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广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编5:数列



广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 5:数列 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 1 . (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知数列

?an?,?bn ? 都是公差

为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 , b 且 a1 ? b1 ? 5, a1 ? b1 , a1 , b2 ? N * ,则数列 ?bn ? 的前 10 项和等于 ( A.55 B.70 C.85 )

D.100 2 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) 已知等差数列共有 10 项,其中奇 ) 数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2
3 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)设 f ( x ) 是定义在(0,1)上的函数,

对 任 意 的 y ? x ?1 都 有 f (

1 y?x 1 1 )(n ? N ? ) , 则 ) ? f ( ) ? f ( ) , 记 an ? f ( 2 n ? 5n ? 5 xy ? 1 x y


?a
i ?1

8

i

=



A. f ( )

1 2

B. f ( )

1 3

C. f ( )

1 4

D. f ( )

1 5

4 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) 在等差数列

?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公
( )

差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 ,则 m 的值为 A.37 B.36 C.20 D.19

5 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)已知 数列 {a n } 是等差数

列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1
二、填空题

( D.6



B.3

C.5

6 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) 已知{an}的前 n 项之和为 )

S n ,a

1

=1, S n = 2a n+1 , 则

S n =______

7 . (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) 在 n ? n 的方格中进行跳棋游戏. )

规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格. 设 f ( n) 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图 4, 给出了 n ? 3 时的一条路径.则 f (3) ? _________; f (n) ? ____________.

1

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题.
8 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)将集合{ 2
s

? 2t | 0 ? s ? t

且 s, t ? Z }中的元素按上小下大,左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第行第 j 列的 数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 =________.

3 5 9 ? ? 10 ?
第 13 题图
9 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题 (WORD 版) 在等差数列 {an } 中,有 a6 ? a7 ? a8 )

6 12 ?

? 12 ,

则此数列的前 13 项之和为__________ .
10. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) 数列 {a n } 的项是由 1 或 2 构成, )

且首项为 1,在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2k ? 1 个 2,即数列 {a n } 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,,记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,则 S 20 ? ___; S 2013 ? ___.
11. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知等差数列

?an ?的首项 a1 ? 1 ,前三项之

和 S 3 ? 9 ,则 ?an ? 的通项 an ? ____.
三、解答题 12. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,对一切正

整数 n ,点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n .
2

(1)求数列 {a n } 的通项公式.

(2)若 bn

? 2 kn a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(3)设 Q ? {x x ? k n , n ? N ? }, R ? {x x ? 2a n , n ? N ? } ,等差数列 {c n } 的任一项 cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115 ,求 {c n } 的通项公式.
2

13. 广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考 测试(二)数学理试题(WORD 版) ( )已知 x 轴上有一列点 P 1 ,P2 P 3 , ,P n , ,当 n ? 2 时,点 P n 是把线段 P n - 1 P n + 1 P1P2 ,

作 n 等分的分点中最靠近
为 A1, A2, A3,,AN,其中 a1=1.

Pn+1

的点,设线段

P2 P3 ,

P 3P 4, ,P n P n + 1

的长度分别

(1)求 an 关于 n 的解析式; (2 )证明:a1 + a2 + a3 + + an < 3

(3) 设点 P(n,

an ) { n ? 3 ),在这些点中是否存在两个点同时在函数

y?

k (k ? 0) ( x ? 1) 2 的图象上?

如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.

14. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) 已知数列 )

?an ?,?bn ? 满

足: a1 ? 0, b1 ? 2013 ,且对任意 n, an , an?1 , bn 和 an?1 , bn?1 , bn 均为等差数列. (1)求 a2 , b2 的值; (2)证明: ?an ? bn ? 和 ?an ? 2bn ? 均成等比数列; (3)是否存在唯一的正整数 c ,使得 an ? c ? bn 恒成立?证明你的结论.

