a ) , (1 ? , ?? ) ;单调减区间为 (1 ? ,1 ? ). 2 2 2 2
??????8 分

① 当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间 [2,3]

上的最小值是 f (2) ?

7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3

??????10 分

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间 ( x2 ,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f ( x2 ) ? 因为 f (3) ? f (2) ? 所以 当 2 ? a ?

5 a 2a . ?a? 3 3

??????11 分

14 ?a , 3

14 14 ? a ? 8 时, f ( x) 在区间 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最大值是 f (3) ? 7 ? 3a ;当 3 3 7 ??????12 分 [2, 3]上的最大值是 f (2) ? ? 2a . 3
③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a ;最大值是 f (2) ? 综上, 当 a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 当2 ? a ?

7 ? 2a .??????14 分 3

7 ? 2 a ,最大值是 7 ? 3a ; 3

14 5 a 2a 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 ? a ? ,最大值是 7 ? 3a ; 3 3 3



7 14 5 a 2a ? a ? 8 时, f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 ? a ? ,最大值是 ? 2 a ; 3 3 3 3 7 ? 2a . 3

当 a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 7 ? 3a ,最大值是

1 ? 1 1 a ? ln , b ? sin , c ? 2 2 2 2 (2013 年海淀二模理科)已知 ,则 a, b, c 按照从大到小 排列为___ c ? b ? a _. ....

(2013 年海淀二模理科) 已知函数 f ( x ) ? e x ,点 A( a,0) 为一定点,直线 x ? t (t ? a ) 分别与函数 f ( x ) 的图象和 x
轴交于点 M , N ,记 ?AMN 的面积为 S (t ) .(I)当 a ? 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间; (II)当 a ? 2 时, 若 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e , 求实数 a 的取值范围. 解: (I) 因为 S (t ) ?

1 ???????2 分 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2 1 1 1 当 a ? 0 , S (t ) ? | t | et ,其中 t ? 0 当 t ? 0 时, S (t ) ? tet , S '(t ) ? (t ? 1)et , 2 2 2 所以 S '(t ) ? 0 ,所以 S (t ) 在 (0, ??) 上递增, ????4 分

当 t ? 0 时, S (t ) ? ? tet , S '(t ) ? ? (t ? 1)et ,

1 2

1 2

1 2 1 令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ?????7 分 2 综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, ??) , ( ??, ?1) S (t ) 的单调递增区间为 ( ?1,0)
令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ??, ?1) 上递增

1 (II)因为 S (t ) ? | t ? a | et ,其中 t ? a 2

1 S ( t ) ? (a ? t )et t ? [0,2] a ? 2 2 当 , 时,

因为 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 ??????8 分 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ,令 S '(t ) ? 0 ,得 t ? a ? 1 2 1 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) ? (a ? 2)e2 2 1 2 令 (a ? 2)e2 ? e ,解得 ??10 分 a ? ? 2 ,所以 a ? 3 2 e 1 t 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时 S ' (t ) ? ? [ t? ( a? 1 ) ]? e对 t ? 0 (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S (a ? 1) ? ea ?1 2 1 令 S (a ? 1) ? ea ?1 ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 所以 ln 2 ? 2 ? a ? 3 ???12 分 2
综上所述, ln 2 ? 2 ? a ???13 分
1

(2013 年朝阳二模理科) (2)若 ? ( x 2 ? mx)dx ? 0 ,则实数 m 的值为(B)
0

A. ?

1 3

B. ?

2 3

C. ?1

D. ?2

? f ( x), x ? 0, x (2013 年朝阳二模理科) (7)已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ? 给出下 ?? f ( x), x ? 0.
列命题: ① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数; ③当 a ? 0 时, 若 mn ? 0 ,m ? n ? 0 , 总有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是(D) A.② B.①②

C.③

D.②③

(2013 年朝阳二模理科) (18) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

mx ?1( m ? 0 ) , g () x ?e x2( ax a) ?R . 2 x ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围. (18) (本小题满分 1 3 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ?( x) ?

m(1 ? x2 ) m(1 ? x)(1 ? x) .????1 分 ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

①当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)
?

