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2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练:第三章 三角函数、解三角形(含两年高考一年模拟)



第三章 三角函数、解三角形 考点 10 同角三角函数的基本关系、

诱导公式、三角恒等变换 两年高考真题演练 5 1.(2015· 福建)若 sin α=-13,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值 等于( 12 A. 5 ) 12 B.- 5 5 C.12 5 D.-12

2.(2015· 新课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10

°-cos 160°sin 10°= ( ) 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2

? 3π ? cos?α - ? 10 ? π ? 3.(2015· 重庆)若 tan α =2tan 5 ,则 ? =( π? sin?α - ? 5 ? ?

)

A.1

B.2

C.3

D.4

? ? π? π? 4.(2014· 新课标全国Ⅰ)设 α∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α 2? 2? ? ?

1+sin β = ,则( cos β π A.3α -β= 2 π C.3α +β= 2

) π B.2α -β= 2 π D.2α +β= 2

5.(2015· 四川)sin 15°+sin 75°的值是________. 6. (2015· 四川)已知 sin α +2cos α =0, 则 2sin α cos α -cos2 α 的值是________.

1 7.(2015· 江苏)已知 tan α =-2,tan(α+β)=7,则 tan β 的值 为________. 8.(2015· 广东)已知 tan α =2.
? π? (1)求 tan?α + ?的值; 4? ?

sin 2α (2)求 2 的值. sin α +sin α cos α -cos 2α -1

9.(2014· 江西)已知函数 f(x)=(a+2cos2 x)cos(2x+θ)为奇函数,
?π ? 且 f? ?=0,其中 a∈R,θ ∈(0,π ). ?4?

(1)求 a,θ 的值.
? π ?a? π? 2 (2)若 f?4?=-5,a∈( 2 ,π ),求 sin?a+ ?的值. 3? ? ? ?

? π? 10.(2014· 四川)已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ?

(1)求 f(x)的单调递增区间;
? ?α? 4 π? (2)若 α 是第二象限角,f?3?=5cos?α + ?cos 2α ,求 cos α - 4? ? ? ?

sin α 的值.

考点 10

同角三角函数的基本关系、

诱导公式、三角恒等变换 一年模拟试题精练 1? ? 1. (2015· 蚌埠市模拟)设 a=tan 130°, b=cos(cos 0°), c=?x2+2?
? ?

0 ,则 a,b,c 的大小关系是( A.c>a>b C.a>b>c

) B.c>b>a D.b>c>a

?π ? 3 ?π 3π ? 2.(2015· 辽宁丹东模拟)已知 cos? +α?=5,且α ∈? , ?, 2 ? ?2 ? ?2

则 tan α =(

)

4 3 3 3 A.3 B.4 C.-4 D.±4 3.(2015· 河北正定模拟)已知角 α 的终边经过点 P(m,4),且 cos 3 α =-5,则 m=( )

9 9 A.-3 B.-2 C.2 D.3
?a1 a2? ?=a1a4-a2a3.若将 4.(2015· 甘肃模拟)定义行列式运算:? ?a3 a4? ?-sin x cos x? ? 函数 f(x)=? 的图象向左平移 m(m>0)个单位后,所得图 ?1 - 3? ? ?

象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6

)

5.(2015· 福建宁德模拟)已知函数 f(x)=2 3sin(π -x)· cos x-1 +2cos2 x,其中 x∈R,则下列结论中正确的是( )

π A.f(x)的一条对称轴是 x= 2
? π π? B.f(x)在?- , ?上单调递增 6? ? 3

C.f(x)是最小正周期为π 的奇函数 π D.将函数 y=2sin 2x 的图象左移 6 个单位得到函数 f(x)的图象
? ? π? π? 6.(2015· 江西师大模拟)已知 α∈?0, ?且 tan?α + ?=3,则 2? 4? ? ?

lg(sin α +2cos α )-lg(3sin α +cos α )=________. 7.(2015· 东北三省三校模拟)已知函数 y=sin(π x+φ)-2cos(π x +φ)(0<φ<π )的图象关于直线 x=1 对称,则 sin 2φ =________. 8.(2015· 江苏启东模拟)设常数 a 使方程 sin x+ 3cos x=a 在闭 区间[0,2π ]上恰有三个解 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=________. 9. (2015· 北京四中模拟)设 f(x)=asin 2x+bcos 2x, 其中 a, b∈R,
? ?π ?? ab ≠ 0. 若 f(x)≤ ?f? ?? 对一切 x∈R 恒成立,则以下结论正确的是 ? ? 6 ??

