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广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编7:立体几何


广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 7:立体几何 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 1 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) 某几何体的一条棱长为 )

7 ,在

该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投 影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大值为 A. 2 2 B.2 3 C.4 D. 2 5 ( )

2 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)一空间几何体的三视图如右图所示,该几何

8 5 体的体积为 12π + ,则正视图与侧视图中 x 的值为 3

A.5

B .4

C .3

D.2

3 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)某三棱锥的三视图如图所示,

该三棱锥的体积是 A.

( B.



40 3

20 5 3

C.

50 3

D.

41 6

4 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)一个棱长为 2 的正方体沿其棱的

中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示,则该几何体的体积为 A.7 B.

( C.



22 3

47 6

D.

23 3

正视图

侧视图

5 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题) 下列命题中假命题是 ...





A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行. 6 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) 如图是某简单组合体的三视图,则该组 ) 合体的体积为

( A. 36 3(? ? 2) B. 36 3(? ? 2) C. 108 3? D. 108( 3? ? 2)



7 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) 一个圆锥的正(主)视图及其尺寸 )

如图 2 所示.若一个平行于 面的面积为 A.

圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两部分,则截 ( ) C.

1 ? 4

B. ?

9 ? 4

D. 4?

4

6 图2
8 . (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,

这个几何体的体积 V ?





A. 12?

B. 16?

C. 18?

D. 64?

二、填空题 9. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)图 2 是一个组合体 的三视图,根据图中数据,

可得该几何体的表面积等于(几何体的接触面积可忽略不计)___________

10. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) 某简单组合体的三视图如图2, )

其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:cm),则该组合体的体积是________ cm (结果保留 ? )
3

11. (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) 一个几何体的三视图如图所示, )

则这个几何体的体积为___

12. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题 (WORD 版) 已知集合 A、B、C, ={直线}, B ={平 ) A

面}, C ? A? B . 若 a ? A, b ? B, c ? C ,给出下列四个命题: ①?

?a // b ?a ? b ?a // b ? a // c ② ? ? a // c ③ ? ?a?c ?c // b ?c ? b ?c ? b ?a ? b ?a?c ?c // b
其中所有正确命题的序号是__________.

④?

三、解答题 13. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题) 如图 5 ? 1 ,在直角梯形 ABCD 中,已知

AD // BC , AD ? AB ? 1 , ?BAD ? 90o , ?BCD ? 45o , AE ? BD .将 ?ABD 沿对角线 BD 折起(图

5 ? 2 ),记折起后点 A 的位置为 P 且使平面 PBD ? 平面 BCD . (1)求三棱锥 P ? BCD 的体积; (2)求平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小.

14.(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))如图,在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1

中,AA1=2, AD = 3 , E 为 C D 中点,三棱 锥 A1- A B 1 E 的体积是 6 . (1) 设 P 是棱 BB1 的中点,证明:CP//平面 AEB1; (2) 求 AB 的长; (3)求二面角 B—AB1-E 的余弦值.

15. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) 如图6,已知四边形 ABCD 是矩 )

形, AB ? 2 BC ? 2 ,三角形 PAB 是正三角形,且平面 ABCD ? 平面 PCD . (1)若 O 是 CD 的中点,证明: BO ? PA ; (2)求二面角 B ? PA ? D 的余弦值.

16. (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知

?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面
BDC(如图乙),设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值; (3)求二面角 B-EF-A 的余弦值.

A

A

F E
D B

D
C 甲

B C 乙

17. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)如图,在梯形 ABCD 中

AB / / CD , AD ? CD ? CB ? a, ?ABC ? 60? ,平面 ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩
形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM / / 平面 BDF ?证明你的结论; (3)求二面角 E ? EF ? D 的余弦值.