(?1, 1)

(1, ??)
?

?

f ( x)
所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 1) ,单调递减区间是 (??, ?1) , (1, ??) . ????3 分 ②当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

(?1, 1)
?

(1, ??)

?

?

f ( x)
所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间是 (?1, 1) . ?????5 分 (Ⅱ)依题意, “当 m ? 0 时,对于任意 x1 , x2 ? [0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立”等价于 “当 m ? 0 时,对于任意

x ? [0, 2] , f ( x) min ? g ( x) max 成立”.
当 m ? 0 时,由(Ⅰ)知,函数 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, 2] 上单调递减, 因为 f (0) ? 1 , f (2) ?

2m ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 . 5

所以应满足 g ( x) max ? 1 . ???????????????????????6 分

因为 g ( x) ? x 2 e ax ,所以 g ?( x) ? (ax 2 + 2 x)eax .

?????7 分

①当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? x 2 , ?x ? [0, 2] , g ( x) max ? g (2) ? 4 , 显然不满足 g ( x) max ? 1 ,故 a ? 0 不成立. ②当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? ? (ⅰ)当 ? ?????8 分

2 . a

2 ? 2 ,即 ?1 ? a ? 0 时, a 在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,
所以函数 g ( x) max ? g (2) ? 4e 2 a .

由 4e 2 a ? 1 得, a ? ? ln 2 ,所以 ?1 ? a ? ? ln 2 . (ⅱ)当 0 ? ?

?????10 分

2 ? 2 ,即 a ? ?1 时, a 2 2 在 [0, ? ) 上 g ?( x) ? 0 ,在 (? , 2] 上 g ?( x) ? 0 , a a 2 2 所以函数 g ( x) 在 [0, ? ) 上单调递增,在 (? , 2] 上单调递减, a a 2 4 所以 g ( x) max ? g (? ) ? 2 2 . a ae 2 4 由 2 2 ? 1 得, a ? ? ,所以 a ? ?1 . ?????11 分 e ae 2 (ⅲ)当 ? ? 0 ,即 a ? 0 时,显然在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 , a
函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,且 g ( x) max ? g (2) ? 4e 2 a . 显然 g ( x) max ? 4e 2 a ? 1 不成立,故 a ? 0 不成立. 综上所述, a 的取值范围是 (??, ? ln 2] . ?????12 分 ?????13 分

(2013 年丰台二模理科)已知偶函数 f(x)(x∈R) ,当 x ? (?2, 0] 时,f(x)=-x(2+x),当 x ?[2, ??) 时,f(x)=(x-2)(a-x)
( a ? R ).关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点; ② 若对于 ?m ? [0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2; ③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的 序号是( (A) ①② D ) (C) ②③ (D) ①②③

(B) ①③

(2013 年丰台二模理科)曲线 f ( x) ? x ?

1 1 在 x ? 处的切线方程是__3x+y-4=0____,在 x=x0 处的切线与直线 x 2

y ? x 和 y 轴围成三角形的面积为

2



1 2 (2013 年丰台二模理科) (本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2
(Ⅱ)若 a>0,讨论 f ( x ) 的单调性. 解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} , 当a ? ? ……………………….1 分 ……………………….2 分

( x ? 2)( x ? 2) 1 时, f ?( x) ? ? , 2x 2

令 f ?( x) ? 0, 在[1,e]上得极值点 x ? 2, x

[1,2)

2 0

(2, e]

f ?( x ) f ( x)

?


?
减 ……………………….4 分

2 ln 2 ? 1

1 e2 f (1) ? ? , f (e) ? 2 ? , 4 4

……………………….5 分

? f (1) ? f (e), ? f ( x)max ? f (2) ? 2 ln 2 ? 1, f ( x) min ? f (1) ? ? . ………………….7 分
(Ⅱ) f ?( x) ? ① 0?a?