________(写出所有正确结论的编号). ①f?
?11π ? ? ?7π ?? ? ?π ?? ?=0;②?f? ??≥?f? ??;③f(x)既不是奇函数也不是偶 ? 12 ? ? ? 12 ?? ? ? 5 ??

? π 2π ? 函数;④f(x)的单调递增区间是?kπ + ,kπ + ? (k∈Z) ;⑤经过 6 3 ? ?

点(a,b)的所有直线均与函数 f(x)的图象相交. 10.(2015· 江苏启东模拟)已知函数 f(x)=2cos?
? ?π

π? ? x + 6 3
?

(0≤x≤5), 点 A, B 分别是函数 y=f(x)图象上的最高点和最低点. → ?OB → 的值; (1)求点 A,B 的坐标以及OA (2)设点 A,B 分别在角 α,β (α,β ∈[0,2π ])的终边上,求

sin?
?



?的值. 2 -2β ?

?

考点 11 三角函数的图象与性质 两年高考真题演练 1.(2015· 新课标全国Ⅰ)

函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示, 则 f(x)的单调递减区 间为( )

1 3? ? A.?kπ -4,kπ +4?,k∈Z ? ? 1 3? ? B.?2kπ -4,2kπ +4?,k∈Z ? ? 1 3? ? C.?k-4,k+4?,k∈Z
? ?

1 3? ? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z
? ?

2.(2015· 陕西)

如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y =3sin?
? ?π ?+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大 6 x +φ ? ?

值为( A.5 C.8

) B.6 D.10

3.(2015· 四川)下列函数中,最小正周期为π 且图象关于原点对

称的函数是(

)

? ? π? π? A.y=cos?2x+ ? B.y=sin?2x+ ? 2? 2? ? ?

C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 4.(2014· 山东)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为( )

5.(2014· 新课标全国 Ⅰ)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y
? ? π? π? =cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ? 中,最小正周期为π 的所有函数为 6? 4? ? ?

(

) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ π 6.(2014· 福建)将函数 y=sin x 的图象向左平移 2 个单位,得到

函数 y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 2 对称
? π ? D.y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称 ? 2 ?

)

7. (2014· 江西)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ), 其中 a∈R,

? π π? θ ∈?- , ?. 2? ? 2

π (1)若 a= 2,θ = 4 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小 值;
?π ? (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2?

考点 11 三角函数的图象与性质 一年模拟试题精练 1.(2015· 湖南常德模拟)若函数 f(x)=2sin(ωx+φ )(ω ≠0)的图象
?π ? π 关于直线 x= 6 对称,则 f? ?的值为( ?6?

)

A.0 C.-2

B.3 D.2 或-2

? π? 2.(2015· 朝阳区模拟)设函数 f(x)=sin?2x- ?的图象为 C,下面 3? ?

结论中正确的是(

)

A.函数 f(x)的最小正周期是 2π
?π ? B.图象 C 关于点? ,0?对称 ?6 ?

π C.图象 C 可由函数 g(x)=sin 2x 的图象向右平移 3 个单位得到
? π π? D.函数 f(x)在区间?- , ?上是增函数 ? 12 2 ?

π 3.(2015· 河北正定模拟)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- 2 <φ π 2π < 2 )的图象关于直线 x= 3 对称,它的周期为π ,则( 1? ? A.f(x)的图象过点?0,2?
? ? ?π 2π ? B.f(x)在? , ?上是减函数 3 ? ?12

)

C.f(x)的一个对称中心是?
?

?5π

? 12 ,0 ?

?

D.将 f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到 y=2sin ωx 的图象

4. (2015· 广东江门模拟)函数 f(x)=sin(x+φ)在区间? 调递增,常数 φ 的值可能是( π A.0 B. 2 C.π 3π D. 2 )



2π ? ?上单 , 3 ? ?3

?1 ? ?1 ? 5.(2015· 辽宁丹东模拟)设函数 f(x)=sin?2x+θ?- 3cos?2x+θ? ? ? ? ? ? π? ?|θ |< ?,且其图象关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)的一个单调递减区 2? ?

间是(

)

? ?π ? π? A.?0, ? B.? ,π ? 2? ? ?2 ? ? π ?3π ? π? C.?- ,- ? D.? ,2π ? 4? ? 2 ? 2 ?

