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电、磁学辅导



(电、磁学部分)

第五章 静电场
基本要求
1. 掌握电场强度的概念和电场叠加原理, 掌握已知电荷的分布,计算电场强度的方法. 2. 理解静电场的两个基本定理, 掌握用高斯定理计算电场强度的方法.
3. 掌握电场力做功特点, 掌握电势的概念和电势叠加原理, 掌握已知电荷分布计算电势的方法.

基本内容

r />1. 概念
? 1)电场强度 和电场强度叠加原理 E ?
? F E ? (矢量:大小和方向) q


? ? ? E ? E1 ? E2 ? ?

2)电势V 和电势叠加原理 ? ? V ? V1 ? V2 ? ? V ? ? E ?d l ? ? 1 n in 基 高斯定理 E ? dS ? ? qi — 有源场 静 ? S ? 0 i ?1 本 3) 电 (电场线有头有尾、不闭合) ? ? 性 环路定理 E ? dl ? 0 — 保守场 场 ?l 质


(线积分与路径无关、引入电势 )

2. 知识结构
场源电荷分布

? ? ? ? E ? dl ? 0 Φ ? ? E ? dS ? l S ? ? ? ? ? E F ? qE (点电荷)F ? ? Edq(非点 电荷) 场 ? ? ? ? 零 ? dV 分 E ? ? V ? ?考 E ? d l W12 ? q ?LE ? dl ? q(V1 ? V2 ) dn ? ? 布 U12 ? ? E ? dl ? V1 ? V2 V
L

Ep ? qV

W12 ? ?q( EP 2 ? EP1 )

关键—— 场分布—— E与V

3. 场量求解( E与V ) —— 最佳路径
1) 高度对称性场 ( 球对称、轴对称、面对称 ) ? 零 ? ? ? 1 n in V ? E ?d l 考 qi E ( 分布 ) ?SE ? dS ? ? 0 ? ? ? i ?1 U12 ? ? E ? dl L 用高斯定理求 E 的方法: ①对电场进行对称性分析 ②选取适合的高斯面

?

(a)待求场强的场点要在高斯面上; ? (b)高斯面上各部分面积与 E 有恒定的夹角; ? (c)各部分高斯面上 E 的大小应各自为一常数。

③确定面内电荷代数和 ? q ,由方程求解

典型例题:教材P.169?171 例2、例3、例4 对应习题:教材P.192?193 5-17、19、20、21 5-17 一带电球体半径为R ,其电荷体密度分布为

?kr (r ? R) ? ?? ? 0 (r ? R)

k为一正的常数,

求 (1) 球体内、外的电场强度;
(2)球内任一点的电势

?

R

典型例题:教材P.169?171 例2、例3、例4 对应习题:教材P.192?193 5-17、19、20、21 5-17 一带电球体半径为R ,其电荷体密度分布为

?kr (r ? R) ? ?? ? 0 (r ? R)

k为一正的常数,

求 (1) 球体内、外的电场强度;
(2)球内任一点的电势

?

R

(1) 球体内、外的电场强度 因是球对称场,取高斯球面

q
o
r R

? E
? er

? ? 若r ? R,由 ?? E ? ds ?
r

?q
?0

r

2 ? kr ? 1 k? 4 2 2 er E ? 4?r ? ? kr ? 4?r dr ? r ? E ? 4? 0 ?0 ?0 0 ? ? ?q 若r ? R,由 ?? E ? ds ? ?0 4 4 ? ? 1 R k?R ? E ? kR e 2 2 E ? 4?r ? ? kr ? 4?r dr ? 2 r 4? 0 r ?0 0 ?0

(2)球内任一点的电势

? ? kr 2 ? er r?R R ? o ? ? 4? 0 r A E?? 4 ? ? kR e r?R r 2 ? ? 4? 0 r 4 ? R kr 2 ? ? ? kR V ? ? E ? dl ? ? dr ? ? dr 2 r r 4? R 4? r 0 0
k 3 3 kR ? (R ? r ) 12? 0 4? 0
3

2) 一般场 —— 微元法与叠加法 ? ? ? ? Ⅰ法 E ? dE 或 E ? ? Ei ?