1 4

( x ? 2)(ax ? 1) , x

……………………….8 分

1 1 1 时,由 f ?( x ) >0 得 0<x<2 或 x> ,所以 f(x)的单调增区间是(0,2), ( , ??) , a a 2 1 1 ,所以 f(x)的单调减区间是(2, ); a a
……………………….10 分

由 f ?( x ) <0 得 2<x< ②a ?

1 时, f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,且当且仅当 f ?(2) ? 0 , 2
……………………….11 分

? f ( x) 在(0,+?)单调递增;
③当 a ?

1 1 1 时,由 f ?( x ) >0 得 0<x< 或 x>2,所以 f(x)的单调增区间是(0, ), (2, ??) , a a 2 1 1 <x<2,所以 f(x)的单调减区间是( ,2). a a
……………………….13 分

由 f ?( x ) <0 得

(2013 年顺义二模理科) 14.设定义在 R 上的函数 f ? x ? 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?? x ? 是 f ? x ? 的导函数.当

x ? ?0, ? ? 时 , 0 ? f ? x ? ? 1 ; 当 x ? ?0, ? ? 且 x ?
的零点个数为 6 .

?
2

时, ? x ?

? ?

?? ? f ?? x ? ? 0 . 则函数 y ? f ? x ? ? cos x 在 ?? 3? ,3? ? 上
2?

(2013 年顺义二模理科) 18.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ?
(I)若 x ? .解: f ?? x ? ?

ex ,其中 a 为正实数, e ? 2.718? . 1 ? ax 2

?ax

1 是 y ? f ? x ? 的一个极值点,求 a 的值;(II)求 f ? x ? 的单调区间. 2
2

?1 ? ax ?

? 2ax ? 1 e x
2 2

?

.(I)因为 x ?

1 是函数 y ? f ? x ? 的一个极值点, 2

所以 f ??

1 4 ?1? ? ? 0 ,因此 a ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? . 4 3 ?2? 4 1 4 时, x ? 是 y ? f ( x ) 的一个极值点,故所求 a 的值为 .????4 分 3 2 3
2 2

经检验,当 a ? (II) f ?? x ? ?

?ax

2

?1 ? ax ?
2

? 2ax ? 1 e x

? ?a ? 0? 令 f ??x ? ? 0 得 ax

2

? 2ax ? 1 ? 0 ??①

(i)当 ? ? ?? 2a ? ? 4a ? 0 ,即 a ? 1 时,方程①两根为

x1 ?

2a ? 4a 2 ? 4a a ? a2 ? a a ? a2 ? a ? , x2 ? . 2a a a

此时 f ?? x ? 与 f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x ? f ?x ?

2 ? ? ? ?, a ? a ? a ? a ?

? ? ? ?

a ? a2 ? a a

? a ? a2 ? a a ? a2 ? a ? , ? a a ?

? ? ? ?

a ? a2 ? a a

? a ? a2 ? a ? ? ,?? ? ? ? a ? ?

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


? a ? a2 ? a ? 所以当 a ? 1 时 , f ? x ? 的单调递增区间为 ? ?, ? a ?

? ? ? a ? a2 ? a ? ,? ,?? ? ; f ? x ? 的单调递减区间为 ? ? ? a ? ? ?

? a ? a2 ? a a ? a2 ? a ? , ? a a ?

? ?. ? ?

(ii)当 ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 时,即 0 ? a ? 1 时, ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,即 f ?? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 在 ?? ?,?? ? 上单调递增.所以 当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?? ? .?????13 分

(2013 年 顺 义 二 模 理 科 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? 2ae x ? 1, g ? x ? ? ln x ? ln a ? 1 ? ln 2 , 其 中 a 为 大 于 零 的 常
数, e ? 2.718? ,函数 y ? f ? x ? 的图像与坐标轴交点处的切线为 l1 ,函数 y ? g ? x ? 的图像与直线 y ? 1 交点处的切

线为 l 2 ,且 l1 // l 2 . (I)若在闭区间 ?1,5? 上存在 x 使不等式 x ? m ?

x f ? x ? ? x 成立,求实数 m 的取值范围;

(II)对于函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 公共定义域内的任意实数 x 0 ,我们把 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 的值称为两函数在 x 0 处 的偏差.求证:函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.
x 解:(I)函数 y ? f ? x ? 的图像与坐标轴的交点为 ?0,2a ? 1? ,又 f ?? x ? ? 2ae ,? f ??0 ? ? 2a .

