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【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 统计案例章末归纳总结1



成才之路 ·数学
人教B版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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1-2

第一章 统计案例

第一章

统计案例

成才之路 ·高

中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 · 选修1-1

1-2

第一章 章末归纳总结

第一章

章末归纳总结

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1

知 识 结 构

3

专 题 研 究

2

学 后 反 思

4

随 堂 练 习

第一章

章末归纳总结

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知识结构

第一章

章末归纳总结

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第一章

章末归纳总结

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学后反思

第一章

章末归纳总结

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1.卡方(χ2)
2 n ? n n - n n ? 11 22 12 21 χ2= . n1+n2+n+1n+2

用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设 H0.如果算 出的 χ2 值较大,就拒绝 H0,也就是拒绝“事件 A 与 B 无关”, 从而就认为它们是有关的了.

第一章

章末归纳总结

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2.两个临界值:3.841 与 6.635 经过对 χ2 统计量分布的研究,已经得到了两个临界值: 3.841 与 6.635.当根据具体的数据算出的 χ2>3.841 时, 有 95%的 把握说事件 A 与 B 有关;当 χ2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关.当 χ2≤3.841 时,认为没有足够证据显示事件 A 与 B 是有关的.

第一章

章末归纳总结

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3.a 与回归系数 b 的确定 ^ ^ x a= y -b

? ?xi- x ??yi- y ?
b=
^ i=1

n

? ?xi- x ?2
i=1

n

第一章

章末归纳总结

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4.相关系数

? ?xi- x ??yi- y ?
i =1

n

r=

? ?xi- x ? ? ?yi- y ?2
2 i =1 n i=1

n

n

?xiyi-n x y
i= 1

= ? x2 i -n i =1

.

?

n

x ???yi2-n y 2?
2 i=1

n

r 具有以下性质:|r|≤1,并且|r|越接近 1,线性相关程度越 强;|r|越接近 0,线性相关程度越弱.
第一章 章末归纳总结

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5.相关性检验的步骤 (1)作统计假设:x 与 Y 不具有线性相关关系. (2)根据小概率 0.05 与 n-2 在附表中查出 r 的一个临界值 r0.05. (3)根据样本相关系数计算公式算出 r 的值. (4)统计推断:如果|r|>r0.05,表明有 95%的把握认为 x 与 Y 之间具有线性相关关系. 如果|r|≤r0.05,我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回 归直线方程是毫无意义的.
第一章 章末归纳总结

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专题研究

第一章

章末归纳总结

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一、知识性专题 专题一 相互独立事件同时发生的概率 [ 专题解读 ] 相互独立事件是高考解答题常考的概率模

型,分析时关键要分清哪些事件是相互独立事件,弄清所求问 题和已知条件之间的联系,正确地使用公式解决问题.

第一章

章末归纳总结

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在合肥某社区举办的 2012 年伦敦奥运知识有奖 问答比赛中,小张、小李、小马三人同时回答一道有关奥运知 3 识的问题,已知小张答对这道题的概率是 ,小张、小马两人都 4 1 1 回答错的概率为 , 小李、 小马两人都答对的概率是 , 求小李、 12 4 小马两人各自回答对这道题的概率.

[解题提示]

利用相互独立事件同时发生的概率及对立事

件的概率公式求解.

第一章

章末归纳总结

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[解析]

记小张、小李、小马三人回答对这道题分别为事

件 A、B、C, 1 ? P? A ?· P? C ?= , ? 12 3 则 P(A)= ,? 4 ? 1 P?B?· P?C?= . 4 ? 1 ? [1-P?C?]= , ?[1-P?A?]· 12 所以? 1 ?P?B?· P?C?= . 4 ?

第一章

章末归纳总结

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3 2 则 P(B)= ,P(C)= . 8 3 3 2 所以小李、小马两人各自回答对这道题的概率分别为 、 . 8 3
[方法总结] 独互独立事件同时发生的概率公式为 P(AB)

=P(A)P(B),事件 A 的对立事件的概率为 P( A )=1-P(A).

第一章

章末归纳总结

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专题二 独立性检验 [专题解读] 通过 χ2 值与临界值的大小比较,来确定事件 A 与事件 B 是否有关,当 χ2>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关;当 χ2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关; 当 χ2≤3.841 时,认为事件 A 与 B 是无关的. 计算 χ2 时要在 2×2 列联表中找准各参数值,并且要求表 中的 4 个数据大于等于 5.