15 . 广 东 省 韶 关 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 调 研 测 试 数 学 理 试 题 ) 如 图 , 过 点 P(1,0) 作 曲 线 (

C: y ? x ( x ? (0,??)) 的切线,切点为 Q1 ,设点 Q1 在 x 轴上的投影是点 P ;又过点 P 作曲线 C 的切线, 1 1
2

切点为 Q2 ,设 Q2 在 x 轴上的投影是 P2 ;;依此下去,得到一系列点 Q1 , Q2, Q3 ??? Qn ,设点 Qn 的横坐标为

an .
(1)求直线 PQ1 的方程; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

(3)记 Qn 到直线 Pn Qn ?1 的距离为 d n ,求证: n ? 2 时,

1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 3 d1 d2 dn

3

y

Q2

Q1

o

P (1,0)

P 1

P2

x

16. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷 )在数列

?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任

意 k ? N * , a2k ?1, a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 2k . (1)证明: a4 , a5 , a6 成等比数列; (3)记 Tn ? (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

3 22 32 n2 ? ? ? ? ,证明: ? 2n ? Tn ? 2(n ? 2) 2 a2 a3 an

17. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD版) 已知曲线C:xy=1,过C上一点 )

A n ( xn , yn ) 作一斜率 kn ? ?
数列{ xn },其中 x1 ?

1 的直线交曲线C于另一点 A n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) ,点列{ An }的横坐标构成 xn ? 2

11 . 7

(1)求 xn 与 xn ?1 的关系式; (2)求证:数列 (3)求证: 是等比数列;

18 . 广 东 省 揭 阳 市 2013 年 高 中 毕 业 班 第 二 次 高 考 模 拟 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 数 列 (

?an ?

, 3, 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2, ? ),且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.
(1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式; (3)求最小的自然数 n ,使 an ? 2013 .

19. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)设函 数

f 0 ( x) ? x ? e
2

1 ? x 2

,

记 f 0 ( x) 的导函数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的导函数 f1?( x) ? f 2 ( x) ,

4

f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f 3 ( x) ,, f n ?1 ( x) 的导函数 f n??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 S n ? f 2 (0) ? f 3 (0) ? ? ? f n ?1 (0) ,是否存在 n ? N * 使 S n 最大?证明你的结论.
20. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) 已知函数 )

f ( x) ? log mx ( m 为常

数, 0 ? m ? 1 ),且数列 ? f (an )? 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列. (1) 若 bn ? an ? f (an ) ,当 m ?

2 时,求数列 ?bn? 的前 n 项和 Sn ; 2

(2)设 cn ? an ? lg an ,如果 ?cn? 中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围.
21. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)设 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?

1 . x ?a
2

(Ⅰ)证明:存在唯一实数 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? x0 ; (Ⅱ)定义数列 {xn } : x1 ? 0 , xn?1 ? f ( xn ) , n ? N .
*

1 a

(i)求证:对任意正整数 n 都有 x2n?1 ? x0 ? x2n ; (ii) 当 a ? 2 时, 若 0 ? xk ?

1 1 (k ? 2,3,4,?) ,证明:对任意 m ? N * 都有: xm ? k ? xk ? . 2 3 ? 4k ?1

22. (广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, a 2 ?

1 ,且 2

an?2

an?1 * ( n ? N ). ? an ? an?1
an } 为等差数列; a n ?1

2

(Ⅰ)求证:数列 {

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求下表中前 n 行所有数的和 S n .

a1 a1 a2 a1a2 a3 a2 a1 a3

???????????

a1an an?1

a2 an?1 an?1

??

an a1 an?1

???????????????? 5

6

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 5:数列参考答案 一、选择题

C 2. C
1. 3.



an ? f (

? (n ? 3) ? (n ? 2) ? 1 )? f ? ? n ? 5n ? 5 ? (n ? 3)(n ? 2) ? 1 ?
2

? f(

1 1 )? f ( ) n?2 n?3

,



?a
i ?1

8

i

1 1 1 1 1 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) 3 4 4 5 10 11

1 1 11 ? 3 1 ? f ( )? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,故选 C. 3 11 11? 3 ? 1 4
4. 5.

