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14.平面向量的有关概念及数乘运算



第十三节 平面向量的基本概念及线性运算
一、知识结构

? ? ? ? ?向量的概念 ? ? ? ?向量的模 ? ?零向量 ? ? ? ? ?有关概念?单位向量 ?相等向量 ? ? ? ?共线向量(平行向量) ? ? ? ?垂直向量 ? ? ? ?有向线段 ? ? ? ?表示方法?黑体小写字母 ? ?起点与终点的字母并上标箭号表示 ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?向量加法的三角形法则 ? ?加法?向量加法的平行四边形法则 ? ? ? ? ? ? 交换律 ?向量加法的运算律? ? ? ? ? ?数乘运算? ?结合律 ? ? ? ? ?减法?向量减法的三角形法则 ? ? ? ?向量减法是向量加法的逆运算 ? ? ? ?数乘?项链不过数乘运算的法则,几何意义 ? ? ? ?坐标表示:用坐标表示向量的加法,减法和数乘运算 ?
二、重难点 1.向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念 2.平行向量、相等向量、共线向量的区别和联系 3.向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义 4.向量运算法则的应用 5.向量共线的等价条件 三、典例精析 (一)平面向量的基本概念 例 1(向量的概念) 下列物理量:① 质量;② 速度;③ 位移;④ 力;⑤ 加速度;⑥ 路程;⑦ 密度;⑧ 功。其中不是 向量的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 例 2(向量的表示)

(1)用有向线段表示两相等向量,如果起点相同,那么它们的终点是否相同? (2)用有向线段表示两个模相等的向量,如果起点相同,那么它们的终点是否相同?

例 3(相等向量与共线向量) 如图所示,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,且 OA ? a, OB ? b, OC ? c . (1)与 a 的模相等的向量有多少个? (2)与 a 的长度相等,但方向相反的向量有哪些? (3)与 a 共线的向量有哪些? (4)请分别列出与 a , b , c 相等的所有向量 E D

F

O

C

A

B

例 4(向量在几何中的应用) 一辆汽车从点 A 出发,向西行驶了 100 公里到达点 B,然后又改变方向,向西偏北 50°的 方向行驶了 200 公里到达点 C,最后又改变方向,向东行驶了 100 公里到达点 D。 (1)作出向量 AB, BC , CD ; (2)求 AD .

练 习 : 已 知 E , F , M , N 分 别 是 四 边 形 ABCD 的 边 AB, BC , CD, DA 的 中 点 , 求 证

EF ? NM .

易错 1(向量概念应用出错) 例 1 给出下列结论:① 体积是向量;② 角有正角和负角之分,所以角是向量。则( A.① 正确,② 错误 B.① 错误,② 正确 C.① ② 都正确 D.① ② 都错误



易错 2(零向量应用出错) 例 2 给出下列命题: ① 若 a ? 0, 则a ? 0 ② 若 a 是单位向量,则 a ? 1 ; ③ 若 a与b 不平行,则 a 与 b 都是非零向量. 其中真命题的序号为_______________.

易错 3(单位向量应用出错) 例 3 下列说法正确的是( ) A.单位向量一定是平行向量 B.相等向量不一定是共线向量 C.共线的单位向量一定是相等向量 D.平行向量一定是共线向量

易错 4(相等向量应用出错) 例 4 给出下列说法: ① 若两个向量相等,则它们的起点必重合; ② 若两个向量不相等,则它们一定不共线; ③ 若两个向量不相等,则它们一定不可能用同一条有向线段来表示; ④ 零向量与任意向量共线. 其中错误说法的序号是_____________.

疑难点(共线向量的应用) 例 5 判断“如果 a // b , b // c ,那么 a // c ”说法的对错,并说明理由。

(二)向量加法和向量减法 例 1(向量加、减法的概念问题) 下列说法中,正确的有( ) ① 如果非零向量 a 与 b 共线,那么 a ? b 的方向必与 a, b 之一的方向相同; ② 在 ?ABC 中,必有 AB ? BC ? CA ? 0 ; ③ 若 AB ? BC ? CA ? 0 ,则 A, B, C 为一个三角形的三个顶点; ④ 若 a, b 均为非零向量,则 a ? b 与 a ? b 一定相等. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

例 2(向量加法、减法的几何意义) 如图所示,已知不共线的两个非零向量 a, b ,求作向量: a ? b, b ? a,? a ? b .

b a

例 3(向量加法、减法运算) 化简. (1) BC ? AB ;

(2) DB ? CD ? BC ;

(3) AB ? DF ? CD ? BC ? FA ;

(4) AB ? CD ? AC ? BD .

?

??

?

练习: 下列各式不能化简为 AD 的是( ① AB ? CB ? CD ③OB ? OA ? BD A.① B.② ) ②AD ? BM ? CB ? CM ④CB ? AD ? BC C.③ D.④

例 4(向量加法、减法的应用) 利用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

练习:如图所示,在 ABCD 中, AB ? a, AD ? b ,用 a, b 表示向量 AC , DB . (1)当 a, b 满足什么条件时, a ? b, a ? b 互相垂直? (2)当 a, b 满足什么条件时,a?b??? (3) a ? b, a ? b 有可能是相等的向量吗?为什么? A B D

C

易错点(不能正确地理解向量减法的几何意义) 例如图所示,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A, B, C 的有向线段分别表示向 量 r1 , r2 , r3 ,求 OD . A D B C

r1

r2
O

r3

(三)向量数乘运算及其几何意义 例 1(向量数乘运算的概念) 已知 a, b 是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由. (1) 2 a 的方向与 a 的方向相同,且 2 a 的模是 a 的模的 2 倍. (2) ? 3a 的方向与 6a 的方向相反,且 ? 3a 的模是 6a 的模的 (3) ? 4a 与 4a 是一对相反向量. (4) a ? b 与 ? b ? a 是一对相反向量. (5)若 a, b 不共线,则 0 ? a 与 b 不共线.

1 . 2

? ?

例 2(向量的数乘运算) 化简.

? ? ? ? (2) ?m ? n ??a ? b ?? ?m ? n ??a ? b ?
(3)

(1) 8 2a ? b ? c ? 6 a ? 2b ? c ? 2 2a ? c ;

?

?

2? 1 1 ? 4a ? 3b ? b ? 6a ? 7b ? ? 3? 3 4 ?

?

?

?

?

例 3(向量共线定理的应用) 已知非零向量 e1 , e2 不共线. (1)设 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3 e1 ? e2 ,求证 A, B, D 三点共线; (2)欲使 k e1 ? e2 和 e1 ? k e2 共线,试确定实数 k 的值.

?

?

练习:已知向量 a, b ,且 AB ? a ? 2b, BC ? ?5a ? 6b, CD ? 7 a ? 2b ,则一定共线的三点 是( ) B. A, B, C C. B, C , D D. A, C , D

A. A, B, D

例 4(向量在几何中的应用) 如 图 所 示 , 四 边 形 OADB 是 以 向 量 OA ? a, OB ? b 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 , 且

1 1 BM ? BC , CN ? CD ,试用向量 a, b 表示 OM , ON , MN . 3 3

B M C N

D

O

A

练习:已知四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2c, CD ? 5a ? 6b ? 8c ,对角线 AC , BD 的中点分 别为 E , F ,则向量 EF ? ______________.



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