第一章

章末归纳总结

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甲、 乙两个班级进行一次考试, 按照学生考试成 绩优秀和不优秀分类统计后,得到如下的 2×2 列联表. 优秀 不优秀 合计 甲班 乙班 合计 10 7 17 35 38 73 45 45 90

利用 2×2 列联表进行独立性检验, 判断成绩与班级是否有 关系.

第一章

章末归纳总结

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[解题提示] 较.

本题主要考查独立性检验思维及其在实际问

题中的应用,先根据题中所给数据求出 χ2的值,再与临界值比

[解析] 将列联表的数据代入 χ2 公式,
2 90 × ? 10 × 38 - 7 × 35 ? 得 χ2= ≈0.653, 17×73×45×45

由于 0.653<3.841,所以不能认为成绩与班级有关.

[方法总结] 解决独立性检验问题的关键是正确计算 χ2 的 值,将其与 3.841 和 6.635 比较,判断两个事件是否有关.

第一章

章末归纳总结

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专题三 回归分析 [专题解读] (1)通过散点图,判断变量间是否具有相关关

系,然后求得回归直线方程. (2)当散点图很难判断两个变量是否有相关关系时,就要进 行相关性检验,通过样本相关系数来判断两个变量是否具有线 性相关关系. (3)了解回归直线方程中参数的意义.

第一章

章末归纳总结

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测得某国 10 对父子的身高(单位:英寸)如下: 父亲身高 x/英寸 60 62 64 66 69 65 66

儿子身高 y/英寸 63.6 65.2 父亲身高 x/英寸 67 68

65.5 66.9 70 71 70

儿子身高 y/英寸 67.1 67.4 68.3 70.1 (1)对变量 y 与 x 进行相关性检验;

(2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为 73 英寸,估计儿子的身高.
[解题提示] 准确计算相关系数r的值,问题可迎刃而解.
第一章 章末归纳总结

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[解析] (1)由表中数据可知 n=10, x =66.2, y =67.01,
10 2 2 2 xi =43936, y2 = 44941.93. , x = 4382.44 , y =4490.3401, i i= 1 i= 1

?
10

10

?

?xiyi=44423.9.
i= 1 10

y ?xiyi-10 x ·
i= 1

于是得 r=

≈0.965>0.632,
10 2 2 2 ? xi -10 x ?? y2 i -10 y ? i= 1 i= 1

?

10

?

所以 y 与 x 之间具有较强的相关关系.
第一章 章末归纳总结

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^, (2)设回归直线方程为^ y=^ bx+a y ?xiyi-10 x · ^= ∴b
i= 1 2 - 10 x ?x2 i i= 1 10 10

^ x ≈29.47, ≈0.567,^ a y -b

∴回归直线方程为^ y=0.567x+29.47. (3)当 x=73 时,^ y≈70.9,所以父亲的身高为 73 英寸时, 估计儿子的身高为 70.9 英寸. [方法总结] 对变量进行回归分析时一定要进行相关性检

验,准确计算相关性系数 r,从而求出回归直线方程,并作出 相应的估计.
第一章 章末归纳总结

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二、数学思想专题 专题四 函数与方程思想 [专题解读] 回归直线方程实际上是把观测到的数据转化

成一次函数,利用回归直线方程对一些问题进行预测.

第一章

章末归纳总结

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用 X 光探伤时,要考虑透视电压 U 与透视厚度 l 的关系,做了 5 次独立试验,其结果如下: l/mm 8 16 20 34 54

U/kV 45 50.5 55 62.5 70 (1)画出散点图; (2)进行相关性检验; (3)求 U 关于 l 的回归直线方程, 并预测当透视厚度为 40mm 时,透视电压 U 是多少.

第一章

章末归纳总结

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[解析] (1)散点图如图所示.

(2)经计算知 r≈0.985>r0.05=0.878, 则有 95%的把握认为 U 与 l 之间具有线性相关关系. ^ =0.54l+42.4, (3)经计算得回归直线方程为U 当透视厚度为 40mm 时,可预测透视电压的值为 64kV.
第一章 章末归纳总结

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专题五 转化与化归思想 [专题解读] 将不熟悉的难解的问题转化为熟悉的易解的

问题;将抽象的问题转化为具体的问题;将复杂的问题转化为 简单的问题;将一般性问题转化为特殊的问题;将实际问题转 化为数学问题.使问题便于解决. 在解决实际的预测和检验等问题时,可以将其转化为回归 分析问题和独立性检验问题.

