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2014高一上学期期中考试数学试卷(附答案)



高一数学试卷 1
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设 A={1,2,3,4,5},B={3,5},则集合 ?A B 的真子集的个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2. 若集合 M={y|y= x ?2 },P={x|y= x ? 1 },那么( ) A.M ? P B.P ? M C.M∩P= ? 3.函数 y ? x2 ( x≥0) 的反函数是( ) A.y ? x ( x≥0) B.y ? ? x ( x≥0) C.y ? ? x ( x≤0) D.M ? P=R D.y ? ? ? x ( x≤0) )

4. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2(m ?1) x ? 4 的单调减区间是 (??, 4] ,则 m 应满足的条件为( A. m< ? 3 B. m≤ ? 3 C. m ? ?3 D. m≥ ? 3 5. 函数 f ( x) ? e x ( e 为自然对数的底数)对任意实数 x 、 y ,都有( A. f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) B. f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) C. f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) D. f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 6.三个数 a ? 10000.6,b ? 0.61000,c ? log0.6 1000 的大小顺序是( A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. a ? c ? b 7. 函数 y ? x ? a与y ? log a x 的图象可能是(
y 1 -1 1 x -1 y 1 O -1 1 x -1

)

) D. c ? a ? b
y

)
y 1 -1 O 1 x -1 1 O -1 x

1

O -1

A.

B.

C.

D.

4) ,在用二分法求精确度为 0.01 的 x0 的一个值时, 8. 已知函数 f ( x) 的一个零点 x0 ? (3, 判断各区间中点的函数值的符号最多( ) A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次

9. 已知 f ( x) ? ax 7 ? bx 5 ? cx 3 ? 2 ,且 f (?5) ? m,则 f (5) ? f (?5) 的值为( ) A. 4 B. 0 C. 2m D. ? m ? 4 10. 化简 log 2 (1 ? 2
A.log 2 (1 ? 2
1 ? 32 ? 1 32

) ? log 2 (1 ? 2

?

1 16

) ? log 2 (1 ? 2 8 ) ? log 2 (1 ? 2 4 ) ? log 2 (1 ? 2 2 ) 得(
1 ? 32

?

1

?

1

?

1

)
? 1 32

)

B.? log 2 (1 ? 2

)

C.?1 ? log 2 (1 ? 2

1 ? 32

)

D.?1 ? log 2 (1 ? 2

)

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.将答案填在题中的横线上 11. 已知 A={x|x<-1 或 x>5} ,B={x|a<x<a+4} .若 A B,则实数 a 的取值 范围是____________. 1 ?1 ? x( x ? 4) ( x≥0) 12. 已知 f ( x) ? ? ,则 f ( ( ) 2 )的值为 . 4 ? x( x ? 4) (x<0)
-1-

4

13.对于幂函数 f ( x) ? x 5 ,若 x1<x2<0,则 f ( __________________________________. 14. 若 f ( x) ? lg(10x ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x ) ? 15.给出下列 4 个结论

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 大小关系为 )与 2 2

4x ? b 是奇函数,那么 a+b 的值为 2x

.

1) ,都有 log 1 x ? log 1 x ; ① 存在x ? (0,? ?) ,使得 ( ) x ? ( ) x ; ② 对于任意x ? (0,

1 2

1 3

1 x 1 x ③ 对于任意x ? (0,? ?) ,都有 ( ) ? log 1 x ; ④ 存在x ? (0, 1) ,使得 ( ) ? log 1 x 。 2 2 2 3 其中的正确的结论是____________(填上所有正确结论的序号).
三、解答题:本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 8 分) 若 A={-1, 3}, B ? {x | x2 ? mx ? n ? 0} , (?R A) ? B ? ? ,A ? B ? {3} , 求 m 、 n 的值. 17. (本小题满分 8 分)计算或化简下列各式: (Ⅰ) log4 27 ? log 1
9

2

3

2 ? lg2 2 ? 4lg 2 ? 4 ? eln(lg5) ;

(Ⅱ) ( a2 ? 2 ? a?2 ) ? (a2 ? a?2 ) .

18. (本小题满分 8 分)已知幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (2, 4) ,对于偶函数 y ? g ( x)( x ? R) ,当 x ? 0 时, g ( x) ? f ( x) ? 2 x 。 (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x) 的解析式,并在给 定坐标系下,画出函数 y ? g ( x) 的图象; (Ⅲ)写出函数 y ? g ( x) 的单调递减区间。

19. (本小题满分 10 分)已知 f (log 2 x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

(a、b ? R,x>0) x? 2 (Ⅱ)当 a ? 2,b ? 1 时,判断并证明 f ( x) 的单调性.

ax ? b

1) 20. (本小题满分 11 分)已知函数 f ( x) ? log a (1 ? x) ? log a ( x ? 3) (0<a< (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的零点; (Ⅲ)若函数 f ( x) 的最小值为 ?4 ,求 a 的值.
21. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) 是定义在[ ?2 ,3]上的增函数,且 f (3) ? 1 . (Ⅰ)解不等式 f ( x ? 2)<f (1 ? x) ; (Ⅱ) 若 f ( x) ? 1≤t 2 ? 2at 对于所有 x ? [ ?2 ,3], a ? [ ?1 ,1]恒成立,求实数 t 的取值范围.

