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四川省成都市树德中学2014-2015学年高二上学期段考数学试卷(11月份)



四川省成都市树德中学 2014-2015 学年高二上学期段考数学试卷 (11 月份)
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板,则下列物体中既可以堵住圆形空 洞,又可以堵住方形空洞的是()

A.

B.

C.

D.
<

br />2. (5 分)设 a,b,c 是空间三条直线,α,β 是空间两个平面,则下列命题不成立的是() A.当 c⊥α 时,若 c⊥β,则 α∥β B. 当 b?α,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b C. 当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β D.当 b?α,且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c 3. (5 分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是()

A.BD∥平面 CB1D1 B. AC1⊥BD C. AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 4. (5 分)已知△ ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的等边△ A1B1C1,那么原△ ABC 的面积 为() A. B. C. D. 5. (5 分)棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,四面体 AB1CD1 的体积为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)下列命题中正确的是() A.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为一条直线及此直线外的一个点,则这两条 直线互为异面直线 B. 若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线,则这两条直线相交 C. 若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线,则这两条直线平行 D.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条互相垂直的直线,则这两条直线垂直 7. (5 分)在空间四边形 ABCD 中,E ,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点.若 AC=BD=a,若四边形 EFGH 的面积为 A.30° B.60° ,则异面直线 AC 与 BD 所成的角为() C.120° D.60°或 120°

8. (5 分)如果 0 直角三角形的斜边与平面 α 平行,两条直角边所在直线与平面 α 所成的角 分别为 θ1 和 θ2,则() 2 2 A.sin θ1+sin θ2≥1 2 2 C. sin θ1+sin θ2>1 B. sin θ1+sin θ2≤1 2 2 D.sin θ1+sin θ2<1
2 2

9. (5 分)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方 形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为 h1,h2,h,则 h1:h2:h=() A. B. C.
2

D.

10. (5 分)如图,在△ ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB =BD?BC;类似地有命题: 在三棱锥 A﹣BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 点在 BCD 内的射影为 M,则有 .上述命题是()

A.真命题 B. 增加条件“AB⊥AC”才是真命题 C. 增加条件“M 为△ BCD 的垂心”才是真命题 D.增加条件“三棱锥 A﹣BCD 是正三棱锥”才是真命题

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)

11. (5 分)已知 A(3,5,﹣7)和点 B(﹣2,4,3) ,点 A 在 x 轴上的射影为 A′,点 B 在 z 轴上的射影为 B′,则线段 A′B′的长为_. 12. (5 分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

13. (5 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个 点 Q 满足 PQ⊥DQ,则 a 的值等于.

14. (5 分)已知正方体的棱长 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,G 是面 BB1C1C 的中心,M 为面 ABCD 上一点,则 D1M+GM 的最小值为.

15. (5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,有以下命题 ①若 A1 在底面 ABC 内的投影为△ ABC 的中心,∠A1AB=60°; ②若 A1 在底面 ABC 内的投影为△ ABC 的中心,则 AB1 与面 ABC 所成角的正弦值为 ③若 A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点,则二面角 A1﹣AB﹣C 的正切值为 ④若 A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点, 则 AB1 与面 ABC 所成角的正弦值为 以上正确命题的序号为. . ;

三、解答题(共 75 分) 16. (12 分) 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, P、 Q 分别是正方形 AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心. (1)证明:PQ∥平面 DD1C1C; (2)求 PQ 与平面 AA1D1D 所成的角.

17. (12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,左视图为等腰 直角三角形,俯视图为直角梯形. (1)证明:BN⊥平面 C1NB1; (2)求二面角 C﹣NB1﹣B 的正切值的大小.

18. (12 分)在四面体 ABCD 中,△ ABC 与△ DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若二面角 A﹣BC﹣D 为 ,求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值;

(3) 设二面角 A﹣BC﹣D 的大小为 θ, 猜想 θ 为何值时, 四面体 A﹣BCD 的体积最大. (不 要求证明)

19. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A′B′C′,∠BAC=90°, 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 A′ACC′;

,AA′=1,点 M,N

(Ⅱ)求三棱锥 A′﹣MNC 的体积. (椎体体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)

20. (13 分)如图,在四棱柱 ABC﹣A1B1C1D1 中,AA1⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是菱形, ∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,点 E 在棱 CC1 上,点 E 是棱 C1C 上一点. (1)求证:无论 E 在任何位置,都有 A1E⊥BD (2)试确定点 E 的位置,使得 A1﹣BD﹣E 为直二面角,并说明理由. (3)试确定点 E 的位置,使得四面体 A1﹣BDE 体积最大.并求出体积的最大值.

21. (14 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, , ∠ABC=90° (如图 1) . 把 △ ABD 沿 BD 翻折,使得二面角 A﹣BD﹣C 的平面角为 θ(如图 2) (1)若 ,求证:CD⊥AB;

(2)是否存在适当 θ 的值,使得 AC⊥BD,若存在,求出 θ 的值,若不存在说明理由; (3)取 BD 中点 M,BC 中点 N,P、Q 分别为线段 AB 与 DN 上一点,使得 . 令 PQ 与 BD 和 AN 所成的角分别为 θ1 和 θ2. 求证: 对任意 θ∈ (0. π) , 总存在实数 λ,使得 sinθ1+sinθ2 均存在一个不变的最大值.并求出此最大值和取得最大值时 θ 与 λ 的关系.