U12 ? V1 ? V2 V ? ? dV 或 V ? ?Vi 思路和方法 ① 建立坐标系 ②求电荷元电量:dq (点电荷元 或“基本形状元 ? ”) ③ 确定电荷元的场dE 、 d V ? ? ④分析电场(对称性),将 E ? dE变为标量积分。

Ex ? ? dEx , 求电场时注意统一积分变量。 E y ? ? dE y Ey ? 1 2 2 ? ? tg ⑤求总场 E ? Ex ? E y E
x

?

典型例题:教材P.159?160 例1、例2 对应习题:教材P.191?192 5-9、10、11、12、18 [例] 一均匀带电直线 , 长 l 、带电 q , 线外一点p 到 直线垂直距离为r0 , p点与直线两端连线与直线夹角 分别为? 1 和 ? 2 ,求 p点的电场强度。 y 分析:a. 建立如图坐标系
b. 取线元形式点电荷dq = ?dy

?2
r

? ?dy ? dE ? e 2 r 4??0 r

dq ? r ? y e

c. 由分量式得 dE x ? dE sin ?

dE y ? dE cos ?

p dE x o r0 x ? ?1 dE y dE

?dy E x ? ? dE x ? ? sin ? 统一积分变量 2 y 4??0 r 由图知:y ? r0ctg (? ? ? ) ? ?r0ctg? ?
? dy ? r0 csc 2 ? d?
2

2

又 ? r 2 ? r02 / sin 2 ? ? r02 csc 2 ?
2 1

? ? r0 csc ? d? o r0 x Ex ? sin ? 2 2 ? ? ? 4??0 r0 csc ? ?1 dE ? ? ? ? sin ? d? ? (cos ? ? cos ? ) 1 2 ? 4??0 r0 ? 4??0 r0 ? 同理 E y ? (sin ? 2 ? sin ?1 ) 4??0 r0
2 1

dq ? r ? y er

p

? ? Ex ? (cos ?1 ? cos ? 2 ), E y ? (sin ? 2 ? sin ?1 ) 4??0 r0 4??0 r0 y 讨论:
当 r0 << l , 无限长

?1 ? 0,? 2 ? ?
? ? ? E x ? 2?? r 0 0 ? ?E ? 0 ? y

?2

场点到带电直 线的垂直距离

o r0
?1

p

x

如 求 “无限长”带电直导线的电势.

分析:
a. E ?

λ 用线积分法 2 πε0 r
? r

?

V ? ? dV ? ?

λ λ ? dr ? ln 2πε0 r 2πε0 r
无意义

o

B

P

rB

r r

b. 不能选无穷远为电势零点, 应选有限点B rB λ λ rB V ? ? dV ? ? dr ? ln r 2 πε r 2πε0 r 0

Ⅱ法 先用叠加法求出V 分布

[例] 均匀带电圆盘半径为 R ,面电荷密度为? , 求轴线上一点的场强。 解:由带电圆盘轴线上一点的电势公式 ? 2 2 V? ( x ? R ? x) ? V ( x) 2? 0 R x 则 E ? E ? ? ?V ? ? (1 ? o ) x ?x 2? 0 R2 ? x2

? ?V ? ?V ? ?V ? E?? ( i? j ? k) ?x ?y ?z

x

?V Ey ? ? ? 0 E ? ? ?V ? 0 z ?y ?z 讨论: 当场分布无明显对称性时,先求V 再求 E , 比直接求 E 方便! 如教材 P.185 例2

几种典型带电体电场强度与电势: ? q ? 点电荷的电场强度 E ? e 2 r 4??0 r 均匀带电球面的电场强度
? E?
0 q 4??0 r
2

R

o
q

(r ? R) ? er (r ? R)
R

带电细园环轴线上一点的电场强度 o x ? ? qx ? E? i 2 2 32 4πε0 ( x ? R ) ? ? ? E? en o 2? 0 无限大带电平板的电场强度 r ? ? ? er 无限长带电直线的电场强度 E ? 2??0 r

P

x
P

r

点电荷的电势 V ?
q

q
R

4??0 r 均匀带电球面的电势

o
q

V?