6.(2015· 安徽淮南模拟)将函数 y=cos x 的图象上各点的横坐标 π 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 4 个单位,所得函数图 象的一条对称轴方程是( A.x=π π C.x= 3 π B.x= 2 π D.x= 4 )

? π? 7.(2015· 江苏泰州模拟 )函数 f(x)=sin?3x+ ?的最小正周期为 6? ?

________. 8 . (2015· 福建龙岩模 拟 ) 某同学用“五 点法”画 函数 f(x) = Asin(ωx+φ)在某一个周期的图象时,列表并填入的部分数据如下表:

x ω x+ φ Asin(ωx+φ)

2π 3 0 0

x1 π 2 2

8π 3 π 0

x2 3π 2 -2

x3 2π 0

(1)求 x1,x2,x3 的值及函数 f(x)的表达式; (2)将函数 f(x)的图象向左平移π 个单位, 可得到函数 g(x)的图象,
? 5π ? 求函数 y=f(x)· g(x)在区间?0, ?的最小值. 3 ? ?

考点 12

解三角形

两年高考真题演练 1.(2014· 江西)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, 2sin2B-sin2A b,c.若 3a=2b,则 的值为( sin2 A 1 A.-9 1 B.3 C.1 ) 7 D.2

2.(2014· 广东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 )

B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

1 3.(2014· 新课标全国Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1, BC= 2,则 AC=( A.5 B. 5 ) C.2 D.1

4.(2014· 湖北)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, π c,已知 A= 6 ,a=1,b= 3,则 B=________. 5. (2015· 福建)若锐角△ABC 的面积为 10 3, 且 AB=5, AC=8, 则 BC 等于________. 6.(2015· 广东)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, π 1 c.若 a= 3,sin B=2,C= 6 ,则 b=________. 7.(2015· 湖北)如

图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公 路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75°的方向上, 仰角为 30°, 则此山的高度 CD =________m. 8.(2014· 广东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, a b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则b=________. 9.(2014· 四川)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67°,30°,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m. (用四舍五入法将结果精确到个位. 参考数据: sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈ 1.73)

10.(2014· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, 1 b,c.已知 b-c=4a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 11. (2014· 新课标全国Ⅰ)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 12.(2014· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a, b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值;
? π? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ?

考点 12

解三角形

一年模拟试题精练 π 1.(2015· 大兴区模拟)在△ABC 中,a= 2,b= 3,B= 3 ,则 A 等于( π A. 6 ) π B. 4 3π C. 4 π 3π D. 4 或 4

2.(2015· 宿州市模拟)在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7, sin B 则sin C的值为( )

3 5 5 8 A.5 B.3 C.8 D.5 3.(2015· 宣城市模拟)在△ABC 中,已知 AB=4 3,AC=4,∠ B=30°,则△ABC 的面积是( A.4 3 B.8 3 C.4 3或 8 3 D. 3 4.(2015· 皖江名校模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 a b+ 3c 是 a,b,c,若b= a ,sin C=2 3sin B,则 tan A=( 3 A. 3 B.1 C. 3 D.- 3 5.(2015· 江西师大模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B, sin B 1-cos B C 所对的边,b=c,且满足sin A= cos A ,若点 O 是△ABC 外一 点,∠AOB=θ(0<θ<π ),OA=2OB=2,则平面四边形 OACB 面积的 最大值是( ) ) )

8+5 3 4+5 3 A. 4 B. 4

C.3 D.

4+ 5 2

6.(2015· 东城区模拟)在△ABC 中,a=3,b= 13,B=60°, 则 c=________;△ABC 的面积为________. 7.(2015· 广东茂名模拟)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 15 3 A,B,C 所对的边,若 a=3,C=120°,△ABC 的面积 S= 4 , 则 c 为________. 8.(2014· 江苏扬州模拟)

如图,在△ABC 中,已知 AB=4,AC=3,∠BAC=60°,点 D, S四边形BCED E 分别是边 AB,AC 上的点,且 DE=2,则 的最小值等于 S△ABC ________. 9.(2015· 泰州市模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若∠B=∠C 且 7a2+b2+c2=4 3,则△ABC 面积的最大值 为________. 10.(2015· 甘肃模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c 且 bcos C=3acos B-ccos B. (1)求 cos B 的值; → ?BC → =2,且 b=2 2,求 a 和 c 的值. (2)若BA