函数 y ? g ? x ? 的图像与直线 y ? 1 的交点为 ?2a,1? ,又 g ?? x ? ? 由题意可知, 2a ? 不等式 x ? m ? 令 h? x ? ? x ?

1 1 ,? g ??2a ? ? . x 2a

1 1 1 ,? a 2 ? ,又 a ? 0 ,所以 a ? .?????????3 分 2a 4 2
x f ? x ? ? x 可化为 m ? x ? x f ? x ? ? x ,即 m ? x ? x e x .

? 1 ? x ? x? x e x ,则 h ?? x ? ? 1 ? ? ? ?e , ?2 x ?

? x ? 0,?

? 1 ? x ? x? ? x ? 2 .又 x ? 0 时, e x ? 1 ,? ? ? ?e ? 1 , 2 x ?2 x ?

1

故 h ?? x ? ? 0 ,? h? x ? 在 ?0,?? ? 上是减函数, 即 h? x ? 在 ?1,5? 上是减函数, 因此,在闭区间 ?1,5? 上,若存在 x 使不等式 x ? m ?

x f ? x ? ? x 成立,

只需 m ? h?1? ? 1 ? e ,所以实数 m 的取值范围是 ?? ?,1 ? e ? .???????8 分 (II)证明: y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 公共定义域为 ?0,?? ? ,由(I)可知, a ?

1 . 2

? f ? x ? ? g ? x ? ? e x ? ln x .令 q? x ? ? e x ? x ? 1 ,则 q ?? x ? ? e x ? 1 ? 0 ,

? q? x ? 在 ?0,?? ? 上是增函数,故 q? x ? ? q?0 ? ? 0 ,即 e x ? 1 ? x .①
令 m? x ? ? ln x ? x ? 1 ,则 m ?? x ? ?

1 ? 1 ,当 x ? 1 时, m?? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, m?? x ? ? 0 , x

? m? x ? 有最大值 m?1? ? 0 ,因此 ln x ? 1 ? x .②由①②得 e x ? 1 ? ln x ? 1 ,即 e x ? ln x ? 2 .
又由①得 e x ? x ? 1 ? x ,由②得 ln x ? x ? 1 ? x ,? e x ? ln x ,

? f ?x ? ? g ?x ? ? e x ? ln x ? 2 ,故函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.

? 4 ( x ? 4) ?1 ? , (2013 年昌平二模理科)已知函数 f ( x) ? ? x ? ?log 2 x, (0 ? x ? 4)
若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是

(1, 2)

.

(2013 年昌平二模理科) (18) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 a ? 2, 求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值; (III)若 f ( x ) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围. (18) (本小题满分 13 分)解: (I) a ? 2, f ( x) ?

1 2 2 x ? 2 ln x, f '( x) ? x ? , 2 x

1 f '(1) ? ?1, f (1) ? , 2
f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? 2 y ? 3 ? 0. ………………………..3 分
(Ⅱ)由 f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . 由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a. x x

①若 a ? 1,即0 ? a ? 1, 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, e] 上单调递增, 因此, f ( x ) 在区间 [1, e] 的最小值为 f (1) ?

1 . 2

②若 1 ? a ? e,即 1 ? a ? e2 , 在 ( 1, a ) 上, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;在 ( a , e) 上, f '( x) ? 0 , f ( x) 单 调递增,因此 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值为 f ( a ) ?

1 a(1 ? ln a). 2

③若 a ? e,即a ? e2 , 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, e] 上单调递减, 因此, f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值为 f (e) ? 综上,当 0 ? a ? 1 时, f min ( x) ?
2 当 a ? e 时, f min ( x) ?

