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1.2.1-函数的概念


1.2.1 函数的概念

主讲人:陈园园

初中函数的概念:
在某变化过程中,有两个变量x、y,如果给定 一个x ,相应地有唯一的一个y 值与之对应。那么 就称y是x 的函数,其中x是自变量,y是因变量。 初中学过的函数都有哪些?
y=kx(k不为0),y=kx+b (k不为0),y=k/x (k不为0), 二次函数

y ? a x2 ? bx ? c(a ? 0)

引例一 一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标。炮弹的射 高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间(单 位:s)变化的规律是 h=130t-5t2

思考以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、5秒、10秒、20秒时距地面多高? (2) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和 集合B表示出来。 (3)对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系,在B 中是否都有唯一确定的高度h和它对应?

引例二 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间 (年) 恩格 尔系 数 (%) 1991 53.8 1992 1993 52.9 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

请问:
(1)恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个事例 中的两个变量之间的关系相似? (2)如何用集合与对应的语言来描述这个关系?

以上两个实例有那些公共的特点?

它们的关系可以描述为: 对于数集A中的每一个x,按照某种对应 关系f,在数集B中都有唯一确定的y和它 对应,记作:

f: A

B

所以得到函数的概念:

设A和B是非空的数集,如果按照某种对应关 系f,使A的任何一个数x,在B中都有唯一确定的 数f(x)和它对应,那么就称 f:A B为从集 合A到集合B的一个函数。记作

y ? f x , x?A
? ? ? ? ? ? ? ?

x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域, 与x的值对应的y值叫做函数值 函数值的集合{f ? x? | x ? A}叫做函数的值域

例如:
(1)一次函数y=ax+b(a≠0) 定义域为R x (2)二次函数
定义域为R x 值域为R y=ax+b (a≠0)

y ? a x2 ? bx ? c(a ? 0)
值域为B

y ? a x2 ? bx ? c(a ? 0) 2 4 ac ? b } 当a ? 0时,B ? { y | y ? 4a 2 4 ac ? b } 当a ? 0时,B ? { y | y ? 4a

判断下列对应关系是否为函数关系

1 y? x

y ? 2x ? 3
2

y ? 3x ? 2 x
3 2

设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间, 表示为[a,b]
⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间, 表示为(a,b) ⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间,表示为[a,b)或(a,b] 这里的实数a,b叫做相应区间的端点

定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b}

名称 闭区间 开区间

符号 [a,b] (a,b)

数轴表示 a a a b b b

{x|a≤x < b} 半开半闭区间 [a,b)

{x|a<x ≤ b} 半开半闭区间 (a,b]

a

b

实数集R可以表示为(-∞,+ ∞)
x≥a= [a,+∞) x >a= (a,+∞) x≤b= ( -∞ ,b] x<b=
(-∞,b)

例1 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ?

(1)求函数的定义域 2 (2)求 f (?3), f ( 3 ) 的值

1 x?2

(3)当a>0时,求 f (a), f (a ?1) 的值 解(1) x ? 3 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3} 1 x ? 2 有意义的实数x的集合是{x|x≠-2} 所以 这个函数的定义域就是 {x | x ? ?3} ? {x | x ? ?2} ? {x | x ? ?3, 且x ? ?2}

1 f (?3) ? ? 3 ? 3 ? ? ?1 (2) ?3? 2 2 2 1 11 3 3 33 f( )? ?3? ? ? ? ? 2 3 3 3 8 8 3 ?2 3 (3)因为a>0,所以f(a),f(a-1)有意义 1 f (a) ? a ? 1 ? a?2 1 1 f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ? ? a?2? a ?1 ? 2 a ?1

定义域

函数

对应关系 值域

*值域是由定义域和对应关系决定的 *如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 就称这两个函数相等

例2下列函数哪个与函数y=x相等

(1) y ? (

x)

2

( 2) y ? 3
( 4) y ?

x3
x2

(3) y ?

x2
2

解(1) y ? ( x ) ? x ( x ? 0) ,这个函数与y=x(x∈R) 对应一样,定义域不同,所以和y=x (x∈R)不相等 (2) y ? 3 x3 ? x ( x ? R ) 这个函数和y=x (x∈R) 对应关系一样 ,定义域相同x∈R,所以和y=x (x∈R)相等 x,x≥0 (3) 这个函数和y=x(x∈R) 2 y ? x ?| x |? -x,x<0
定义域相同x ∈R,但是当x<0时,它的对应关系为y=-x 所以和y=x(x∈R)不相等

x

(4) y?

x2

x

? x 的定义域是{x|x≠0},与函数 y=x(x∈R)

的对应关系一样,但是定义域 不同,所以和y=x(x∈R)不相 等

小结
本节课主要学习了函数的概念 重难点:1.正确理解函数的概念 2.明确函数相等的条件 3.会求函数的定义域与值域

数学天才——莱布尼兹

函数这个数学名词是莱布尼兹在 1694年开始使用的,以描述曲线的一 个相关量,如曲线的斜率或者曲线上的 某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称 作可导函数,数学家之外的普通人一般 接触到的函数即属此类。对于可导函数 可以讨论它的极限和导数。此两者描述 了函数输出值的变化同输入值变化的关 系,是微积分学的基础。

谢谢!


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