第三章 三角函数、解三角形 考点 10 同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角恒等变换

【两年高考真题演练】 5 12 1.D [∵sin α=-13,且 α 为第四象限角,∴cos α=13,∴ sin α 5 tan α= =-12,故选 D.] cos α 2. D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+ 1 cos 20°sin 10°=sin 30°=2.]
? ?π ? 3π? 3π? π? cos?α- ? sin? +α- ? sin?α+ ? 10 ? 10 ? 5? ? ?2 ? 3.C [ ? = = ? ? π? π? π? sin?α- ? sin?α- ? sin?α- ? 5 5 5 ? ? ? ? ? ?

tan α +1 π π π tan 5 sin αcos 5 +cos αsin 5 2+1 = = = =3.] π π tan α 2-1 sin α·cos 5 -cos αsin 5 -1 π tan 5 1+sin β sin α 1+sin β 4.B [由 tan α= 得 = ,即 sin αcos cos β cos α cos β

β=cos α+sin βcos α,所以 sin(α-β)=cos α,又 cos α=
π π π sin( 2 -α),所以 sin(α-β)=sin( 2 -α),又因为 α∈(0, 2 ),β∈(0, π π π π π π ) ,所以- < α - β < , 0< - α < ,因此 α - β = 2 2 2 2 2 2 -α,所以 2α π -β= 2 ,故选 B.] 6 5. 2 [sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°= 2sin(15°+

6 45°)= 2sin 60°= 2 .] 6.-1 =-2, 2sin α·cos α-cos2x 又 ∵2sin α cos α - cos α = = sin2α+cos2α
2

[sin α+2cos α=0,∴sin α=-2cos α,∴tan α

2tan α-1 , tan2α+1 2?(-2)-1 ∴原式= =-1.] (-2)2+1 7.3 [∵tan α = - 2 , ∴ tan(α + β) = tan α+tan β = 1-tan αtan β

-2+tan β 1 = ,解得 tan β=3.] 1+2tan β 7 π tan α + tan ? 4 tan α +1 2+1 π? (1)tan?α + ?= = = =- 4? π 1-tan α 1-2 ? 1-tan α tan 4

8.解

3; sin 2α (2) 2 sin α +sin α cos α -cos 2α -1 = = = = 2sin α cos α sin α +sin α cos α -(2cos2α -1)-1
2

2sin α cos α sin α +sin α cos α -2cos2α
2

2tan α tan α +tan α -2
2

2?2 2 +2-2
2

=1.

9.解

(1)因为 f(x)=(a+2cos2 x)cos(2x+θ)是奇函数,而 y1=a

+2cos2 x 为偶函数, π 所以 y2=cos(2x+θ)为奇函数.又 θ∈(0,π ),得 θ= 2 ,
?π ? 所以 f(x)=-sin 2x?(a+2cos2 x),由 f? ?=0 得-(a+1)=0,即 ?4?

a=-1.
?a? 1 1 2 (2)由(1)得,f(x)=-2sin 4x,因为 f?4?=-2sin α =-5, ? ? ?π ? 4 3 即 sin α =5,又 a∈? ,π ?,从而 cos a=-5, ?2 ? ? π π 4-3 3 π? 所以有 sin?a+ ?=sin acos 3 +cos asin 3 = 10 . 3? ?

10.解

(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为

? π ? π ?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ?

π π π 由- 2 +2kπ ≤3x+ 4 ≤ 2 +2kπ ,k∈Z, π 2 kπ π 2 kπ 得- 4 + 3 ≤x≤12+ 3 ,k∈Z.
? π 2 kπ π 2 kπ ? ?,k∈ 所以,函数 f(x)的单调递增区间为?- + 3 ,12+ 3 ? ? 4

Z.
? π π? 4 (2)由已知,有 sin?α + ?=5cos(α+ 4 )(cos2 α -sin2 α ), 4? ?

π π 4? π π? 所以 sin α cos 4 +cos α sin 4 =5?cos α cos -sin α sin ? 4 4? ? (cos2 α -sin2 α ), 4 即 sin α +cos α =5(cos α -sin α )2(sin α +cos α ).

