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4.2数列通项公式的求法


4.2数列通项公式的求法

第四章 数列
考点梳理(教材必修5) ? 数列概念、表示法 ? 数列的通项公式 ? 等差、等比数列 ? 数列求和 ? 常见递推数列 ? 数列与不等式

求数列通项公式的常用方法: 1. 通过归纳、猜想、证明求数列的通项公式. 2. 通过叠加、叠乘、迭代求数列的通项公式.

3. 利用数列的前 n 项和 Sn 求通项公式.

4. 利用递推关系将数列转化为等差、等比数列后求通项公式.

2.已知数列{an}前 n 项和 Sn,
? S1, n=1 则 an=? (注意:不能忘记讨论 n=1) ?Sn-Sn-1,n?2

已知数列{an}前 n 项之积 Tn, T 1, n=1 ? ? 则 an=? Tn (注意:不能忘记讨论 n=1). , n ? 2 ? ? Tn-1

3.已知 an-an-1=f(n)(n?2),求 an 可用叠加法(或用迭代法).
an 4.已知 =f(n)(n?2),求 an 用叠乘法(或用迭代法). an-1

5.形如 an+1=pan+q 可用特征根方程转化为辅助数列

an?1 ? ? ? p(an ? ? )
6.形如 an+1=Aan+f(n)或 an+1=Aan+Bq , n+1 均可使用辅助数列(两边同时除以 A 辅助数列后 叠加或待定系数法转化为等比数列).
n

an 7.形如 an+1= 的递推数列都可以两边同时倒数后求通项。 kan+b

已知数列{an}的递推关系,研究 an+1 与 an 的关系式的特点, 可以通过倒数、通分、因式分解、平方、开方、配方、 取对数、辅助数列、待定系数等等变形构造得出 新数列{f(an)}为等差或等比数列.

例 1 已知数列{an}满足 a1=2,an+1=2 an,求 an.
an n ?1 解析:由 an ?1 ? 2 an ? ?2 an ?1
n

n

an an?1 a2 an ? ? ??? ? a1 ? 2n?1 ? 2n?2 ??? 2 ? 2 an?1 an?2 a1
? 21?1? 2???( n?1) ? 2
即 an ? 2
n ( n ?1) ?1 2
n ( n ?1) ?1 2

例 2 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1,求 an;
解析:∵an+1=2an+1,令 an+1+1=2(an+1),
故{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, n-1 n n ∴an+1=2·2 =2 ,故 an=2 -1.

例 3 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式.
解析:(1)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .①

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .② ①-②得: an?1 ? 4an ? 4an?1
又?bn ? an?1 ? 2an ,由③构造 bn 得:

③.

an?1 ? 2an ? 2an ? 4an?1 ? 2(an ? 2an?1 ) ?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.

由(1)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 , (2)

an ?1 an 3 ? n ?1 ? n ? 2 2 4
an 1 3 ?数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 4 2

an 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? n ? n 2 4 4 4, ?2
? an ? (3n ?1) ? 2n?2

课后作业
1. 完成下一节知识要点

2. 《乐学》4.2
3. 知识梳理、错题总结(参考高一使用的教辅)


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