4??0 R q 4??0 r

(r ? R) (r ? R)
R

带电细园环轴线上一点的电势
V? q 4πε0 x 2 ? R 2

o

P

x
?

x
VB=0
B
P

无限长带电直线的电势 λ rB VP ? ln 2πε0 r

o

rB

r
r

第六章 静电场中的导体和电介质 基本要求
1. 掌握导体静电平衡条件及性质,并会用于 分析实际问题 2. 正确计算有电介质和导体存在时的电场,理 解有介质时的高斯定理

? ? 3.了解电介质极化机理, 理解 D, E , ? ?之间的关系
4. 掌握电容器的各类问题计算

5. 理解静电场能量的计算

基本内容
1. 概念
电荷重新分布
相互 作用

感应电荷 极化电荷

? E?

导体(自由电荷) 电介质(束缚电荷)

? 原静电场(E0)

? ? ? 场重新分布 E ? E0 ? E ? ? 考察处 (等势体) 内 E?0 ? ? ? (1)导体静电平衡 表面 ? 表面 (等势面) E ? en E? ?0 ? ? ? 外 E ? E0 ? E ?

(2)导体静电平衡时的性质 a.带电实心导体:
电荷只分布在导体表面,体内无净电 + 荷 带电空腔导体:
+ + + Q +q + + q -q + + + +

腔内无电荷, 电荷只分布在导体外表面

+

腔内有电荷q

1 b.孤立导体的面电荷分布与表面曲率成正比 ? ? ?

空腔内表面-q 空腔外表面 Q +q

尖端放电现象

σ?E?

c.静电屏蔽
接地的导体空腔可使空腔内、外空间的电场互不影

? ? ? ? E0 内 E ? E0 ? E ? ? 0 电介质极化 ? ? ? 外 E ? E0 ? E ? —束缚(极化)电荷的电场
有极分子:分子正负电荷中心不重合,分子电矩不为零

无极分子:分子正负电荷中心重合,分子电矩为零

外电场中,不论是有极分子还是无极分子极化后, 都等效为一个电偶极子

2. 有导体或介质存在时场的求解
1) 导体 先求电荷分布 再求场(第五章方法) 2) 电介质 先求D
高度对称情况
n ? ? ? D ? dS ? ? Q0i S i ?1

再求E与V(第五章方法)

D (分布)

? ? D E? ? 0? r

? ? U12 ? ? E ? d l
L

? ? V ? ? E ?d l
零 考

? ? ? P ? ? 0 (? r ? 1) E ? Q?

3. 电容与电场能量
1) 电容求解 定义法
2

串并联法

电容器充满同一均匀介质 C ? ? r C0

Q 1 1 2 2) 电容器储能 We ? ? CU ? QU 2C 2 2 1 2 3) 电场能量 we ? εE ~E分布 We ? ? we dV V 2 关键:根据场对称性,取合适体元

平板电容器 ? 0S C? d

4) 电容器充电前后各量变化( Q、U 、C 、E 、We … ) 区分 孤立带电电容器( Q0不变 ) 始终与电源相连( U 不变 )

典型例题:教材P.201 例题 P.209?210例1、例2 P.213?215 例1? 例4 P.219?220 例1、例2 6-6 ? 6-13

对应习题:
导体:教材P.229?230

电容与介质:教材P.230?232 6-14 ? 6-28
电场能:教材P.232?233 6-29 ? 6-33

例 6-10 A、B为平行放置的两块无限大导体平板, 均匀带电为QA 和QB,试计算在静电平衡条件下 导体板四个表面上的电荷分布 QA QB 解:静电平衡时,电荷分布于导体表面 ?S 设平板表面面积为S, 四个面上 ?1 ? 2 电荷密度分别为?1、?2、?3、?4 ?3 ?4 由电荷守恒定律 ? 1S ? ? 2 S ? QA (1)

? 3 S ? ? 4 S ? QB (2)
因带电体面分布,场具有面对称性 ? ? ? qi , 由高斯定理 E ? dS ? ?
s

A

B

?0 0 ? ? 2 ?S ? ? 3?S (3)

设导体B内有一点P 则其电场强度 QA QB 是由四个带电平面在导体内电场的叠 ? ? 2 1 加,其矢量和为零? ?3 ?4 P 则有P点 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 0 (4)

2? 0 2? 0 2? 0 2? 0

由四个式子解得

作为一特例

Q A ? QB ?1 ? ? 4 ? 2S Q A ? QB ? 2 ? ?? 3 ? 2S

A
(记住)
?Q

B

?Q

QA ? ?QB ? Q

?1 ? ? 4 ? 0
Q ? 2 ? ?? 3 ? ? ? S
??
??

