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2同角三角函数基本关系式及诱导公式


4.2
函数的化简与求值.

同角三角函数基本关系式及诱导公式

2014 高考会这样考 1.考查同角三角函数基本关系式和诱导公式;2.利用公式进行三角

复习备考要这样做 1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式,特别要对诱导公 式的口诀理解透彻;2.通过训练加强公式运用能力的培养,寻找化简求值中的规律.

1. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:

(2)商数关系: 2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α

图示

与角 α 终边的 关系 角 π-α π -α 2 π +α 2

图示

与角 α 终边的 关系 3.六组诱导公式 组数 角 一 2kπ+α (k∈Z) 二 π+α 三 -α 四 π-α 五 π -α 2 六 π +α 2

1

正弦 余弦 正切

口诀

[难点正本 疑点清源] 1. 同角三角函数关系式 (1)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角 α 的范围进行 确定. (2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系,它为三 角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法. 2. 诱导公式 π 诱导公式可概括为 k·± α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式. 记忆规律是“奇变偶不变, 2 π 符号看象限”. 其中的奇、 偶是指 的奇数倍和偶数倍, 变与不变是指函数名称的变化. 意 2 思是当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变,然后 α 的 三角函数值前面加上当视 α 为锐角时,原函数值的符号.

3π? 1. (2011· 大纲全国)已知 α∈? ?π, 2 ?,tan α=2,则 cos α=________. 2sin α-cos α 2. 若 tan α=2,则 的值为________. sin α+2cos α 1 3. 已知 α 是第二象限的角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 4 ? 4 5 4. sin π·cos π·tan? ?-3π?的值是________. 3 6 π ? 2 ? 2π? 5. 已知 cos? ?6-α?=3,则 sin?α- 3 ?=________. 【典型例题】 题型一 同角三角函数基本关系式的应用 1 例 1 已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.
2

探究提高

(1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式

子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α;(2)关于 sin α, cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. (1)已知 tan α=2,求 sin2α+sin αcos α-2cos2α; (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α.

题型二 三角函数的诱导公式的应用 例2 π 3 ? ?5π ? (1)已知 cos? ?6+α?= 3 ,求 cos? 6 -α?的值; 7 ? 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· tan? ?α-2π?的值. 5

3π? tan?π+α?cos?2π+α?sin? ?α- 2 ? (1)化简: ; cos?-α-3π?sin?-3π-α? sin?π-x?cos?2π-x?tan?-x+π? 31π - ?的值. (2)已知 f(x)= ,求 f? 3 ? ? π ? cos? ?-2+x?
3

题型三 三角函数式的化简与求值 例3 1 1 (1)已知 tan α= ,求 的值; 3 2sin αcos α+cos2α 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin? ?-α+ 2 ? (2)化简: . cos?-α-π?sin?-π-α?

π 5 α+ ?=- ,α∈(0,π), 已知 sin? ? 2? 5 π α? 2?π α? cos2? ?4+2?-cos ?4-2? sin?π-α?+cos?3π+α?



的值.

4

【分类讨论思想在三角函数化简中的应用】

典例:(12 分)化简:sin?

4n-1 ? ?4n+1 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α? (n∈Z).

方法与技巧 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三 角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主 sin x 要利用公式 tan x= 化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2=1± cos x 2sin θcos θ 的关系进行变形、 转化; (3)巧用“1”的变换: 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ) 1 ? π =sin2θ? ?1+tan2θ?=tan4=?.
5

失误与防范 1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步 骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

课后习题
A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 20 分) π 1. 已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α 等于 3 A.- 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 D. 1 2 ( C.- 3 2 D.0 ( 3 2 ( ) ) ) ( )

2. cos(-2 013π)的值为 A. 1 2 B.-1

sin?π-α?· cos?2π-α? 25π? 3. 已知 f(α)= ,则 f? ?- 3 ?的值为 cos?-π-α?· tan?π-α? A. 1 2 1 B.- 2 C. 3 2 D.-

π cos2x 4. 当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值是 4 cos xsin x-sin2x 1 A. 4 1 B. 2 C.2 D.4

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 3π ? 1 5. 如果 sin α= ,且 α 为第二象限角,则 sin? ? 2 +α?=________. 5 π 7π 1 α+ ?= ,则 cos?α+ ?的值为________. 6. 已知 sin? ? 12? 3 ? 12? 3π? sin? tan?α+π? ?α+ 2 ?· =________. sin?π-α?

7.

三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 sin θ+cos θ= 2 (0<θ<π),求 tan θ 的值. 3

6

cos?π+θ? cos?θ-2π? 1 9. (12 分)已知 sin(3π+θ)= ,求 + 的 3 3π 3π cos θ[cos?π-θ?-1] θ- ?cos?θ-π?-sin? +θ? sin? 2? ? ?2 ? 值.

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) π ? 1 ?2π ? 1. 若 sin? ?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?等于 7 A.- 9 1 B.- 3 1 C. 3 7 D. 9 ( D.-2 ( D.-2 ) ) ( )

1+sin α 1 cos α 2. 已知 =- ,则 的值是 cos α 2 sin α-1 1 A. 2 1 B.- 2 C .2

3. 若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α 等于 1 A. 2 B.2 1 C.- 2

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π ? 1 4. 若 sin(π+α)=- ,α∈? ?2,π?,则 cos α=________. 2 5. 已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=________. π ? ?5π ? ?2π ? 6. 已知 cos? ?6-θ?=a (|a|≤1),则 cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?的值是________. 三、解答题

7

7. (13 分)已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sin A,-cos A 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A. (2)若 1+2sin Bcos B =-3,求 tan B. cos2B-sin2B

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