3π 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角,知 α= 4 +2k, k∈Z. 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,有(cos α -sin α )2=4. 由 α 是第二象限角,知 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α 5 =- 2 . 5 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 2 . 【一年模拟试题精练】 1.B [a=tan 130°<0,b=cos(cos 00)=cos 1,∴0<b<1;c=1, 故选 B.] 2. B [因为 cos?
? ?π ? 3 ?π 3π? 3 ?= , ? , ?, 且 α ∈ 所以 sin α =- + α 5 5, 2 2 2 ? ? ?

4 3 cos α=-5,∴tan α=4,故选 B.] 3.A [cos α= 4.A [f(x)=? ? m 3 2=-5,∴m=-3,故选 A.] 16+m
? π? ? ?向左 = 3sin x - cos x = 2sin x - 6? ? - 3? ?

?-sin x ?1

cos x? ?

π 平移 m(m>0)个单位后,所得图象对应的函数 f(x)=2sin(x- 6 +m)为 π 奇函数,所以 m 的最小值是 6 ,故选 A.] 5.B [因为 f(x)=2 3sin(π-x)·cos x-1+2cos2 x= 3sin 2x
? π? +cos 2x=2sin?2x+ ?,可以排除 A,C,D,故选 B.] 6? ?

6 .0

? 1+tan α cos α+sin α π? [由 tan?α+ ?=3 得 = 3, =3 4? 1-tan α cos α-sin α ?

有 cos α=2sin α,lg(sin α+2cos α)-lg(3sin α+cos α)=lg 1 =0.] 4 7.-5 [因为 y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)的图象关于直线 x 1 =1 对称,所以 f(1+x)=f(1-x),所以得到 tan φ=-2,则 sin φ= 5 2 5 4 , cos φ =- ,所以 sin 2 φ =- 5 5 5.] 7π 8. 3
? ?1 ? π? 3 [sin x+ 3cos x=2? sin x+ cos x?=2sin?x+ ?=a,直 2 3? ?2 ? ?

线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当 a= 3时,直线与三角
? π π? 3 函数图象恰有三个交点,令 sin?x+ ?= 2 ?x+ 3 =2kπ+ 3? ?

π π 2π π 或 x - = k π- ( k ∈ Z ) , 即 x = 2 k π或 x = 2 k π+ 3 3 3 3 (k∈Z), π 7π ∴此时 x1=0,x2= 3 ,x3=2π,∴x1+x2+x3= 3 .] 9.①③⑤ f(x)≤?f? [f(x) = a2+b2 sin(2x + θ) , θ 为 参 数 . 因 为

? ?π?? π 2π 2π ??, 所以 x= 6 是三角函数的对称轴, 且周期为 T= = 2 ω ? ? 6 ??

π π π =π,所以 2? 6 +θ= 2 +kπ,k∈Z,所 θ= 6 +kπ,k∈Z,所以 π π f(x)= a2+b2sin(2x+ 6 +kπ)=± a2+b2sin(2x+ 6 ).① f?
?11π? ? 11π π? ?=± a2+b2sin?2? + 6 ?=± a2+b2sin 2π=0,所以 12 12 ? ? ? ?

正确.

②?f?

? ?7π?? ? ?4π?? 3 2 2 ??=?± a2+b2sin? ??= 2 a +b , ? ? 12 ?? ? ? 3 ??

? ?π?? ? ?2π π?? ? ?17π?? ?f? ??=?± a2+b2sin? ??= a2+b2?sin? ??, + 6 ?? ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? 30 ??

17π 2π π 3 3 因 为 sin 30 >sin 3 = 2 , 所 以 |f( 5 )|> 2 a2+b2 , 所 以
? ?π?? ?7π? ?f? ??>? ?,所以②错误.③函数既不是奇函数也不是偶函数,所 ? ? 5 ?? ? 12 ?

π 以 ③ 正 确 . 因 为 f(x) = a2+b2 sin(2x + 6 + k π ) = ± a2+b2 π? ? sin?2x+6?,所以单调性需要分类讨论,所以④不正确.假设使经过
? ?