-2-

高一数学卷 1 参考答案
【参考解答】

一、选择题: (3*10=30 分 ) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C 9 A 10 D

二、填空题: (3*5=15 分) . 11. (??,? 5] ? [5,? ?) ; 14.
1 2

12. 12 ;

13. f ( x1 ? x2 ) > f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;
2
2

; 15.②④ 。

16.解:? (?R A) ? B ? ? , ? B ? A ,又 A ? B ? {3} ,? B ? {3} 即方程 x ? mx ? n ? 0 有两个相等的实根且根为 3,
2

x 2 ? mx ? n ? 0 应为 x 2 ? 6 x ? 9 ? 0 ? m ? ?6 ―――――――――――――8 分
( 或? ? ? m ? 4n ? 0 ? m ? ?6
2

?n ? 9

?

9 ? 6m ? n ? 0

?n ? 9

? ? ? m 2 ? 4n ? 0 ? 或? ?3 ? 3 ? ? m ? m ? ?6 ) n?9 ?3 ? 3 ? n ?

?

17.解:(Ⅰ) 原式 =

lg 27 lg 2 ? ? (2 ? lg 2)2 ? lg5 lg 4 lg 1 9

1 lg 2 3lg3 2 3 =? ? ? 2 ? lg 2 ? lg5 = ? ? 2 ? lg 2 ? lg5 2lg 2 2lg3 8

=

13 5 13 13 ? lg(2 ? 5) = ? lg10 = ? 1= 8 8 8 8
( a ? a ?1 ) 2 (a ? a ?1 )(a ? a ?1 ) a ? a ?1 a ? a ?1

―――――――4 分

(Ⅱ) 原式 ?

a 2 ? 2 ? a ?2 a 2 ? a ?2

?

?

?

a2 ? 1 a2 ? 1

――――――8 分

-3-

18.

t ? R) ,则 x ? 2 ,则 f (t ) ? 19. 解:(Ⅰ)令 log 2 x ? t ( x>0,
t

a ? 2t ? b 2t ? 2

(t ? R)

? f ( x) ?

a ? 2x ? b 2x ? 2

( x ? R ) ―――――――――――――――――4 分
2 ? 2x ? 1
x

b ? 1 时,? f ( x) ? (Ⅱ) 当 a ? 2,

2 ? 2 2 ? 2 1 1 ? 2? x 设 x1<x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? x 21 ? 2 22 ? 2 1 1 2 x1 ? 2 x2 ? x ? x ? x 2 2 ? 2 2 1 ? 2 (2 1 ? 2)(2 x2 ? 2)
x
1 2 1 2

? 2?

1

? x1<x2 ?2x ? 2x <0, (2x ? 2)(2x ? 2)>0
? <0 ? f ( x1 )<f ( x1 ) (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) y =f ( x) 在 R 上为增函数。―――――――――――――――――――10 分
?1 ? x ? 0 得: ? 3 ? x ? 1 , ?x ? 3 ? 0

2 x1 ? 2 x2

20.解:(Ⅰ)由 ?

1) ;――――――――――――――3 分 所以函数 f ( x) 定义域为: (?3,
(Ⅱ)令 f ( x) ? 0 ,即: loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3) ? 0 ,

-4-

?log a (1 ? x)( x ? 3) ? 0 ?(1 ? x)( x ? 3) ? 1 ? ? ? ?1 ? x ? 0 即: ?1 ? x ? 0 ,得 x ? ? 3 ? 1 ;――7 分 ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? ?
(Ⅲ) 因为 f ( x) ? loga [4 ? ( x ? 1)2 ] , 而当 ? 3 ? x ? 1 时, u ? 4 ? ( x ? 1)2 有最大值 4, 又 0 ? a ? 1,函数 f ( x) 的最小值为 ?4 , 所以: log a 4 ? ?4 ,解得: a ? 4
? 1 4

―――――――――9 分

?

2 2

―――――――――11 分

21. 解:(Ⅰ)?函数 f ( x) 在[ ?2 ,3]上递增,

? x ? 2<1 ? x 1 ? ? ??2≤x ? 2≤3 ? ?2≤x< ? 2 ? ?2≤1 ? x≤3 ?
原不等式的解集为 {x | ? 2≤x< ? } ――――――――――――――――4 分 (Ⅱ) ?函数 f ( x) 在[ ?2 ,3]上递增,且 f (3) ? 1

1 2

?在[ ?2 ,3]上 f ( x)≤1 ,?在[ ?2 ,3]上 f ( x) ? 1≤0 ,
即: f ( x) ? 1 在[ ?2 ,3]上最大值为 0.

?依题意 t 2 ? 2at≥0 对于 a ? [ ?1 ,1]恒成立. ――――――――――――6 分
设 g (a) ? ?2ta ? t 2 ,则 g (a) ? ?2ta ? t 2≥0 对于 a ? [ ?1 ,1]恒成立. ①若 t ? 0 ,则 g (a) ? ?2ta ? t 2 ? 0 ,满足题意. ――――――――――――7 分 ②若 t ? 0 ,则 g (a) ? ?2ta ? t 2 是关于 a 的一次函数,

? 2t ? t 2≥0 ? g (?1)≥0 由 g (a)≥0 对于 a ? [ ?1 ,1]恒成立得: ? ?? 2 ? g (1)≥0 ??2t ? t ≥0

? t≤ ? 2 或 t≥2
+?) ――――――――10 分 综合①、②,t 的取值范围是 (??,? 2] ?{0}? [2,

-5-



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