[例] 半径为R1的导体球均匀带电+q,另外一同心导体 球壳均匀带电+Q,其半径分别为R2 和R3, (1)求电场 强度和电势的分布,(2)若把外球壳接地然后断开 ,再 把内导体球接地,求内导体球和球壳所带的电荷及 它们的电势。 ? Q? q 分析: a. 先求电荷如何分布, 再求场( 用上一章方法 ) b. 本题是三个同心均匀带电球面 用Gauss定理求E分布, 求V :Ⅰ法 用E的线积分 Ⅱ法
R3
R2

?q
1
R1

?q

2

3

4

?V ,
i

Vi 为孤立均匀带电球面内外电势

由高斯定理得电场分布
E1 ? 0 E2 ? (0 ? r1 ? R1 ) q 4??0 r2
2

? q? Q

( R ? r2 ? R2 )
R3

?q
?q
1
R1

E3 ? 0

( R2 ? r3 ? R 3 )

2

3

4

电势分布 Ⅰ法 用E 的线积分 ? R1 ? ? R2 ? ? R3 ? ? ? ? ? ? ? Vr ? ? E ? dl ? ? E1 ? dr ? ? E2 ? dr ? ? E3 ? dr ? ? E4 ? dr
1 r 1

q?Q E4 ? (r4 ? R3 ) 2 4??0 r4

R2

r 1

R 1

R

2

R 3

??

R2

R1

? q?Q q q q q?Q ? dr ? ? ? dr ? ? ? 2 2 R3 4??0 R1 4??0 R2 4??0 R3 4??0 r 4??0 r

Ⅱ法

?V

i

? q? Q

Vr1 ? VR1 ? VR2 ? VR3
q?Q ? ? ? 4??0 R1 4??0 R2 4??0 R3 q q
同理
R3

?q
?q
1
R1

2

3

4

R2

Vr 2

q?Q ? ? ? ; 4??0 r2 4??0 R2 4??0 R3 q q

q?Q q?Q Vr3 ? Vr4 ? ; 4??0 R3 4??0 r4

(2)若把外球壳接地然后断开 ,再把内导体球接地, 求内导体球和球壳所带的电荷及它们的电势。

当外球壳接地,即外球壳与 地球等电势 Vr 3 ? 0 断开球壳接地线,然后将内球接地 则内球电势为零 V1 ? 0 内球表面仍带q 吗?是否不带电? 设内球带电为? q? ,由于静电 感应球壳内表面带电为 ? q?, 而球壳原已带电为? q ,则球壳 外表面带电为? q? ? q 如图示

?q ?q
R3
1
R1

2

3

4

R2

? q? ? q
? q? ? q?1
R1

R3

2

3

4

R2

内球的电势
q? ? q V1 ? ? ? ?0 4??0 R1 4??0 R2 4??0 R3 q? q?

? q? ? q
? q? ? q? 1
R1

内球所带电荷为
R1 R2 q q? ? ?0 R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3

R3

2

3

4

R2

球壳的电势为
Vr 3

q? ? q ? 4??0 R3

结论:导体接地

与地球同电势(零电势) 导体表面电荷未必一定消失

[例] 两共轴圆筒组成电容器,内外 半径分别为R1、R2 ,间有两层均匀 电介质,分界面半径为R ( R<2R1 ), 内层的相对电容率为?r1 ,外层的相 对电容率为?r2 ,击穿场强均为Eb ,若 ?r1= 2?r2 ,求单位长度的电容。