点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,则此直线须与横轴平行, 有|b|> a2+b2,即 b2>a2+b2,所以矛盾,故不存在经过点(a,b)的直 线于函数 f(x)的图象不相交故⑤正确.所以正确的是①③⑤.] 10.解 (1)∵0≤x≤5,

π π π 7π ∴ 3 ≤ 6 x+ 3 ≤ 6
?π π? 1 ∴-1≤cos? x+ ?≤2, 3? ?6

π π π 当 6 x+ 3 = 3 ,即 x=0 时,f(x)取得最大值 1, π π 当 6 x+ 3 =π 即 x=4 时,f(x)取得最小值-2. 因此,所求的坐标为 A(0,1),B(4,-2). → =(0,1),OB → =(4,-2),∴OA → ?OB → =-2; 则OA (2)∵点 A(0,1),B(4,-2). 分别在角 α,β (α,β ∈[0,2π ])的终边上,

π 5 2 5 则 α= 2 ,sin β =- 5 ,cos β = 5 , 则 sin 2β =2sin β cos β =2??-
? ?

4 5? 2 5 ?? =- 5 5, 5?

cos 2β =2cos2 β -1=2?? ∴sin?


?2 5?2 3 ? -1= , 5 ? 5 ?

? ?π ? 2?3 4? 7 2 ?=sin? -2β?= ? + ?= - 2 β 2 ?5 5? 10 . ?2 ? ?4 ?

考点 11 三角函数的图象与性质 【两年高考真题演练】 T 5 1 1.D [由图象知2=4-4=1,∴T=2.由选项知 D 正确.] 2.C [由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5.∴ymax=k+3=8.]
? π? 3.A [A 选项:y=cos?2x+ ?=-sin 2x,T=π,且关于原点 2? ?

对称,故选 A.] 4.D [因 f(-x)=-x· cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-
? π? f(x),故该函数为奇函数,排除 B,又 x∈?0, ?,y>0,排除 C,而 2? ?

x=π时,y=-π,排除 A,故选 D.] 5.A [①y=cos|2x|,最小正周期为π;②y=|cos x|,最小正周
? ? π? π? 期为π;③y=cos?2x+ ?,最小正周期为π;④y=tan?2x- ?,最 6? 4? ? ?

π 小正周期为 2 ,所以最小正周期为π的所有函数为①②③,故选 A.] π 6.D [函数 y=sin x 的图象向左平移 2 个单位后,得到函数 f(x)
? π? =sin?x+ ?=cos x 的图象,f(x)=cos x 为偶函数,排除 A;f(x)=cos 2? ?

?π? π x 的周期为 2π,排除 B;因为 f? ?=cos 2 =0,所以 f(x)=cos x 不 ?2?

π 关于直线 x= 2 对称,排除 C;故选 D.] 7.解
? ? π? π? (1)f(x)=sin?x+ ?+ 2cos?x+ ? 4? 2? ? ?

2 = 2 (sin x+cos x)- 2sin x
?π ? 2 2 = 2 cos x- 2 sin x=sin? -x?, ?4 ? ? 3π π π? 因为 x∈[0,π ],从而 4 -x∈?- , ?, 4 4? ?

2 故 f(x)在[0,π ]上的最大值为 2 ,最小值为-1. π? ?f? ? ? ?=0 ?cos θ (1-2asin θ )=0 (2)由? ? 2 ? 得? , 2 ?2asin θ -sin θ -a=1 ? ?f(π )=1
? π π? 又 θ∈?- , ?知 cos θ ≠0, 2? ? 2

?a=-1 解得? π. θ =- ? 6
【一年模拟试题精练】 1. D [利用排除法, 因为 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω≠0)的图象关于直
?π? π 线 x= 6 对称,所以 f? ?=± 2,故选 D.] ?6?

2.B [函数 f(x)的最小正周期是π,故 A 错误;图象 C 可由函 π 数 g(x)=sin 2x 的图象向右平移 6 个单位得到故 C 错;函数 f(x)在区
? π 5π? 间?- , ?上是增函数,故 D 错;故选 B.] ? 12 12 ?

π π 3.C [因为设函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- 2 <φ< 2 )的图象 2π π 关于直线 x= 3 对称,它的周期为π,所以 φ= 6 ,ω=2,所以 f(x)
?5π? π π π =2sin(2x+ 6 )(ω>0,- 2 <φ< 2 ),因为 f? ?=0,所以 f(x)的一个 ? 12 ?

对称中心是?
?

?5π

?,故选 C.] 12 ,0 ?

?