由 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 得 (m ?1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ,选 A. B

二、填空题 6. 7. 8.

3 ( ) n?1 2
9

n n ?1

80

9. 【解析】等差数列

?an? 中,有 a 6 ? a 7 ? a 8 ? 3a 7 ,? a 7 ? 4,? S 13 ? 13a 7 ? 52

,故此数列的前 13 项

之和为 52 .
10.

36 ; 3981

11. 2n ? 1 . 三、解答题 12.解:(1)? 点 Pn ( n, S n ) 都在函数

f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图像上,? S n ? n 2 ? 2n(n ? N * ) ,

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 1. 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
2 (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f ?( x) ? 2 x ? 2

? 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .

? bn ? 2kn an ? 4 ? (2n ? 1) ? 4n . ?Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ???+4 ? 2n ? 1) ? 4 n (
由①×4,得 4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 4 4 ? ???+4 ? 2n ? 1) ? 4 n ?1 ( ①-②得:
7

① ②

?3Tn ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? ? 42 ? 43 ? ??? ? 4n ? (2n ? 1) ? 4 n ?1 ? ? ?
2 ? ? 4( ? 4n ?1) 1 ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? (2n ? 1) ? 4n ?1 ? 1? 4 ? ?

?Tn ?

6n ? 1 n ? 2 16 ?4 ? 9 9

(3)? Q ? {x x ? 2n ? 2, n ? N ? }, R ? {x x ? 4n ? 2, n ? N ? } ,? Q ? R ? R . 又? cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数,? c1 ? 6 .

? ?cn ? 是公差是 4 的倍数,? c10 ? 4m ? 6(m ? N * ) .
又?110 ? c10 ? 115 ,? ?

?110 ? 4m ? 6 ? 115
* ?m ? N

,解得 m ? 27 ,所以 c10 ? 114 ,

设等差数列的公差为 d ,则 d ?

c10 ? c1 114 ? 6 ? ? 12, 10 ? 1 9

? cn ? 6 ? (n ? 1) ? 12 ? 12n ? 6 ,所以 ?cn ? 的通项公式为 cn ? 12n ? 6

13.

8

14.

9

2 15.解:(1)令 Q1 ( a1 , a1 ) ,由 y' ? 2 x 得 k PQ1 ? 2 x1

a12 ? 0 即 ? 2a1 故 a1 ? 2 a1 ? 1
? k PQ1 ? 4 ,则切线 l1 的方程为: 4 x ? y ? 4 ? 0
2 (2)令 Qn (an , an ) ,则 Qn ?1 (an ?1 , an ?1 ), Pn ?1 (an ?1 , 0), ? k Pn?1Qn ?

2

2 an ? 0 ? 2an an ? an ?1

化简得

an ? 2, (n ? 2) , an ?1

故数列 ?an ? 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 所以 an ? 2n (3)由(2)知 Pn (2 n ,0) , Qn ?1 (2 n ?1 ,2 2 n ? 2 ) Qn (2 n ,2 2n ) , 故 k PnQn?1 ?

22 n ? 2 ? 0 ? 2n ? 2 , ? lPnQn?1 : 2n ? 2 x ? y ? 22 n ? 2 ? 0 n ?1 n 2 ?2
(2n ? 2 ) 2 ? 1 4n 2n ? ? ? n 4 16 ? 4n ? 1 4 ? 2
10

? dn ?

2n ? 2 ? 2n ? 22 n ? 22 n ? 2

4n

?

1 4 ? n 12 dn 2

1 [1 ? ( 1 )n ] 1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 4[ 1 ? ( 1 )2 ??? ( 1 )n ] ? 4? 2 2 ? 4[1? ( 1 )n ]? 4 d1 d2 dn 2 2 2 1 2 故 1? 2
16.证明:(Ⅰ)因为 a1

? 0 ,且 ?k ? N ? , a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k ?1 成等差数列,其公差为 2k .