18. (广东省茂名市2013届高三4月 第二次高考模拟数学理试题( WORD版) 如图,在边长为4的菱形ABCD )

中, ?DAB ? 60? ,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,点D不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O ,沿EF 将 ?CEF 折起到 ?PEF 的位置,使得平面 PEF ? 平面 ABFED (1)求证: BD ? 平面 POA (2)设AO ? BD=H,当O为CH中点时,若点Q满足 AQ=QP ,求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值.

???? ??? ?

19. (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)在图(4)所示的长方形 ABCD 中,

AD=2AB=2,E、 分别为 AD、 的中点, M 、 两点分别在 AF 和 CE 上运动,且 AM=EN= a (0 ? a ? 2). 把 F BC N 长方形 ABCD 沿 EF 折成大小为 ? 的二面角 A-EF-C,如图(5)所示,其中 ? ? (0,
C F

?
2

]

B 图 (4) A

N D C E

M

D

N

F M

B 图 (5)

E

A

(1)当 ? ? 45 时,求三棱柱 BCF-ADE 的体积;
0

(2)求证:不论 ? 怎么变化,直线 MN 总与平面 BCF 平行; (3)当 ? ? 90 且 a ?
0

2 . 时,求异面直线 MN 与 AC 所成角余弦值. 2

20. (广东省江门 佛山两市 2 013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)如图甲,设正方形 ABCD

的边长为 3 ,点 E、F 分别在 AB、CD 上,并且满足 AE ? 2 EB,CF ? 2 FD ,如图乙,将直角梯形

AEFD 沿 EF 折到 A1 EFD1 的位置,使点 A1 在平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上.
(1)证明: A1 E // 平面 CD1 F ; (2)求平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的余弦值.

A1
A D F E
D1

E

F
B

B
图甲

C
第 18 题图

G
图乙

C

21. 广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题 ( (WORD 版) (本小题满分 14 分)如图, ABC ? A1B1C 1 )

中,侧棱与底面垂直, AB ? AC , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,点 M , N 分别为 A1B 和 B1C 1 的中点. (1)证明: MN // 平面A1 ACC 1 ; (2)求二面角 N ? MC ? A 的正弦值.

A1 N B1 M A B

C1

C

22. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) 等边三角形 ABC 的边长为 3,点 )

D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? ? (如图 DB EA 2

3).将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、A1C (如 图 4). (1)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ?若存在,求出 PB 的长,若 不存在,请说明理由. A

A1
D E B 图3 C B 图4 D E C

23. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为

线段 AB 上一点,且 AD ?

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正 3

投影为点 D , PD ? DB . (1)求证: PA ? CD ;(2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值. P

A

D C

O

B

第 18 题图

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 7:立体几何参考答案 一、选择题

C 2. C 3. A
1. 4.

依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为. 2 ? 2 ? ?
3

1 1 23 ? 1? 1? 1 ? ,故选 D. 3 2 3

B 6. 【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为 6 ,
5.

椎体底面边长为 12 ,高为 6 3 . V ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 36 ? 6 3 ? ? ? 12 ? 6 ? 6 3 ? 36 3(? ? 2) 故选 3 2 3 2

B.
C 8. B
7. 二、填空题 9.

40? 解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为
S ? 4? ? 22 ? 2 ? ? ? 22 ? 2? ? 2 ? 6 ? 48? .

10. 1 ?

? 3

11.

10 3
当 C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.

12. 【解析】由题意知: C 可以是直线,也可以是平面 , 三、解答题 13.解:(1)∵平面 PBD ? 平面 BCD , PE ? BD ,

PE ? 平面 PBD ,平面 PBD ? 平面 BCD ? BD , ∴ PE ? 平面 BCD , 即 PE 是三棱锥 P ? BCD 的高,
又∵ AD // BC , AD ? AB ? 1 , ?BAD ? 90 , ?BCD ? 45 ,
o o

∴ ?ABD ? ?CBD ? 45 , ?BDC ? 90 ,
o o

CD ? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 ,
∴ PE ? AE ? AB sin 45o ?

2 , 2

S ?BCD ?