第一章

章末归纳总结

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下表是四次试验的数据: 编号 x y 1 1 2 5 3 10 4 50

10.15 2.85 2.11 1.30

1 根据表中数据分析:y 与 之间是否具有线性相关关系?如 x 果有,求出回归方程.

第一章

章末归纳总结

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1 [解析] 令 u= ,得到下表中的数据: x 编号 u y 1 1 2 0.2 3 0.1 4 0.02

10.15 2.85 2.11 1.30

经计算得: u =0.33, y =4.1025,
4 2 ui =1.0504, y2 i =117.2871, i= 1 i= 1

?
4

4

?

?uiyi=10.957,从而可知相关系数 r≈0.9999,
i= 1

第一章

章末归纳总结

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由于|r|与 1 非常接近,所以 u 与 y 具有很强的线性相关关 系. y ?uiyi-4 u · ^= ∴b
i= 1 2 2 u - 4 u ?i i= 1 4 4

^ u ≈1.128, ≈9.014,^ a= y -b

∴^ y=9.014u+1.128, 9.014 ^ 故所求回归直线方程为y= +1.128. x
第一章 章末归纳总结

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[方法总结]

对某些特殊的非线性相关关系,可以通过变

量转换,把非线性回归问题化成线性回归问题,然后用线性回 归的方法进行研究.

第一章

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随堂练习

第一章

章末归纳总结

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一、选择题

1.下列不属于相关关系的是(
A.学习时间与学习成绩 B.父母身高与子女身高

)

C.个人饭量大小与喜欢衣服的颜色 D.吸烟与身体健康状况 [答案] C [解析] 易知个人饭量大小与喜欢衣服的颜色不属于相关 关系.

第一章

章末归纳总结

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2.下列说法中正确的是(

)

①若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大; ②若 r<0,则 x 增大时,y 也相应增大; ③若 r=1, 或 r=-1, 则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关 系),在散点图上各个散点均在一条直线上. A.①② C.①③
[答案] C

B.②③ D.①②③

^>0,则 x 增大时,y [解析] 由 r 的公式可知若 r>0,则b 相应增大,则①正确.由 r 的意义可知③正确.
第一章 章末归纳总结

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3.已知 x 与 y 的一组数据为 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 ^x+a ^必过点( 则 y 与 x 的线性回归方程^ y=b A.(2,2) C.(1,2)
[答案] D

)

B.(1.5,0) D.(1.5,4)

[解析]

0+1+2+3 1+3+5+7 x= =1.5,y = =4,则^ y= 4 4

^x+a ^必过点(1.5,4). b
第一章 章末归纳总结

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^ = 0 ,则相关系数为 4 .若回归直线方程中的回归系数 b ( ) A.r=1 C.r=0
[答案] C

B.r=-1 D.无法确定

第一章

章末归纳总结

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? ?xi- x ??yi- y ?
[解析] 当^ b=
i= 1

n

? ?xi- x ?
i= 1 n

n

=0 时,有 ? (xi- x )(yi-
2 i= 1

n

? ?xi- x ??yi- y ?
i= 1

y )=0,故相关系数 r=
n 2 n i= 1 i= 1

=0.故选 C.

? ?xi- x ? ? ?yi- y ?2

第一章

章末归纳总结

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5.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相 关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ①y 与 x 负相关且^ y=2.347x-6.423;②y 与 x 负相关且^ y= -3.476x+5.648;③y 与 x 正相关且^ y=5.437x+8.493;④y 与 x 正相关且^ y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② B.②③ )

C.③④ D.①④ [答案] D [解析] 根据正负相关性的定义作出判断.由正负相关性

的定义知①④一定不正确.
第一章 章末归纳总结

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6.为考察数学成绩与物理成绩的关系,在高二随机抽取了 300 名学生,得到下面列联表: 数学 物理 85~100 分 85 分以下 合计 85~100 分 85 分以下 合计 37 35 72 85 143 228 122 178 300