?π 2π? 3π 4. D [当 φ= 2 时, f(x)=-cos x 在区间? , ?上单调递增, 3 ? ?3

故选 D.]
?1 ?1 ? ?1 ? π? 5.C [因为 f(x)=sin?2x+θ?- 3cos?2x+θ?=2sin? x+θ- ?的 3? ? ? ? ? ?2 ? π π π? 1 图象关于 y 轴对称, 所以 θ=- 6 , 所以 f(x)=-2cos2x 在?- ,- ? 4? ? 2

递减,故选 C.]
?1 ?π? ?1 π π? π? 6. D [由题意知 f(x)=cos? x- ?, 而 f? ?=cos? · - ?=1, 8? 8? ?2 ?4? ?2 4

故选 D.] 2π 7. 3 8. 解 [T= 2π 2π = 3 .] ω

2π 8π π 1 (1)由 3 ω +φ=0, 3 ω +φ=π 可得: ω=2, φ =- 3 .

π π 1 π 3π 1 π 1 由2x1- 3 = 2 ;2x2- 3 = 2 ;2x3- 3 =2π 可得: 5π 11π 14π x1= 3 ,x2= 3 ,x3= 3 .
?1 5π π? 又∵Asin? ? - ?=2,∴A=2. 3 3? ?2

?1 π? ∴f(x)=2sin? x- ?. 3? ?2 ?1 π? (2)由 f(x)=2sin? x- ?的图象向左平移π 个单位, 3? ?2 ?1 ?x π ? π π? 得 g(x)=2sin? x- + ?=2cos? - ?的图象, 3 2? ?2 ?2 3 ? ?x π ? ?x π ? ∴y=f(x)· g(x)=2?2sin? - ??cos? - ? ?2 3 ? ?2 3 ? ? 2π ? =2sin?x- ? 3 ? ? ? ? 2π ? 2π 5π ? ∵x∈?0, ?时,x- 3 ∈?- ,π ? 3 ? 3 ? ? ?

2π π π ∴当 x- 3 =- 2 时,即 x= 6 时,ymin=-2. 考点 12 【两年高考真题演练】 2sin2B-sin2A ?sin B?2 ?b?2 ? ? ? ? -1, 1.D [由正弦定理可得 = 2 - 1 = 2 sin A a sin2A
? ? ? ?

解三角形

2sin2B-sin2A ?3?2 b 3 7 ? ? -1= .] 因为 3a=2b,所以a=2,所以 = 2 ? 2 sin A 2 ?2? a b 2.A [由正弦定理,得sin A=sin B,故 a≤b?sin A≤sin B,选 A.] 1 1 1 3.B [S△ABC=2AB·BCsin B=2?1? 2sin B=2, 2 ∴sin B= 2 ,若 B=45°,则由余弦定理得 AC=1,∴△ABC 为直角三角形,不符合题意,因此 B=135°,由余弦定理得 AC2= 2 AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2-2?1? 2?(- 2 )=5, ∴AC= 5.

故选 B.] π 2π 4. 3 或 3 又 B∈?


a b bsin A 3 [由正弦定理sin A=sin B得 sin B= a = 2 ,

π 2π 5π? ?,所以 B= 或 , 3 3 .] 6 ? ?6

1 3 5.7 [S=2AB·AC·sin A,∴sin A= 2 ,在锐角三角形中 A= π 2 2 AC· cos A=7.] 3 ,由余弦定理得 BC= AB +AC -2AB· 6.1 π 5π 1 [因为 sin B=2且 B∈(0,π),所以 B= 6 或 B= 6 .又 C

π π 2π a =6, 所以 B= 6 , A=π-B-C= 3 .又 a= 3, 由正弦定理得sin A b =sin B,即 3 b = ,解得 b=1.] 2π π sin 3 sin 6 [在△ABC 中,AB=600,

7.100 6

∠ BAC = 30 °,∠ ACB = 75 °- 30 °= 45 °,由正弦定理得 BC AB BC 600 = ,即 = ,所以 BC = 300 2. 在 sin∠BAC sin∠ACB sin 30° sin 45° △BCD 中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=300 2·tan 30°= 100 6.] 8.2 [由正弦定理可得 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,

a sin(B+C)=2sin B,sin A=2sin B,∴a=2b,则b=2.]