1 1 BD ? CD ? ? 2 ? 2 ? 1 , 2 2

∴三棱锥 P ? BCD 的体积 V ?

1 1 2 2 . S ?BCD ? PE ? ? 1? ? 3 3 2 6

(2)方法一: ∵ PE ? 平面 BCD , CD ? 平面 BCD ,∴ CD ? PE 又∵ CD ? BD , PE ? PD ? P ,∴ CD ? 平面 PBD , ∵ PD ? 平面 PBD ,∴ CD ? PD ∴ PC 2 ? CD 2 ? PD 2 ? 3 ∵ BD ?

2, CD ? 2, ?BDC ? 900 ,∴ BC 2 ? BD 2 ? CD 2 ? 4

∴ BC 2 ? PB 2 ? PC 2 ∴ ?BPC ? 900 ,即 PB ? PC 由已知可知 PB ? PD , ∵ PD ? PC ? P ,∴ PB ? 平面 PBC ∵ PB ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PBC 所以平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小为 90o . 方法二: 过 E 作直线 EG // DC ,交 BC 于 G,则 EG ? BD , EG ? PE 如图建立空间直角坐标系,则 P ? 0, 0,

? ? ?

? ? ? ? ? 2? ? 2 2 2 , 0, 0 ? , C ? ? , 2, 0 ? , D ? ? , 0, 0 ? ?, B? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

??? ? 2 ? ? ? 2 ? ??? ? 2 2 ? ??? ? 2 2? PB ? ? , 0, ? , 2, ? ? , PC ? ? ? ? , PD ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 , 0, ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? 2 2 ??? ? x? z?0 ? ?n?PB ? 0 ?z ? x ? ? 2 2 则 ? ??? ,即 ? 化简得 ? ? ?x ? 2 y ? z ? 0 ?n?PC ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 ? 2
令 x ? 1 ,得 z ? 1, y ? 1 ,所以 n ? (1,1,1) 是平面 PBC 的一个法向量. 同理可得平面 PCD 的一个法向量为 m ? (1, 0, ?1) 设向量 n 和 m 所成角为 ? ,则 cos ? ?

n?m 0 ? ?0 n m 3? 2

∴平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小为 90o .

14.

15.

16.证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45

?

(1) ∴ ?ADB ? 45? , ?ABC ? 90? 即 AB ? BD [来源:学科网 ZXXK] 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥C D 又 ?DCB ? 90? ,∴DC⊥BC,且 AB ? BC ? B ∴DC ? 平面 ABC (2)解法 1:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC ? 平面 ABC, ∴EF⊥平面 ABC,垂足为点 E ∴∠FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角 在图甲中,∵ ?ADC ? 105? , ∴ ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30?

设 CD ? a 则 BD ? 2a, BC ? 3a , BF ?

1 1 2 BD ? 2 2a , EF ? CD ? a 2 2

1 a EF 2 ? 2 ? ∴在 Rt△FEB 中, sin ?FBE ? FB 4 2a
即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为

2 4

解法 2:如图,以 B 为坐标原点,BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示,

设 CD ? a ,则 BD ? AB ? 2a, BC ? 3a , AD ? 2 2a 可得 B (0, 0, 0), D(2a, 0, 0) , A(0, 0, 2a ) ,

3 3 C ( a, a, 0) , F (a, 0, a ) , 2 2
∴ CD ? ( a, ?

Z A F

??? ?

1 2

??? ? 3 a, 0) , BF ? (a, 0, a) 2
X D C

E

设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ? 由(1)知 DC ? 平面 ABC

B y

1 2 ??? ??? ? ? a CD ? BF 2 ? ???? ? 2 ? ∴ cos( ? ? ) ? ??? ? 2 4 | CD | ? | BF | a ? 2a

?

∴ sin ? ?

2 4

(3)由(2)知 FE⊥平面 ABC, 又∵BE ? 平面 ABC,AE ? 平面 ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE, ∴∠AEB 为二面角 B-EF-A 的平面角 在△AEB 中, AE ? BE ?