第一章

章末归纳总结

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现判断数学成绩与物理成绩有关系,则判断的出错率为

(

)
A.95% C.5% [答案] C B.99% D.1%

[解析] 代入公式得
2 300 × ? 37 × 143 - 35 × 85 ? χ2= ≈4.514>3.841, 72×228×122×178

所以有 95%的把握说明数学成绩与物理成绩有关,故应选 C.
第一章 章末归纳总结

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二、填空题 7.为加强素质教育,使学生各方面全面发展,某学校对学 生文化课与体育课的成绩进行了调查统计,结果如下: 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 文化课不及格 合计 57 16 73 221 43 264 278 59 337

在探究体育课成绩与文化课成绩是否有关时,根据以上数 据可以得到 χ2 为________.(精确到 0.001) [答案] 1.255 2 337 × ? 57 × 43 - 16 × 221 ? [解析] χ2= ≈1.255. 278×59×73×264
第一章 章末归纳总结

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8.对一些城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均
消费水平y(千元)统计调查后知,y与x具有相关关系,满足回归 方程y=0.66x+1.562.若某被调查城市居民人均消费水平为 7.675千元,则可以估计该该城市人均消费额占人均工资收入的 百分比约为________%(保留两个有效数字).

[答案] 83

[解析] 依题意得, 当 y=7.675 时, 有 0.66x+1.562=7.675, x≈9.262,因此,可以估计该城市人均消费额占人均工资收入 7.675 的百分比为 ×100%≈83%. 9.262
第一章 章末归纳总结

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三、解答题 9.某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作 的态度进行了调查,统计数据如下表所示: 积极参加班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 总计 18 6 24 不太积极参 加班级工作 7 19 26 总计 25 25 50

第一章

章末归纳总结

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(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班

级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学
习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性 与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.

第一章

章末归纳总结

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[解析]

(1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为

24 12 50,概率为 = . 50 25 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人, 19 概率为 ; 50
2 50 × ? 18 × 19 - 6 × 7 ? (2)χ2= ≈11.5. 25×25×24×26

∵11.5>6.35, ∴我们有 99%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态 度有关系.
第一章 章末归纳总结

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10.某种花卉的开花期与温度显著相关,为了控制花卉的 开花期,作了 10 次试验,数据如下: 编号 温度 x/℃ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20 25 21 22 23 27 18 15 14 10

开花期 Y/天 33 15 25 26 24 18 35 40 41 50 (1)求 x,Y 的相关系数 r,并进行相关性检验; (2)若要将花卉开花期控制在 45 天左右,问养花的温度应 控制在多少度?

第一章

章末归纳总结

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[解析] (1)r=

∑xiyi-n x

y

2 2 2 ?∑x2 - n x ?? ∑ y - n y ? i i

≈-0.9781.

由 n=10,得 n-2=8,r0.05=0.632,所以|r|>r0.05, 即花卉的开花期与温度之间存在线性相关关系. (2)因为^ b= ∑xiyi-n x
2 ∑x2 - n x i

y

≈-2.0459.

^ ^ x ≈30.7-(-2.0459)×19.5≈70.595, a= y -b 所以回归直线方程为^ y=-2.0459x+70.595. 45-70.595 当 y=45 时,x= ≈12.51. -2.0459 所以将温度控制在 12.51℃左右,开花期会在 45 天左右.
第一章 章末归纳总结

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11.某产品广告费用支出 x(万元)与销售额 y(万元)有如下 对应数据: x 2 3 4 5 6

y 30 39 51 62 68 (1)请画出上表数据的散点图. (2)请根据提供的数据,有最小二乘法求 y 关于 x 的回归直 线方程. (3)据此估计广告费为 10 万元时,销售收入为多少万元?

第一章

章末归纳总结

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[解析] (1)根据表中数据作出散点图如图所示.

2+3+4+5+6 (2) x = =4, 5 30+39+51+62+68 y= =50, 5

?xiyi=60+117+204+310+408=1099,
i= 1

5

第一章

章末归纳总结

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5

1-2

2 2 x = 90 , x =16, ?i i= 1

?xiyi-5 x
^= ∴b
i= 1 2 2 x - 5 x ?i i= 1 5

5

y 1099-1000 = =9.9, 90-16×5

^ ^ x =50-9.9×4=10.4. a= y -b ∴y 关于 x 的回归直线方程为^ y=10.4+9.9x. (3)当 x=10 时,y=109.4(万元). 即估计广告费为 10 万元时,销售收入为 109.4 万元.
第一章 章末归纳总结



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