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高二数学直线方程人教版知识精讲



卢新生主讲

高二数学直线方程人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 直线方程 二. 重点、难点: 1. 两点间距离公式 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 )

| PQ |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
2. 倾斜角 ?

0? ? ? ? 180 ?

3. 斜率 k k ? t an ? (1) 0? ? ? ? 90? 或 90? ? ? ? 180 ? 时 ? ? 90? k 不存在 PQ // y 轴 (2) P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 )

k PQ ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

4. 直线方程: (1)点斜式 (2)斜截式 (3)两点式 (4)截距式 (5)一般式

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (? ? 90?) y ? kx ? b (? ? 90?) y ? y1 x ? x1 ? (? ? 0?, 90?) y 2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ?1 ( ? ? 0?, 90? ,不过原点) a b Ax ? By ? C ? 0 (所有直线)

【典型例题】 [例 1] 已知 A(cos? , sin ? ), B(cos2? , sin 2? ) ,求 | AB | 的最大值。
解:

| AB |? (cos 2? ? cos ? ) 2 ? (sin 2? ? sin ? ) 2

? 2 ? 2(cos2? cos? ? sin 2? sin ? )
? 2(1 ? cos? ) |? 2 2 2 ∴ ? ? 4k? ? ? (k ? Z ) 时, | AB | max ? 2 [例 2] 正 ?ABC 中, A(2, 0), B(4, 2) ,求 C 点坐标。 解:设 C ( x, y )
2 2 ?| AC |?| AB | ? ?( x ? 2) ? y ? 8 ?? ? 2 2 ? ?| BC |?| AB | ?( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 8

? 4 sin 2

?

? 2 | sin

?

卢新生主讲

? ? y1 ? 1 ? 3 ? ? y2 ? 1 ? 3 2 2 2 2 2 2 [例 3] x1 , x2 ...xn , y1 , y2 ...yn ? R ,求证: x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ? ... ? x n ? y n ?
( x1 ? ... ? xn ) 2 ? ( y1 ? ... ? y n ) 2 。
证:在直角坐标系 xOy 中

∴?

? ? x1 ? 3 ? 3

或?

? ? x2 ? 3 ? 3

A1 ( x1 , y1 ) A2 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) …… An ( x1 ? ...xn , y1 ? ... ? yn ) ... 显然: | OA 1 |?| A 1 A2 | ? ? | An?1 An |?| OAn | 2 2 2 2 2 2 即 x ? y ? x ? y ? ... ? x ? y ?
1 1 2 2 n n

( x1 ? x 2 ? ... ? x n ) 2 ? ( y1 ? y 2 ? ... ? y n ) 2
[例 4] 已知通过 A(8,6)的四条直线的倾斜角之比为 1 : 2 : 3 : 4 ,第二条直线过原点,求 其余三条直线的倾斜角。 2?、 3?、 4? 解:设四条直线的倾斜角依次是 ?、 ∵ 0 ? 4? ? 180 ∴ 0 ? ? ? 45 ∵ tan 2? ? k 2 ? ∴ tan 3? ?

6?0 3 ? 8?0 4

∴ tan ? ?

1 3

tan ? ? ?3 (舍)

13 24 tan 4? ? 9 7 1 13 24 3? ? arctan 4? ? arctan ∴ ? ? arctan 3 9 7 [例 5] 过 A(?3, ? 5) 且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程。 法一: y ? 5 ? k ( x ? 3)

?x ? 0 ? ? y ? 3k ? 5
∴ 3k ? 5 ? 法二:

5 ?3 k

?y ? 0 ? 5 ? x ? ?3 ? k ? 5 k1 ? 3

k 2 ? ?1

x y ? ?1 a a 即 x ? y ?8 ? 0
(1) (2)过原点

(?3, ? 5) 代入 a ? ?8

5x ? 3 y ? 0 3 [例 6] 直线 l 倾斜角为 arcsin ,若它与坐标轴围成三角形面积为 6,求 l 的方程。 5 3 ? 3 ) 解: ? ? arcsin ? (0, ∴ tan ? ? 5 2 4 3 设: l : y ? x ? b 4 4 x ? 0, y ? b, y ? 0, x ? ? b 3 1 4 S ? ? ? | b | ? | ? b |? 6 ∴ b ? ?3 2 3

卢新生主讲

∴ l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 [例 7] 直线 l 过点 A(2, 1) ,交 x、y 轴正半轴于 B、C,求使 ?OBC 面积最小的直线 l 的方 程。 解: k ? 0

y ? 1 ? k ( x ? 2)
y ? 0, x ?