1 1 7 AC ? AB 2 ? BC 2 ? a 2 2 2

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ∴ cos ?AEB ? ?? 2 AE ? BE 7
即所求二面角 B-EF-A 的余弦为 ?

1 7

17.证明:(Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AB ? CD, AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? ,

∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 且 ?DCA ? ?DAC ? 30?, ?DCB ? 120?, ∴ ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ,∴ AC ? BC. 又∵平面 ACFE ? 平面 ABCD,交线为 AC,∴ BC ? 平面 ACFE. (Ⅱ)当 在梯形 ∵
EM ? EM ? 3 a 3 时, AM ? 平面 BDF. 现在证明如下: ABCD 中 , 设 AC ? BD ? N , 连 结 FN, 则 CN : NA ? 1: 2.

3 a 3 而 EF ? AC ? 3a ,∴ EM : FM ? 1: 2, ∴MF ? AN, ?

∴四边形 ANFM 是平行四边形. ∴ AM ? NF . 又∵ NF ? 平面 BDF, AM ? 平面 BDF. ∴ AM ? 平面 BDF.

(Ⅲ)方法一;(几何法)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH, ∵容易证得 DE=DF,∴ DG ? EF . ∵ BC ? 平面 ACFE,∴ BC ? EF . 又∵ EF ? FC ,∴ EF ? FB. 又∵ GH ? FB ,∴ EF ? GH . ∴ ?DGH 是二面角 B—EF—D 的 平面角.
2 2 2 2 2 在△BDE 中 DE ? 2a, DB ? 3a, BE ? AE ? AB ? 5a. ∴ BE ? DE ? DB ∴ ?EDB ? 90? ,



DH ?

5 5 2 a. DG ? a, GH ? a. 2 又 2 2 ∴在△DGH 中, cos ?DGH ? 10 , 10 即二面角 B—EF—D 的平面角余弦值为

由余弦定理得

10 10

方法二;(向量法)以 C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:

C (0,0,0) , B(0, a,0) , F (0,0, a) ,

D(

3a a ,? ,0) 2 2 , E ( 3a,0, a ) DF ? (? 3a a , , a) 2 2

所以 EF ? (? 3a,0,0) , BF ? (0,? a, a ) ,

分别设平面 BEF 与平面 DEF 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 )

?n1 ? EF ? ? 3ax1 ? 0 ? ? ?n ? BF ? ?ay1 ? az1 ? 0 所以 ? 1 ,令 y1 ? 1 ,则 x1 ? 0, z1 ? 1

?n2 ? EF ? ? 3ax 2 ? 0 ? ? 3a a 1 x 2 ? y 2 ? az 2 ? 0 ?n2 ? DF ? ? y 2 ? 1, 则z 2 ? 2 2 2 又? 显然 x 2 ? 0 ,令
1 n2 ? (0,1,? ) 2 ,设二面角的平面角为 ? , ? 为锐角 所以 n1 ? (0,1,1) ,

cos ? ?
所以

n1 ? n2 n1 ? n2

1 (0,1,1) ? (0,1,? ) 2 ? 10 ? 10 5 2? 2

18. 19.解:(1)依题意得 EF ? DE, EF ? AE,? EF ? 平面 ADE , ? DEA = ?

由 ? ? 45 得, S?ADE ?
?

1 2 DE ? EA sin 45? ? , 2 4 2 4

∴ VBCF ? ADE ? S?ADE ? EF ?

