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示范教案(2.3.4 平面向量共线的坐标表示)



2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 整体设计 教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表 示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学 生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差 的坐标以及数乘的坐

标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配 律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量 的某些关系,特别是向量的平行、 垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共 线的条件(如果存在实数 λ,使得 a=λb,那么 a 与 b 共线),本节则进一步地把向量共线的条件转 化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件 就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 三维目标 1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解 并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示. 2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体. 3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用 意识. 重点难点 教学重点:平面向量的坐标运算. 教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程 以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于 x、y 的二 元一次方程 Ax+By+C=0(A、 不同时为零)何时所体现的两条直线平行?向量的共线用代数 B 运算如何体现? 思路 2.对于平面内的任意向量 a,过定点 O 作向量 OA =a,则点 A 的位置被向量 a 的大小 和方向所唯一确定.如果以定点 O 为原点建立平面直角坐标系,那么点 A 的位置可通过其坐标 来反映,从而向量 a 也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上, 向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将 数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量 的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、 垂直,是否也能通 过坐标来研究呢? 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出 a+b,a-b,λa 的坐标

表示吗? ②如图 1,已知 A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示 AB 的坐标?你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的 P 点吗?标出点 P 后,你能总结出什么结论? 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到 黑板去板书步骤.可得:

图1 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j, 即 a+b=(x1+x2,y1+y2). 同理 a-b=(x1-x2,y1-y2). 又 λa=λ(x1i+y1j)=λx1i+λy1j.∴λa=(λx1,λy1). 教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量 AB 平 移,使得点 A 与坐标原点 O 重合,则平移后的 B 点位置就是 P 点.向量 AB 的坐标与以原点为 始点,点 P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 学生通过平移也可以发现:向量 AB 的模与向量 OP 的模是相等的. 由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: | AB |=| OP |= ( x 1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) .
2 2

教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的 翅膀,就一定能获得意想不到的收获. 讨论结果:①能. ② AB = OB - OA =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1). 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题 ①如何用坐标表示两个共线向量? ②若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么
y1 x1 ? y2 x2

是向量 a、b 共线的什么条件?

活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究 困难的学生给以必要的点拨:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.我们知道,a、b 共线,当且仅当存 在实数 λ,使 a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2), 即?
? ? x1 ? ? x 2 , ? y1 ? ? y 2 . ?

消去 λ 后得 x1y2-x2y1=0.

这就是说,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时向量 a、b(b≠0)共线. 又我们知道 x1y2-x2y1=0 与 x1y2=x2y1 是等价的,但这与
y1 x1 ? y2 x2

是不等价的.因为当 x1=x2=0

时,x1y2-x2y1=0 成立,但

y1 x1

?

y2 x2

均无意义.因此

y1 x1

?

y2 x2

是向量 a、 共线的充分不必要条件. b

由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点. 讨论结果:①x1y2-x2y1=0 时,向量 a、b(b≠0)共线. ②充分不必要条件. 提出问题 a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a=λb, 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢? 活动:教师引导推证:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠a, 由 a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2) ? ?
? x1 ? ? x 2 , ? ? y1 ? ? y 2 . ?

消去 λ,得 x1y2-x2y1=0.

讨论结果:a∥b(b≠0)的充要条件是 x1y2-x2y1=0. 教师应向学生特别提醒感悟: 1° 消去 λ 时不能两式相除,∵y1、y2 有可能为 0,而 b≠0,∴x2、y2 中至少有一个不为 0. 2° 充要条件不能写成
y1 x1 ? y2 x2

(∵x1、x2 有可能为 0).
?a ? ?b ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 .

3° 从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0) ? ? 应用示例

思路 1 例 1 已知 a=(2,1),b=(-3,4),求 a+b,a-b,3a+4b 的坐标. 活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及 数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的 有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向 量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成. 解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式. 变式训练 1.(2007 海南高考,4) 已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量
1 2

a?

3 2

b 等于(

) D.(-1,2)

A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) 答案:D 2.(2007 全国高考,3) 已知向量 a=(-5,6),b=(6,5),则 a 与 b…( ) A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向

D.平行且反向

答案:A

例 2 如图 2,已知 D 的坐标. 活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一 利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法 的平行四边形法则求得向量 OD 的坐标,进而得到点 D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用 图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点 D 的坐标表示为已知点 的坐标. 解:方法一:如图 2,设顶点 D 的坐标为(x,y). ∵ AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2), DC =(3-x,4-y).由 AB = DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴ ?
? x ? 2, ? y ? 2. ?1 ? 3 ? x , ? 2 ? 4 ? x.

图2 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点

∴?

∴顶点 D 的坐标为(2,2). 方法二:如图 2,由向量加法的平行四边形法则,可知
BD ? BA ? AD ? BA ? BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),

而 OD = OB + BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴顶点 D 的坐标为(2,2). 点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算. 变式训练

图3 如图 3,已知平面上三点的坐标分别为 A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点 D 的坐标使这四点构成平行 四边形四个顶点. 解:当平行四边形为 ABCD 时,仿例二得:D1=(2,2); 当平行四边形为 ACDB 时,仿例二得:D2=(4,6); 当平行四边形为 DACB 时,仿上得:D3=(-6,0). 例 3 已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A、B、C 三点之间的位置关系.