分析:
a. 轴对称分布,可用高斯定理 b. 先求 D , 等再求 E 等

R1

R R2

解:设单位长度上带电为±? ,因带电体柱分布, 电场具有轴对称性 , 作一与圆柱同轴的圆柱形 高斯面,半径为r ,长为l ( R1 ? r ? R )

? ? n 由 ? D ? dS ? ? Qi
S i ?1

? ? ? ? 即 D? 得 2?rlD ? ?l ; D ? er 2?r 2? r
? ? R ? er ( R1 ? r ? R) ? 0? r1 2??0? r1r R R ? ? D ? ? 同理 E2 ? ? er ( R ? r ? R2 ) ? 0? r 2 2??0? r 2 r
? ? E1 ?
1

? D

2

电容器两端电势差 ? R2 ? U ? ? E ? dl
R1
R
1

R1
2

R R2 R ? ? ?? dr ? ? dr R 2?? ? r R 2?? ? r 0 r1 0 r2 ? R ? R2 ? ln ? ln 2??0? r1 R1 2??0? r 2 R 2 R2 ? 将?r2 = 1/2?r1代入 U ? ln 2??0? r1 R1 R 2 ?? ? C Q 0 r1 单位长度的电容 C0 ? ? ? 2 l Ul R2 ln R1 R

基本要求

第七章 恒定磁场

1.理解恒定电流产生的条件,理解电流密度和电 动势的概念 2.掌握毕奥—萨伐尔定律,并会用该定律计算载 流导体的磁场 3.掌握用安培环路定理计算磁场强度的条件和 方法 4.掌握安培定律和洛仑兹力公式,会计算简单形 状截流导体的磁力 5.理解磁介质中的安培环路定理,理解各向同性 ? ? 介质中H 和 B 的关系,了解铁磁质的特性

基本内容
1. 概念
dq 1) 电流密度与电流强度 I ? dt

dI ? ? 均匀分布 j? ? qnv I ? j ? dS I ? jS ? ?s ds cos ? 另:对面分布 j ? dI / dl? 2) 电动势 ? ? ? ? ? ? ? Ek ? dl ? ? Ek ? dl 感生电场等引起)
L 内

? ? 3) ?SB ? d S ? 0

非静电场( 如化学力、洛仑兹力

无源场 磁感线为闭合线

? ? 4) ? B ? dl ? ?0 ? I i ? 0 非保守场 L ? ? ? ? 分清影响 ? B ? dl 、 B ? dl 、及 B 的因素
L

? 2. B 的求解—— 最佳路径
1) 高度对称性场( 客观条件 )

环路定理

关键:针对场的称性,取合适闭合回路

? ? 满足 ? B ? dl ? BL
L

2) 一般场 —— 叠加法(与静电场类似) B ? B ? ? ? B ? d B x ix ? ? x ? x

B ? ? dB

By ? ? dBy

B ? ? Bi

By ? ? Biy

关键:取恰当基本电流模型,利用对称性求解

典型例题:教材P.257?259 例1、例2 P.245?251 例1?例4 相应习题:教材 P.292?293 7-16 ? 7-21
P.291?292 7-9 ? 7-14

? ? 记住:典型基本电流的磁场 ? ?0 Idl ? er dB ? 2 (a) 电流元——B-S定律 4π r (b) 直线电流 B ? ?0 I (cos ? ? cos ? ) B ? ? 0 I 1 2 2 π r0 2 (含无限长 ) 4 π r0 ?0 IR ?0 I B? 3 (c) 圆形线电流轴线上 2 2 2 B? 2 (x ? R ) 2R (含中心处 , 弧形电流中心处) ? ?0 I B? (d) “无限长”直螺线管 B ? ?0 nI 2 π 2R ? 0 NI (e) 螺绕环 B ? 2?r ? ? 3) 运动电荷磁场 ? ? q ? 0 v ?r ? ? 0 qv ? er 方向: ? ? B? Ⅰ法 2 q ? 0 ?v ?r 4π r

Ⅱ法

转化为用I ( 或j )表示的电流模型

例7-13.半径 R的无限长半圆柱面,有电流 I 1方 ? 向图示,求:(1)圆柱 轴上一点的B ,(2)若有 一无限长载流直导线 I2置于该轴线上,其单位 长度受磁力为多大? 解: (1) 元电流为

I1

在o点的磁场为:

由对称性

方向:沿oy正方向
(2) 轴线上I2单位长度受磁力为多大?