C N1 D N F M E A M1 B

(2)证法一:过点 M 作 MM1 ? BF 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 NN1 ? CF 交 BF 于 N1 ,连结 M1 N1 , ∵ MM1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM1 / / NN1 又∵

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? AB FA CE EF

∴ MM1 ? NN1

∴四边形 MNN1M1 为平行四边形,

? MN / / N1M1, 又MN ? 面BCF , N1M1 ? 面BCF , ? MN / /面BCF .
C

【法二:过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则

CN FM FG ? ? , NE MA GE
D

N

F M

B

G E A

? NG / / CF

又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / /面BCF ,
同理可证得 MG // 面BCF ,又 MG ? NG ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF ? MN // 面BCF 】 ∵MN ? 平面 MNG, (3)法一:取 CF 的中点为 Q,连结 MQ、NQ,则 MQ//AC, ∴ ?NMQ 或其补角为异面直线 MN 与 AC 所成的角,
D N C Q F M E A B

1 2 1 2 3 ∵ ? ? 90 且 a ? . ∴ NQ ? , MQ ? ( )2 ? ( )2 ? 2 2 2 2 2
0

? MN ?

2 , 2

QM 2 ? MN 2 ? NQ2 6 ? cos ?NMQ ? ? . 2MN ? QM 3
即 MN 与 AC 所成角的余弦值为

6 3

【法二:∵ ? ? 90 且 a ?
0

2 . 2
1 1 2 2 1 2 1 2 ???? ???? ? 1 1 2 2

分别以 FE、FB、FC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 则 A(1,1, 0), C (0, 0,1), M ( , , 0), N ( , 0, ), 得 AC ? ( ?1, ?1,1), MN ? (0, ? , ),

???? ???? ? ? cos ? AC , MN ??

1 3? 2 2

?

6 , 3

所以与 AC 所成角的余弦值为

6 】 3

20. ⑴证明:在图甲中,易知 AE / / DF ,从而在图乙中有 A1 E // D1 F ,

因为 A1 E ? 平面 CD1 F , D1 F ? 平面 CD1 F ,所以 A1 E // 平面 CD1 F (条件 2 分) ⑵解法 1、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H , 由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 A1G ? EF , 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H , 所以 ?A1 HG 平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的平面角,

图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以, BG ? MF ? 1 , AG ? 10 ; (三角形全 等 1 分) 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ?

AB?AE 6 , ? AG 10

于是, HG ? AG ? AH ?

4 , 10

A1
A
H
D

D1
H

F E B

M
G
图甲

E

F

C

B

G
图乙

C


Rt ?A1GH

中, cos ?A1GH ?

2 HG 2 ? ,即所求二面角的余弦值为 3 A1 H 3

z
A1
D1

y
E F
T

B

G
图丙

C

x

解法 2、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H ,由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 A1G ? EF , 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H ,图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以 BG ? MF ? 1 ,则 AG ? 10 ; 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ?

AB?AE 6 , ? AG 10

于是, HG ? AG ? AH ?

4 , 10

? 6 ? ? 4 ? 在 Rt ?A1GH 中, A1G ? A1 H ? HG ? ? ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ?
2 2

2

2

作 GT / / BE 交 EF 于 点 T , 则 TG ? GC , 以 点 G 为 原 点 , 分 别 以 GC、GT、GA1 所 在 直 线 为

x、y、z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G (0, 0, 0) 、E (1, ?1, 0) 、F (2, 2, 0) 、A1 (0, 0, 2) ,

EA 则 EF ? (1,3, 0), 1 ? (?1,1, 2) (坐标系、坐标、向量各 1 分)
显然, GA1 ? (0, 0, 2) 是平面 BEFC 的一个法向量,

??? ?

????

????

? ??? ? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? x ? ?3 y, ? ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1 EFD1 的一个法向量,则 ? ? ???? ,即 ? ,不妨 ? z ? ?2 2 y ?n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ?
取 y ? ?1 ,则 n ? (3, ?1, 2 2) , 设 平 面 BEFC 与 平 面 A1 EFD1 所 成 二 面 角 为

?

? , 可 以 看 出 , ? 为 锐 角 , 所

???? ? GA1 ?n | 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 2 | 2 ? ,所以,平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二 以, cos ? ? ???? ? ? 3 | GA1 |? n | | 2 ? 32 ? (?1) 2 ? (2 2) 2
面角的余弦值为

2 3

21.