活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根 据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引 导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观 察图象领悟先猜后证的思维方式. 解:在平面直角坐标系中作出 A、B、C 三点,观察图形,我们猜想 A、B、C 三点共线.下面给 出证明. ∵ AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又 2× 6-3× 4=0,∴ AB ∥ AC ,且直线 AB、直线 AC 有公共点 A, ∴A、B、C 三点共线. 点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个 向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来 的. 变式训练 已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,求 y.? 解:∵a∥b,∴4y-2× 6=0. ∴y=3. 思路 2 例 2 设点 P 是线段 P1P2 上的一点,P1、P2 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2). (1)当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2)当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当
P1 P PP 2

=λ 时,点 P 的坐标是什么?

师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理 方法: 由 P1 P =λ PP 2 ,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),
? x1 ? ? x 2 , ?x ? ? ? x ? x1 ? ? ( x 2 ? x ) ? 1? ? 即? ? ? ? y ? y1 ? ? ( y 2 ? y ) y1 ? ? y 2 ? ? y ? . ? 1? ? ?

这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习 数学的重要品质.时间允许的话,可以探索 λ 的取值符号对 P 点位置的影响,也可鼓励学生课后 探索.

图4

解:(1)如图 4,由向量的线性运算可知
OP =
1 2

( OP 1+ OP 2)=(

x1 ? x 2 2

,

y1 ? y 2 2

. ).

所以点 P 的坐标是(

x1 ? x 2 2

,

y1 ? y 2 2

.)

(2)如图 5,当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,有两种情况,即

P1 P PP 2

=

1 2



P1 P PP 2

=2.

如果

P1 P PP 2

=

1 2

,那么

图5
OP = OP 1 + P1 P = OP 1 +
1 3

P1 P2

= OP 1 + =
2 3

1 3

( OP 2 - OP 1 )
1 3

OP 1 +

OP 2

=(

2 x1 ? x 2 3

,

2 y1 ? y 2 3

).

即点 P 的坐标是(

2 x1 ? x 2 3

,

2 y1 ? y 2 3

).
x1 ? 2 x 2 3 y1 ? 2 y 2 3

同理,如果

P1 P PP 2

=2,那么点 P 的坐标是

,

.

点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式. 变式训练 在△ ABC 中,已知点 A(3,7)、B(-2,5).若线段 AC、BC 的中点都在坐标轴上,求点 C 的坐 标. 解:(1)若 AC 的中点在 y 轴上,则 BC 的中点在 x 轴上, 设点 C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得 ∴x=-3,y=-5, 即 C 点坐标为(-3,-5).
3? x 2 ? 0, y ?5 2 ? 0,

(2)若 AC 的中点在 x 轴上,则 BC 的中点在 y 轴上,则同理可得 C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知 C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7). 例 2 已知点 A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点, OP = OA +t AB .若点 P 在第二象限,求实数 t 的取值 范围. 活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的 方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学 生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不 完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的 基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式 (组)的解集. 解:由已知 AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴ OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2). 若点 P 在第二象限,则 ? 故 t 的取值范围是( ?
2 3
? 3t ? 1 ? 0 ? 3t ? 2 ? 0 ? ? 2 3 ? t ? ? 1 3

,?

1 3

).

点评:此题通过向量的坐标运算,将点 P 的坐标用 t 表示,由点 P 在第二象限可得到一个关 于 t 的不等式组,这个不等式组的解集就是 t 的取值范围. 变式训练 已知 OA =(cosθ,sinθ), OB =(1+sinθ,1+cosθ),其中 0≤θ≤π,求| AB |的取值范围. 解:∵ AB = OB - OA =(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ) =(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ). ∴| AB |2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2 =[1+(sinθ-cosθ)]2+[1-(sinθ-cosθ)]2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ) =4-4sinθcosθ=4-2sin2θ. ∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π. 从而-1≤sin2θ≤1. ∴4-2sin2θ∈[2,6].故| AB |的取值范围是[ 2 , 6 ]. 知能训练 课本本节练习. 解答: 1.(1)a+b=(3,6),a-b=(-7,2);(2)a+b=(1,11),a-b=(7,-5); (3)a+b=(0,0),a-b=(4,6);(4)a+b=(3,4),a-b=(3,-4). 2.-2a+4b=(-6,-8),4a+3b=(12,5). 3.(1) AB =(3,4), BA =(-3,-4);(2) AB =(9,-1), BA =(-9,1);

(3) AB =(0,2), BA =(0,-2);(4) AB =(5,0), BA =(-5,0). 4. AB ∥ CD . 证明: AB =(1,-1), CD =(1,-1),所以 AB = CD .所以 AB∥CD. 点评:本题有两个要求:一是判断,二是证明.通过作图发现规律,提出猜想,然后再证明结论是 一个让学生经历数学化的过程. 5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5). 6.(
10 3

,1)或(

14 3

,-1).
3 2

7.解:设 P(x,y),由点 P 在线段 AB 的延长线上,且| AP |= (x-2,y-3)=
3 2

| PB |,得

(x-4,y+3),
? x ? 8, ? y ? ? 15 .

即?

? 2 x ? 4 ? 3 x ? 12 . ?2 y ? 6 ? 3 y ? 9.

解之,得 ?

所以点 P 的坐标为(8,-15). 点评:本题希望通过向量方法求解,培养学生应用向量的意识. 课堂小结 1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量 共线的坐标表示. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后 的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为 将来的发展打下良好基础. 作业 课本习题 2.3 A 组 5、6. 设计感想 1.本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可 大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.教师在引导学生探究时,始终抓住向 量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向 量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数 化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力. 2.平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算 要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包 括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等. 3.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间 的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的 两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式.它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其 独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.



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