9.60 1 1 10.-4 [由已知及正弦定理,得 2b=3c,因为 b-c=4a,不 b2+c2-a2 1 妨设 b=3,c=2,所以 a=4,所以 cos A= 2bc =-4.] 11. 3 [因为 a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C 可化 为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)= b2+c2-a2 bc (c-b)c,即 b +c -a =bc,由余弦定理可得 cos A= 2bc =2bc
2 2 2 2 2 π 1 1 b +c -4 2bc-4 =2,又 0<A<π,故 A= 3 ,又 cos A=2= 2bc ≥ 2bc ,所以

1 bc≤4,当且仅当 b=c 时取等号,由三角形面积公式知 S△ABC=2bcsin 1 3 3 A=2bc· 2 = 4 bc≤ 3,故△ABC 面积的最大值为 3.] 12.解 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.

a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· 2ac . 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= 2bc = =- 6 3. 由于 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos2A= 1 2 2 1-9= 3 .

π π π 2 2 2 ? 1? 2 故 sin(A+ 4 )=sin Acos 4 +cos Asin 4 = 3 ? 2 +?-3?? 2 = ? ? 4- 2 6 . 【一年模拟试题精练】 π 2 1.B [因为 b>a,有正弦定理得到 sin A= 2 ,∴A= 4 ,故选

B.] AB2+AC2-BC2 25+AC2-49 2.A [根据余弦定理 cos A= = 2· 5· AC = 2·AB·AC 1 -2. ∴AC=3 或 AC=-8(排除), AC AB 3 5 根据正弦定理sin B=sin C,即或sin B=sin C, sin B 3 ∴sin C=5, 3 故答案为5,故选 A.] 3.C a b+ 3c 4.C [因为b= a ,sin C=2 3sin B,所以 c=2 3b,a2= 3 3 7b2,由余弦定理得到 cos A= 2 ,∴tan A= 3 ,故选 C.] 5. A [由已知得 sin(A+B)=sin A?sin C=sin A?c=a, 又 b=c, 1 ∴等边三角形 ABC,∴AB2=5-4cos θ,SOACB=2?1?2sin θ
? π? 5 3 5 3 5 + 4 AB2 = sin θ - 3cos θ + 4 = 2sin?θ- ? +4 3≤ 2+ 4 3 = 3? ?

8+5 3 4 选 A.] 6.4 3 3 [由余弦定理得到 b2=a2+c2-2accos B,所以 c2- 1 1 3 3c-4=0,所以 c=4;S△ABC=2acsin B=2·3·4· 2 =3 3.] 7.7 15 3 [∵a=3,C=120°,△ABC 的面积 S= 4 ,

15 3 1 1 ∴ 4 =2absin C=2?3bsin 120°,解得 b=5.

由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcos C=32+52-2?3?5?cos 120°=49. 解得 c=7. 故答案为:7.] 2 8.3 [设 AD=x,AE=y(0<x≤4,0<y≤3),则因为 DE2=x2+y2 -2xycos 60°, 所以 x2+y2-xy=4 ,从而 4≥2xy-xy=xy, 当且仅当 x=y=2 时等号成立, S四边形BCED S△ADE xy 4 = 1- =1- 1 = 1 - 12 ≥ 1 - 12 S△ABC S△ABC 2?3?4sin 60° 1 2xysin 60°

所以

2 =3.] 5 9. 5 [由∠B=∠C 得 b=c,代入 7a2+b2+c2=4 3得, 7a2+2b2=4 3,即 2b2=4 3-7a2, a2+b2-c2 a 由余弦定理得,cos C= 2ab =2b, 4b2-a2 8 3-15a2 所以 sin C= 1-cos C= 2b = , 2b
2

1 1 则 △ABC 的 面 积 S = 2 absin C = 2 ab ? a 8 3-15a2

8 3-15a2 1 = 2b 4

1 1 1 1 1 = 4 a2(8 3-15a2)= 4 ? 15a2(8 3-15a2) ≤ 4 ? 15 15 15a2+8 3-15a2 ? 2 1 1 5 =4? ?4 3= 5 ,当且仅当 15a2=8 3-15a2 取等号,此时 15

4 3 a2= 15 , 5 所以△ABC 的面积的最大值为 5 , 5 故答案为: 5 .] 10.解 (1)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,

则 2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B, 故 sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B, 可得 sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即 sin(B+C)=3sin Acos B, 可得 sin A=3sin Acos B.又 sin A≠0, 1 因此 cos B=3. → ?BC → =2,可得 accos B=2, (2)由BA 1 又 cos B=3,故 ac=6, 由 b2=a2+c2-2accos B, 可得 a2+c2=12, 所以(a-c)2=0,即 a=c, 所以 a=c= 6.



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