方向:沿轴 ox 正方向

例7-13. 设电流均匀流过无限大导电平面,其电 流密度为 j ,求导电平面两侧的磁感应强度.

c
d

j

l1
? B

? B l a

分析:a. 磁场具有面对称性 ? b. 磁取闭合回路 abcd B

p

c.由安培环路定律 ? ? Ii ? B ? dl ? ?0 ? i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B?d l ? ? B?d l ? ? B?d l ? ? B?d l
ab bc cd da

b

? Bab ? Bcd ? 2Bl ? ? 0lj
p?

? B

1 ? B ? ? 0 j 是均匀磁场 2

3. Φm的求解
1) 闭合面S ? ? Φ ? ? B ?d S ? 0
S

2) 非闭合面S

? ? 匀强磁场 Φ ? BS ? Φ ? ? B ? dS
S

非匀强磁场:针对B分布,取合适dS,积分操作

相应习题:教材 P.289?293 7-2、7-15、7-19

4. 磁场对场中载流体的作用

? ? ? 1) 对运动电荷Fm ? qv ? B — 在匀强磁场中运动(定量)
2) 对一段载流导线 ? ? Fx ? ? dFx ? ①力作用 F ? ?LIdl ? B Fy ? ? dFy ? 非匀强磁场:取 Idl , 利用对称性先对分量求解 ? ? 匀强磁场: Fab ? Fab ? ILB sin ? ( 中学 ) *②力矩作用 ? 取 Idl — dF— dM = rdF — M ? ? dM 3) 对平面闭合电流 ? ? 匀强磁场 ? ? ①力作用 F ? ?LIdl ? B F ?0

②力矩作用 ? ? a. 磁矩 m (或 pm )
对平面闭合线电流 对平面闭合面电流

? ? m ? ISen (右螺旋)

m ? ? dm ? ? b.匀强磁场 ? ? ? m?B M ? m? B ? ? m∥B 对非匀强磁场、对小区域也可近似应用
取 dI — dm = dIS

典型例题:教材P.270?273 例1?例3 P.275?276 例4 相应习题:教材 P.293?293 7-22 ? 7-34

例7-13. 如图所示, 将一电流均匀分布的无限大载流 平面放入均匀磁场中,电流方向与磁场垂直, 放入后, 平面两侧磁场的磁感强度分别为B1和B2,则载流 平面上单位面积所受磁力大小和方向. y 解: 设电流密度为 j ,均匀磁场为B
dI=jdy

0

取长为l 电流为dI=j dy的直线

dF ? dIB0l ? jdyB0l 方 B1 B2 x f ? dF ? jdyB0l ? jB0 向 o ds dyl 向 2 2 ? ( B2 ? B1 ) / 2?0 左 1 ∵载流平面磁场 B1 ? B0 ? ? 0 j B0 ? ( B1 ? B2 ) / 2 2 1 B ? ?0 j 1 j ? ( B2 ? B1 ) / ?0 B2 ? B0 ? ? 0 j 2 2

? [例] 一半径为R 的薄圆盘,放在磁感强度为 的 B ? 均匀磁场中, B 的方向与盘平面平行。圆盘表面
? B

电荷面密度为?,若圆盘以角速度?绕通过盘心 并垂直盘面的轴转动,求作用在圆盘上的磁力矩.

R

?

r

?

1 4 M ? ??? BR 方向向下 4

或从上往下看顺时针

5. 磁介质问题
1) 概念 ① 顺磁质、抗磁质、铁磁质 — 能用?r 、? 或B-H 曲线区分之
② 铁磁质— 磁畴、磁滞回线概念等 2) 有介质存在时场的求解 — 适用高度对称情况 ? ? ? ? ? ?LH ? dl ? ? Ii0 ? H ? B ? ?0 ?r H ? ? * M ? ( ? ? 1) H ? I ? M r s 典型例题:教材P.281?282 例题 相应习题:教材 P.295 7-35 ? 7-37



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