1 2 e ?a. 2

1 1 2 ;当 1 ? a ? e 时, f min ( x) ? a (1 ? ln a ) ; 2 2
……………………………….9 分
2

1 2 e ?a. 2

(III) 由(II)可知当 0 ? a ? 1 或 a ? e 时, f ( x) 在 (1, e) 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点. 当 1 ? a ? e 时,要使 f ( x ) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,则
2

?1 ? 2 a (1 ? ln a ) ? 0, ? ?a ? e 1 1 2 1 2 ? ? ∴ ? f (1) ? ? 0, 即? 1 2 ,此时, e ? a ? e .所以, a 的取值范围为 (e, e ). ………………..13 分 2 2 2 a? e ? ? ? 2 1 2 ? ? f (e) ? 2 e ? a ? 0, ?

(2013 年房山二模理科)
2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是(C) A. y ? x ? 1 B. y ? tan x C. y ? x3 D. y ? log2 x

(2013 年房山二模理科)
已知函数 f ( x) ? ( x ? x ? a)e ( a ? 0 ). (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
2 x a

(Ⅱ)当 x ? ?5 时, f ( x ) 取得极值. ② 若 m ? ?5 ,求函数 f ( x ) 在 ?m, m ?1? 上的最小值;

② 求证:对任意 x1 , x2 ?[?2,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 (Ⅰ) f '( x) ?
x x x 1 2 1 ( x ? x ? a)e a ? (2 x ? 1)e a ? x( x ? 1 ? 2a)e a a a

????1 分

当 a ? 1 时, f '( x) ? x( x ? 3)e x 解 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?3 , 解 f ?( x) ? 0 得 ?3 ? x ? 0 ?????2 分 所以 f ( x ) 单调增区间为 (??, ?3) 和 (0, ??) ,单调减区间为 (?3, 0) ???3 分 (Ⅱ)①当 x ? ?5 时, f ( x ) 取得极值, 所以 f '(?5) ? 解得 a ? 2 (经检验 a ? 2 符合题意)
x 1 ( ?5)( ?5 ?1 ? 2 a) e a ? 0 a

?????4 分

f '( x) ?

1 x ? x ? 5? e x 2
x

(??, ?5)
+

?5
0

(?5, 0)
-

0

(0, ??)
+

f ?( x )

0

f ( x)
所以函数 f ( x ) 在 ? ??, ?5?

↗ ,



↗ ??5 分

? 0 ? ? ? 递增,在 ? ?5,0? 递减.

当 ?5 ? m ? ?1 时, f ( x ) 在 ?m, m ?1? 单调递减,

f min ( x) ? f (m ? 1) ? m(m ? 3)e
当 ?1 ? m ? 0 时

m?1 2

??????6 分

m ? 0 ? m ?1

f ( x) 在 ?m,0? 单调递减,在 ?0, m ? 1? 单调递增,

f min ( x) ? f (0) ? ?2 .
当 m ? 0 时, f ( x ) 在 ?m, m ?1? 单调递增,

??????7 分

f min ( x) ? f (m) ? (m ? 2)(m ? 1)e 2

m

????????8 分

综上, f ( x ) 在 ?m, m ?1? 上的最小值
m ?1 ? 2 m ( m ? 3) e , ?5 ? m ? ?1, ? ? f min ( x) ? ? ?2, ?1 ? m ? 0, ? m 2 ? m ? 0. ?(m ? 2)(m ? 1)e ,

????9 分

②令 f '( x) ? 0 得 x ? 0,

x ? ?5 (舍)
所以 f max ( x) ? 0,

因为 f (?2) ? 0, f (0) ? ?2, f (1) ? 0

fmin ( x) ? ?2

?????11 分

所以,对任意 x1 , x2 ?[?2,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f max ( x) ? f min ( x) ? 2 ????13 分

集所能集,不足之处敬请见谅!



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