2a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 , a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2k

a ? 8, a5 ? 12, a 6 ? 18 , 所以,分别取 k ? 1,2,3 代入解得 4
显然满足

a5 ? a 4 a6
2

,即 a 4 ,

a5 a 6
,

成等比数列;

(Ⅱ)由题意可知: 所以

a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? 4k , 对 ?k ? N ? 恒成立

a 2 k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? (a 7 ? a5 ) ? ..... ? (a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 )
? (k ? 1)(0 ? 4k ) ? 2k (k ? 1) 2

? 0 ? 4 ? 8 ? 12 ? ...... ? 4k =


a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2k ,所以 a 2 k ? a 2 k ?1 ? 2k = 2k (k ? 1) ? 2k ? 2k 2

?n2 ?1 , (n ? 2k ? 1) ? ? 2 an ? ? 2 ? n , ( n ? 2k ) ? ?2 ?a ? ? 所以数列 n 的通项公式为 , k?N

或写为

an ?

n 2 (?1) n ? 1 ? ,n? N? 2 4 (注意:以上三种写法都给全分)

T ? 2 , 2n ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 显然满足结论. (Ⅲ)先证右边:(1)当 n ? 2 时, n

(2)当 n ? 2 时,因为 n 为奇数时,

an ?

n2 ?1 2 ,

n2 2n 2 n2 2 1 ? ? 1 ? 2 ?2 2? ?? 2 ? ?? ? ? a an n ?1 n ?1 ? n ?1 n ?1? 所以 n ,且
2 2 n2 n ? 2 2 ? n ? 0 an ? an 2 , an 当 n 为偶数时, ,

Tn ?
综上可知

2 2 32 n2 ? ? ........ ? ? 2(n ? 1) a 2 a3 an ,当 n ? 2 时取等号
11

所以

2n ? Tn ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2 对任意的 n ? 2, n ? N ? 成立.
2 2 32 n2 22 32 n2 ? ? ........ ? ) ? 2 ? (2 ? ) ? (2 ? ) ? ... ? (2 ? ) a 2 a3 an a2 a3 an
?

再证左边:

因为

2n ? Tn ? 2n

?(

所以(1)当 n ? 2k ? 1, k ? N 时

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?1 ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k 2k ? 2 ? ? 2 4 ? 2 2k ? 2 ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k ? 2 2
(2)当 n ? 2k , k ? N 时
?

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? ?0 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? ? 1 1 ?1 1 ? ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k ? 2 2k ? ? 2 4 ? 2 2k ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k 2
3 ? 2n ? Tn ? 2 综上可知对 ?n ? N , n ? 2 , 2 成立.
?

12

17. 18.解:(1) a1

? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c ,
2

∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c) ? 3(3 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 3 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , an ? an?1 ? (n ?1)c ,

n(n ? 1) c 2 3 3 2 3, 又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ? n(n ? 1) ? (n ? n ? 2)(n ? 2, ?) 2 2 3 2 ? 当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? ( n ? n ? 2)(n ? N ) 2
得 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?
13

(3)由 an ? 2013 得 ∵ n ? N ? ,∴ n ?

3 2 (n ? n ? 2) ? 2013 ,即 n2 ? n ? 1340 ? 0 2

1 1 ? 4 335 1 ? 4 ? 18 ? ? 36 2 2 2

令 n ? 37 ,得 a37 ? 2001 ? 2013 ,令 n ? 38 得 a38 ? 2112 ? 2013 ∴使 an ? 2013 成立的最小自然数 n ? 38
19. ⑴易得,
1 ? 1 ? ? x f1 ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 x ? e 2 , ? 2 ? 1

?1 ? ? x f2 ? x ? ? ? x2 ? 2x ? 2 ? e 2 ?4 ?
1 3 ? 1 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f3 (0) ? ?3 2 ? 8 ?

⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? an ?1 x ? bn ?1 x ? cn ?1 ? e 的导函数为
2

?

?

?x

f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e ? x ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .
对 f n ?1 ( x) 求导得: f n??1 ( x) ? [? ? an ?1 x ? (2an ?1 ? ? ? bn ?1 ) x ? (bn ?1 ? ? ? cn ?1 )] ? e
2

?x

? 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an ? ? ? an ?1 ?

①,

bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 cn ? bn ?1 ? ? ? cn ?1
n

? ? ②, ?



由①得: an ? ? , n ? N , 代入②得: bn ? 2 ? ? 故得: bn ? 2n ? ?
n ?1 n ?1

? ? ? bn ?1 ,即

?

bn
n

?

2

?

?

? n ?1

bn ?1

,其中 n ? 1, 2,?

,n? N
n?2

代入③得: cn ? 2n ? ?

? ? ? cn ?1 ,即 ,n? N ,
n?2

?

cn
n

?

2n

?

2

?

? n ?1

cn ?1

,其中 n ? 1, 2,? .

故得: cn ? n(n ? 1) ? ?

n?2

因此 f n (0) ? cn ? n(n ? 1) ? ? 将? ? ?

,n? N .

1 1 n?2 代入得: f n (0) ? n(n ? 1)(? ) ,其中 n ? N 2 2 1 n ?1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) , 2
14

当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, S 2 k ? S 2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? ( ? )

1 2

2 k ?1

? 0,

? S 2 k ? S 2 k ?1 ? 0, S 2 k ? S 2 k ?1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数
当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0)

1 2 k ?1 2 1 2k 1 1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) ? 2k (2k ? 1)( ? ) 2 k ?1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? ) 2 k ?1 ? 0 , 2 2 2
又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? )
2k

1 2

, f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)( ? )

? S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ,因此数列 ?S 2 k ?1? (k ? 1, 2,?) 是递减数列
又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f 3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S1 ? S3 ? 2

20.

(1) 证:由题意 f (an ) ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2n ,即 log man ? 2n ,

? an ? m2n
bn ? an ? f (an) ? 2n ? m 2 n ,
当m ?

1 n ?1 2 时, bn ? an ? f (an ) ? n ? ( ) 2 2
1 2
0

∴ Sn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( )
1 2

1 2

1 2

1 2

n ?1

,



1 1 1 1 1 Sn ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? ? n ? ( ) n 2 2 2 2 2
①-②,得



1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ( )0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n 2 2 2 2 2 2 2

1 1? (1 ? ( ) n ) 2 ? n ? ( 1 )n ? 1 2 1? ( ) 2
∴ Sn ? ?(n ? 2) ? ( )

1 2

n ?1

?4
?

(2) 解:由(1)知, cn ? an ? lg an ? 2n ? m 2 n lg m ,要使 cn ? cn ?1 对一切 n ? N 成立, 即 n lg m ? (n ? 1)m lg m 对一切 n ? N 成立
2

?

15

? 0 ? m ? 1,? lg m ? 0 ? n ? (n ? 1)m 2 ,对一切 n ? N ? 恒成立,
只需 m ? (
2

n ) min , n ?1

n 1 n 1 ? 1? ) min ? 单调递增,∴当 n ? 1 时, ( n ?1 n ?1 n ?1 2
∴m ?
2

1 2 ,且 0 ? k ? 1 , ∴ 0 ? m ? 2 2
2 ) 满足条件 2

综上所述,存在实数 m ? (0,
21. (Ⅰ)证明: ①

f ( x) ? x ? x3 ? ax ?1 ? 0
1 a 1 ? 0, a3

3 令 h( x) ? x ? ax ?1 ,则 h(0) ? ?1 ? 0 , h( ) ?

