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高中数学选修2-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习题及答案



高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 常用逻辑用语 1.1 命题与量词

一、学习任务 1. 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义,会分析四种命题的相互关系. 2. 了解全称量词与存在量词的意义,能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.

二、知识清单
全(特)称命题的概念与真假 判断



命题的概念与真假判断

三、知识讲解
1.命题的概念与真假判断 描述: 命题的概念 一般地,用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition).判断一个 语句是不是命题,就要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.一个命题一 般可以用一个小写英文字母来表示,如 p ,q ,r ,?. 真命题与假命题 判断为真的命题称为真命题(true proposition);判断为假的命题称为假命题(false proposition). 例题: 判断下列语句中哪些是命题? (1) √2 是无限循环小数; (2) x 2 ? 3x + 2 = 0; (3) 当 x = 4 时, 2x > 0 ; (4) 垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗? (5) 一个数不是奇数就是偶数; (6) 2030 年 6 月 1 日上海会下雨. 解:(2)语句中含有变量 x ,在没有给 x 赋值前,无法判断 x 2 ? 3x + 2 = 0 的真假,所以 不是命题;(4)是疑问句,没有做出任何判断,所以不能判断真假,所以不是命题.(1)、 (3)、(5)、(6)均可判断真假,故均为命题. 判断下列命题的真假. (1)一个实数不是质数就是合数; (2)若 x = 3 或 x = 7 ,则 (x ? 3)(x ? 7) = 0; (3)正方形既是矩形又是菱形; (4)若 A ∩ B = B,则 B ? A. 解:(1)假命题,如实数 1 既不是质数也不是合数;(2)、(3)、(4)均为真命题.

“不等式 x 2 + (a ? 1)x + a2 ? 0 的解集为 ? ”是真命题,求 a 的取值范围. 解:命题为真命题,则可知二次函数 y = x2 + (a ? 1)x + a2 的图象与 x轴没有交点,即

Δ = (a ? 1)2 ? 4a2 < 0,解得 a < ?1 或 a >

1 . 3

2.全(特)称命题的概念与真假判断 描述: 全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),并用符 号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.通常,将含有变量 x 的语句用 p(x) , q(x) , r(x) , ? 来表示,变量 x 的取值范围用 M 表示,那么,全称命题“对 M 中任意 一个 x ,有 p(x) 成立”可用符号简记为 ?x ∈ M ,p(x) . 特称量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier),并 用符号“ ? ”表示.含有特称量词的命题,叫做特称命题.特称命题“存在 M 中元素 x ,使 p(x) 成立”可用符号简记为 ?x ∈ M ,p(x) . 例题: 用量词符号 “? ” 表达下列命题. (1)实数的平方大于或等于 0 ; (2)任意一个无理数的平方仍为无理数; (3)对于任意的正数 a ,都有函数 y = loga x 是增函数; (4)对任意角 α ,都有 sin 2 α + cos2 α = 1 . 解:(1)?x ∈ R, x 2 ? 0; (2)?x ∈ {x|x是无理数},x 2 是无理数; (3)?a > 0 ,函数 y = loga x 是增函数 ; (4)?α ∈ {角}, sin 2 α + cos2 α = 1 . 用量词符号“? ” 表达下列命题. (1)存在实数 x ,使得 x 3 > x 2 ; (2)存在实数对 (x, y),使 2x + 3y < 0 成立; (3)有些实数的绝对值是正数; (4)至少有一个 x 0 ∈ {x|x是无理数} ,x2 是无理数. 0 3 2 解:(1)?x ∈ R,x > x ; (2)?(x, y),x ∈ R ,y ∈ R,2x + 3y < 0 ; (3)?x ∈ R,|x| > 0 ; (4)?x 0 ∈ {x|x是无理数}, x 2 是无理数. 0 判断下列命题的真假. (1)?x ∈ R,x 2 + 1 > 0; (2)?x 0 ∈ Q,x 2 = 2. 0 解:(1)因为 ?x ∈ R ,都有 x2 ? 0 成立,所以 x2 + 1 ? 1 > 0 ,故命题为真命题; (2)因为使得 x 2 = 2 成立的数只有 ±√2 ,而它们不是有理数.因此没有任何一个有理数的 平方等于 √2 ,故命题为假命题. 已知 f (x) = 3ax 2 + 6x ? 1(a ∈ R) . (1)当 a = ?3 时,求证:对任意的 x ∈ R ,都有 f (x) ? 0 ; (2)如果对任意 x ∈ R ,不等式 f (x) ? 4x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

解:(1)当 a = ?3 时,

( )?4 f (x) = ?9x2 + 6x ? 1 = ?(3x ? 1)2 ? 0,

所以对任意的 x ∈ R ,都有 f (x) ? 0 . (2)因为对任意 x ∈ R ,不等式 f (x) ? 4x 恒成立,即 3ax2 + 2x ? 1 ? 0 恒成立,所以

{ 3a < 0 Δ = 4 + 12a ? 0
解得 a ? ?

1 1 ,所以 a 的取值范围是 (?∞, ? ] . 3 3

四、课后作业

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1. 下列语句中是命题的是 ( C.x 2 + 2x ? 1 > 0
答案: B

)
B.sin 45? = 1 D.梯形是不是平面图形呢?

A.周期函数的和是周期函数吗?

2. 下列命题中的假命题是 ( A.?x ∈ R, 2 x?1 > 0 C.?x ∈ R, lg x < 1
答案: B

)
B.?x ∈ N ? , (x ? 1)2 > 0 D.?x ∈ R, tan x = 2

3. 已知三个不等式:ab > 0 ,bc ? ad > 0, A.0
答案: D 解析:

c d ? > 0 (其中 a, b, c, d 均为实数).用其中两个不等式 a b 作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成真命题的个数是 ( )
B.1 易知由 ab > 0 ,bc ? ad > 0 ? C.2 D.3

c d c d ? > 0 ;ab > 0 , ? > 0 ? bc ? ad > 0; a b a b c d bc ? ad > 0, ? > 0 ? ab > 0. a b


4. 若命题" ?x0 ∈ R, x 2 + 2ax0 + 2 ? a = 0 " 是真命题,则实数 a 的取值范围是 0
答案:

a ? ?2 或 a ? 1

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