1 ? 2k k 2 1 1 ? 2k 1 (1 ? 2k ) 1 4k 2 ? 4k ? 1 S ? ? | 1 ? 2k | ? | |? ? ? 2 k 2 |k| 2 ?k 1 1 1 ? ? [4(?k ) ? ? 4] ? ? [2 4 ? 4] ? 4 2 ?k 2 1 l : x ? 2y ? 4 ? 0 k?? 2 [例 8] 已知三条直线 x ? y ? 2 ? 0, x ? ky ? 3 ? 0, kx ? y ? 4 ? 0 交于一点,求 k。

x ? 0, y ? 1 ? 2k

2k ? 3 ? x? ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? k ?1 ?? (k ? 1) 代入 l 3 解: ? ? x ? ky ? 3 ? 0 ? y ? ? 1 ? k ?1 ? 2k ? 3 ? 1 ? ?4?0 ∴k ? k ?1 k ?1 2 即: 2k ? 7k ? 5 ? 0 5 5 k ? 或 k ? 1 (舍) ∴k ? 2 2 [例 9] 求证,无论 k 为任何直线: (2k ? 1) x ? (k ? 3) y ? (k ? 11) ? 0 必过一定点。 解:由已知整理: k (2 x ? y ? 1) ? (? x ? 3 y ? 11) ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?x ? 2 ∴? ?? ?? x ? 3 y ? 11 ? 0 ? y ? 3 ∴ l 过点(2,3) [例 10] 已知直线 l : y ? 4 x ,和点 P(6,4),在直线 l 上求一点 Q。使直线 PQ、 l 、x
轴在第一象限内围成的三角形面积最小。 解:设 Q(a, b) , a ? 1 ∴ l PQ :

y?4 x?6 ? b?4 a?b l PQ 交 x 轴于 M ( x1 , y1 )

? 4(a ? 6) ? b , y1 ? 0 b?4 1 ? 4(a ? 6) ? 6) ? b ∴ S? ? ( 2 b?4 24 ? 4a ? 2a ? ( ? 6) 4a ? 4 10a 2 10(a ? 1) 2 ? 20(a ? 1) ? 10 ? ? a ?1 a ?1 10 ? 10(a ? 1) ? ? 20 ? 2 100 ? 20 ? 40 a ?1
∴ x1 ?

卢新生主讲

∴Q(2,8)时, S ? min ? 40

y

Q

l

0

M

x

【模拟试题】 1. 若 a ? b ? 0, a ? c ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 ,不过第(

)象限。 )

A. Ⅰ B. Ⅱ C. Ⅲ D. Ⅳ 2. 若直线 (3a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 1 ? 0 不过第二象限,则 a 的取值范围为( A. (0,1) C. (1, ? ?) B. (0, 1] D. [1, ? ?)

3. 下列说法不正确的是( ) A. 点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 适用于不垂直 x 轴的直线 B. 斜截式: y ? kx ? b 适用于不垂直 x 轴的直线 C. 两点式:

y ? y1 x ? x1 适用于不垂直 x 轴的直线 ? y 2 ? y1 x2 ? x1 x y D. 截距式: ? ? 1 适用不过原点的直线 a b
4. 下列说法正确的是( A. )

y ? y1 ? k 过 P( x1 , y1 ) 斜率为 k 的直线 x ? x1 B. 直线 y ? kx ? b 与 y 轴交于 B(0, b) ,其中 b ?| OB | x y C. 在 x 轴、y 轴上截距为 a、b 的直线方程为 ? ? 1 a b D. 方程 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )(x ? x1 ) ,表示过点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) 的
直线 5. 直线 x ? y ? cos? ? 1 ? 0 的斜率角 ? 的取值范围是( A. [ )

3 ]?[ ?, ? ) 4 4 4 ? ? ? ? ? 3 )?( , ?] )?( , ?] C. [0, D. [ , 2 2 4 2 2 4 6. 过 A(1,1)作 l 交直线 2 x ? y ? 0 , x ? 3 y ? 3 ? 0 于 M、N,点 A 为 MN 中点,求 ,
B. (0,

?

3 ?] 4

?

l 的方程。 7. 过 P(1, 4) 引直线 l ,使它在两坐标轴上截距均为正数,且两截距之和最小,求 l 的方
程。

卢新生主讲

试题答案
1. A 2. D 3. D 4. D 6. 解:设 M (a, b) , N (2 ? a, 2 ? b) 5. A

?2a ? b ? 0 ?a ? ?1 ?M (?1, 2) ?? ?? ? ?2 ? a ? 3(2 ? b) ? 3 ? 0 ?b ? 2 ? N (3, 0) ∴l : x ? 2y ? 3 ? 0 7. 解: k ? 0 l : y ? 4 ? k ( x ? 1) k ?4 x ? 0, y ? 4 ? k , y ? 0, x ? k k ?4 4 ? 5 ? (?k ) ? 截距和 S ? 4 ? k ? k ?k ∵k ? 0 ∴?k ? 0 4 ?k ? ∴S ? 5?2 4 ? 9 ∴ k ? ?2 ?k ∴ l1 : 2 x ? y ? 6 ? 0



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