∴ h(0) ? h( ) ? 0 又 h/ ( x) ? 3x2 ? a ? 0 ,∴ h( x) ? x3 ? ax ?1 是 R 上的增函数 故 h( x) ? x ? ax ?1 在区间 ? 0,
3

1 a

? ?

1? ? 上有唯一零点, a?

即存在唯一 实数 x0 ? ? 0,

? ?

1? ? 使 f ( x0 ) ? x0 a?
1 ? 1? ,由①知 x0 ? ? 0, ? ,即 x1 ? x0 ? x2 成立; a ? a? 1 在 ? 0, ??? 上是减函数,且 xk ? 0 , x ?a
2

②当 n ? 1 时, x1 ? 0 , x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ?

设当 n ? k (k ? 2) 时, x2k ?1 ? x0 ? x2k ,注意到 f ( x ) ? 故有: f ( x2k ?1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ) ,即 x2k ? x0 ? x2k ?1 ∴ f ( x2k ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ?1 ) ,

即 x2k ?1 ? x0 ? x2k ? 2 .这就是说, n ? k ? 1 时,结论也成立. 故对任意正整数 n 都有: x2n?1 ? x0 ? x2n (2)当 a ? 2 时,由 x1 ? 0 得: x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ?

1 1 , x2 ? x1 ? 2 2

2 2 x2 ? x12 x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 1 1 ?1? ? ? ? x2 ? x1 ? ? ? x3 ? x2 ? 2 ? ? 2 4 2 4 x2 ? 2 x12 ? 2 ( x2 ? 2)( x12 ? 2) ?4?

16

当 k ? 2 时,? 0 ? xk ?

1 , 2

xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk2 ? xk2?1 1 1 ? ? xk ?1 ? xk ? 2 ? 2 ? 2 ∴ 4 4 xk ? 2 xk ?1 ? 2 ( xk ? 2)( xk2?1 ? 2)
?1? ?1? ? ? ? ? xk ?1 ? xk ?2 ? ? ? ? ? ?4? ?4?
*

2

k ?2

? x3 ? x2 ? ? 1 ? ? ? ?4?

k

对 ?m ? N , xm?k ? xk ? ( xm?k ? xm?k ?1 ) ? ( xm?k ?1 ? xm?k ?2 ) ? ?? ( xk ?1 ? xk )

? xm?k ? xm?k ?1 ? xm?k ?1 ? xm?k ?2 ??? xk ?1 ? xk
1 1 1 ? ? 1 ? ? m?1 ? m?2 ? ? ? 2 ? ? 1? xk ?1 ? xk 4 4 4 ? ?4

1 4m x ? x ? 4 ? ? 1 ? 1 ? ? x ? x ? 4 ? 1 ? 1 ? 1 k ?1 k 3 ? 4m ? k ?1 k 3 4k 3 ? 4k ?1 ? ? 1? 4 1?

an?1 1 22.解:(Ⅰ)由条件 a1 ? 1, a 2 ? , an?2 ? ,得 2 an ? an?1
a an ? 2 a n ?1 a ? ? n ?1 ? n ? 1 an ?1 an ? an ?1 an ? 2 an ?1
∴ 数列 {

2

an } 为等差数列. a n ?1
an a ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 an ?1 a2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得



a1 a1 a2 a ? ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n! an a n a 2 a3
an ? 1 n!
( k ? 1,2,?, n )



(Ⅲ)?

ak an?k ?1 (n ? 1)! k ? C n ?1 ? k!(n ? k ? 1)! an?1

∴ 第 n 行各数之和

a1an a2 an?1 a a ? ? ?? ? n 1 an?1 an?1 an?1
( n ? 1, 2, ?? )

1 2 n ? Cn?1 ? Cn?1 ? ? ? Cn?1 ? 2n?1 ? 2

∴ 表中前 n 行所有数的和
17

S n ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2)
? (22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? 2n
22 (2n ? 1) ? ? 2n ? 2n? 2 ? 2n ? 4 . 2 ?1

18



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