(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) A1 C1 解 : N P (1)证法一: 连接 AB1, AC1 B1 由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C 1 的中点,

? MN // AC1 又 MN ? 平面 A1 ACC 1 , AC 1 ? 平面 A1 ACC 1 , ? MN // 平面 A1 ACC 1

M A C

B 证法二:取 A1B1 中点 P ,连 MP, NP ,而 M , N 分别为 AB1 与 B1C 1 的中点,

? MP // A1 A , MP ? 平面A1 ACC 1 , AA1 ? 平面A1 ACC1 , ? MP // 平面A1 ACC1 , 同理可证 NP // 平面A1 ACC 1 又 MP ? NP ? P ? 平面 MNP //平面 A1 ACC 1 ? MN ? 平面 MNP ,? MN // 平面 A1 ACC 1
证法三(向量法): 以点 A 为坐标原点,分别以直线

z
A1 P N C1

AB, AC , AA1 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A ? xyz
, 如 图 所 示 . 于 是

B1 M A C

y

x

B

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), M (1, 0,1), N (1,1, 2) ? AB ? AC , AB ? AA1 , AC ? AA1 ? A ,
? AB ? 平面A1 ACC 1 ??? ? ? 向量 AB(2, 0, 0) 是平面 A1 ACC 1 的一个法向量

??? ???? ? ? ???? ? MN (0,1,1) , AB ? MN ? 2 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? AB ? MN
又 MN ? 平面A1 ACC 1 ? MN // 平面 A1 ACC 1 (2)解法一: 以点 A 为坐标原点,分别以直线

AB, AC , AA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示.
于是 A(0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 2, 0) , A1(0, 0, 2), B1(2, 0, 2), C 1(0, 2, 2) , M (1, 0,1), N (1,1, 2) 由(1)知 MA1 是平面 MCA 的一个法向量, MA1 ? (?1, 0,1) 设平面 NMC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , MN ? (0,1,1) , MC ? (?1, 2, ?1) ,

???? ?

???? ?

?

???? ?

???? ?

? ???? ? ?n ? MN ? 0 ? y ? z ? 0 ? y ? ?z ? , ?? ?? ? ? ? ???? ?n ? MC ? 0 ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? ?3z ?
? ? n ? (3,1, ?1)
设向量 MA1 和向量 n 的夹角为 ? ,则

???? ?

?

???? ? ? MA1 ? n (?1) ? 3 ? 0 ?1 ? 1? (?1) 4 cos ? ? ???? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 22 MA1 n (?1) ? 0 ? 1 ? 3 ? 1 ? (?1)
? 二面角 N ? MC ? A 的的正弦值为 1 ? cos 2 ? ? 1 ?

8 33 ? 11 11

解法二( 几何法):如图,将几何体补形成一 个正方体 ,连 DC 1、CD1 交 于点 O ,连 B1 A、B1O , 显 然, A、M 、C、B1、D1、O ,都在同一平面 ACB1D1 上 易证 B1O // MC , C 1O ? CD1 ,

? B1D1 ? 平面 C1CDD1 , C1O ? 平面 C1CDD1 , ? C1O ? B1D1 ,又 B1D1 ? CD1 ? D1
? C1O ? 平面 ACB1D1 . 取 B1O 中点 H ,连 NH , ? N、H 分别是 B1O, B1C1 的中点

A1

N B1 H M
Q

C1 D1 O
P

A ? NH // C1O , ? NH ? 平面 ACB1D1 , B B 且 H 为垂足,即 NH ? 平面 AMC ,过点 O 作 OP ? MC 于 P , 1
H M
Q

C D
D1

O

过 H 作 HQ // OP 交 MC 于 Q ,连 NQ , 则 ?NQH 即是所求二面角 N ? MC ? A 的补角 在 Rt ?MAC 中, CM ?

AM 2 ? AC 2 ? 22 ? 2 ? 6 ,

2

sin ?MCA ?

? 1 6 AM 2 1 , sin ?OCP ? sin( ? ?MCA) ? cos ?MCA ? 1 ? ? , ? ? 2 3 3 MC 6 3
OP 6 2 3 ,? OP ? 2 ? ? 3 3 2

在 Rt ?OPC 中, sin ?OCP ?

? HQ ? OP ?

2 3 1 2 又 MH ? C 1O ? 3 2 2

? 在 Rt ?NQH 中, NQ ? NH 2 ? HQ 2 ?

1 4 11 , ? ? 2 3 6

2 NH 33 ? sin ?NQH ? ? 2 ? NQ 11 11 6
? 所求二面角 N ? MC ? A 的正弦值为

33 11

22. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解

能力等,本小题满分 14 分) A D E B C

证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60? ,

AD CE 1 ? ? , DB EA 2

由余弦定理得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60 ? 3 .
2 2 ?

因为 AD ? DE ? AE ,
2 2 2

所以 AD ? DE .

折叠后有 A1 D ? DE 因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A1 DE ? 平面 BCED 又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE , A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED (2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1 D ? PH 又 A1 D ? BD ? D , 所以 PH ? 平面 A1 BD 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? ,则 BH ? H B P C D E

A1

3 x , PH ? x 2 2
1 x 2

在 Rt △ PA1 H 中, ?PA1 H ? 60? ,所以 A1 H ? 在 Rt △ A1 DH 中, A1 D ? 1 , DH ? 2 ? 由 A1 D 2 ? DH 2 ? A1 H 2 ,

1 x 2

1 ? ?1 ? ? 得1 ? ? 2 ? x ? ? ? x ? 2 ? ?2 ? ?
2

2

2

解得 x ?

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意 2 5 2

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ?

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . z 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标

A1

系 D ? xyz 如图 D E B x H P C y

设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a 所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 因为 ED ? 平面 A1 BD , 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,

?

? ?

?

????

?

?
????

?

?

???? ???? PA1 ?DE 所以 sin 60? ? ???? ???? PA1 DE
? 3a 4a 2 ? 4a ? 5 ? 3
5 4 5 ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意 2 5 2

?

3 , 2

解得 a ?

即 PB ? 2a ?

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ? P

A

D O C

B

23.解析:

(Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
?

∴ ?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC ,

∴ PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD (注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分.) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 ,[来源:学. 科.网] ∴

BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

∴ ?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?

设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ?

2 2 2 ∴ CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD (Ⅱ)法 1:(综合法)过点 D 作 DE ? PB ,垂足为 E ,连接 CE 由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ CD ? PB ,又 DE ? CD ? D , ∴ PB ? 平面 CDE ,又 CE ? 平面 CDE , ∴ CE ? PB , ∴ ?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角 A D C O B

P

E

由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分.) ∴ PB ? 3 2 ,则 DE ?

PD ? DB 9 3 2 , ? ? PB 2 3 2
CD 3 6 , ? ? DE 3 2 3 2

∴在 Rt?CDE 中, tan ?DEC ?

∴ cos ?DEC ?

15 15 ,即二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 5 5

法 2:(坐标法)以 D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的 方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向,建立如图所示 的空间直角坐标系 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 CD ? AB ,酌情给分.) 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, PD ? DB ? 3 , CD ? 3 , ∴ D(0,0,0) , C ( 3,0,0) , B(0,3, 0) , P(0, 0,3) , ∴ PC ? ( 3,0, ?3) , PB ? (0,3, ?3) , CD ? (? 3,0,0) , 由 CD ? 平面 PAB ,知平面 PAB 的一个法向量为 CD ? (? 3,0,0) 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 z P

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? PC ? 0 ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ,即 ? ,令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 , ? ? ??? ?3 y ? 3 z ? 0 ?n ? PB ? 0 ? ?
∴ n ? ( 3,1,1) , 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? 则 cos ? ? , ?? 5 | n | ? | CD | 5? 3
15 ∴二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 5

A

D O C x B y


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