四川省成都市树德中学 2014-2015 学年高二上学期段考 数学试卷(11 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板,则下列物体中既可以堵住圆形空 洞,又可以堵住方形空洞的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 规律型. 分析: 根据题意, 满足条件的空间几何体的三视图中含有圆和正方形. 然后分别进行判断 即可. 解答: 解:A.正方体的正视图为正方形,侧视图为正方形,俯视图也为正方形,不满足 条件. B.圆柱的正视图和侧视图为相同的矩形,俯视图为圆,满足条件. C.圆锥的正视图为三角形,侧视图为三角形,俯视图为圆,不满足条件. D.球的正视图,侧视图和俯视图相同的圆,不满足条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查三视图的识别和判断, 要求熟练掌握常见空间几何体的三视图, 比较 基础. 2. (5 分)设 a,b,c 是空间三条直线,α,β 是空间两个平面,则下列命题不成立的是() A.当 c⊥α 时,若 c⊥β,则 α∥β B. 当 b?α,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b C. 当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β D.当 b?α,且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:当 c⊥α 时,若 c⊥β,则由平面与平面平行的判定定理知 α∥β,故 A 正确; 当 b?α,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c, 则由三垂线定理知 a⊥b,故 B 正确; 当 b?α 时,若 b⊥β,则由平面与平面垂直的判定定理知 α⊥β,故 C 正确;

当 b?α,且 c?α 时,若 c∥α,则 b 与 c 平 行或异面,故 D 错误. 故选:D. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要注意空间思维能力的培养. 3. (5 分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是()

A.BD∥平面 CB1D1 B. AC1⊥BD C. AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系; 棱柱的结构特征; 空间中直线与平面之间的位 置关系. 分析: A 中因为 BD∥B1D1 可判,B 和 C 中可由三垂线定理进行证明;而 D 中因为 CB1∥D1A,所以∠D1AD 即为异面直线所成的角,∠D1AD=45°. 解答: 解:A 中因为 BD∥B1D1,正确;B 中因为 AC⊥BD,由三垂线定理知正确; C 中有三垂线定理可知 AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,故正确; D 中显然异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 45° 故选 D 点评: 本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角,考查逻辑推理能力. 4. (5 分)已知△ ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的等边△ A1B1C1,那么原△ ABC 的面积 为() A. B. C. D. 考点: 平面图形的直观图. 专题: 计算题;作 图题;数形结合. 分析: 作出如图的直观图,将三角形的一边放到 X 轴上,顶点 Y 轴上建系,由斜二测画 法还原即可 解答: 解: 如图, 三角形 ABC 是等边三角形, 边长为 2, 作 AD 垂直 BC 于 D, 则 AD= 由于角 AOD=45° 故可求得 AO= 由此可得平面图形的底边长为 2,高为 2 故平面图中三角形的面积是 ×2×2 故选 C =

点评: 本题考查平面图形的直观图, 解题的关键是熟练掌握斜二测画法的规则, 与 x 轴平 行的线段长度不变,与 y 平行的线段其长度变为原来的一半,故还原时,与 y 轴平行的线段 的长度需要变为直观图中的二倍. 5. (5 分)棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,四面体 AB1CD1 的体积为() A. B. C. D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 利用正方体的体积减去 4 个正三棱锥的体积即可. 解答: 解:如图所求三棱锥的体积为:正方体的体积减去 4 个正三棱锥的体积即 1 ﹣ 4× × ×1×1×1= . 故答案为:B
3

点评: 本题考查几何体的体积的求法,考查转化思想,计算能力.解题时要认真审题,注 意空间想象力的培养. 6. (5 分)下列命题中正确的是() A.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为一条直线及此直线外的一个点,则这两条 直线互为异面直线

B. 若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线,则这两条直线相交 C. 若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线,则这两条直线平行 D.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条互相垂直的直线,则这两条直线垂直 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断. 解答: 解:若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为一条直线及此直线外的一个点, 则这两条直线没有交点,且一条垂直于平面,一条不垂直于平面, 所以这两条直线互为异面直线,故 A 正确; 若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线, 则这两条直线平行或异面,故 B 和 C 错误; 若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条互相垂直的直线, 则这两条直线相交或异面,故 D 错误. 故选:A. 点评: 本题考查真假命题的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养. 7. (5 分)在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点.若 AC=BD=a,若四边形 EFGH 的面积为 A.30° B.60° ,则异面直线 AC 与 BD 所成的角为() C.120° D.60°或 120°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 根据三角形中位线定理,结合题意证出四边形 EFGH 为菱形,∠FEH(或其补角) 就是异面直线 AC 与 BD 所成的角.设 AC 与 BD 所成的角为 α,利用平行四边形的面积公 式,建立关于 α 的等式,解之即可得出 AC 与 BD 所成的角. 解答: 解:连结 EH, ∵EH 是△ ABD 的中位线, ∴EH∥BD 且 EH= BD. 同理可得 FG∥BD,EF∥AC,且 FG=BD,EF=AC. ∴EH∥FG,且 EH=FG,可得四边形 EFGH 为平行四边形. ∵AC=BD=a, ∴EF=EH= ,四边形 EFGH 为菱形,

设 AC 与 BD 所成的角为 α,可得∠FEH=α 或 π﹣α, 可得四边形 EFGH 的面积 解得 sin . ,

结合异面直线所成角为锐角或直角,可得 α=60°, 即异面直线 AC 与 BD 所成的角为 60°. 故选:B

点评: 本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角的大小, 着重考查了平行四边形的面 积公式、三角形中位线定理、异面直线所成角的定义及求法等知识,属于中档题. 8. (5 分)如果 0 直角三角形的斜边与平面 α 平行,两条直角边所在直线与平面 α 所成的角 分别为 θ1 和 θ2,则() 2 2 2 2 A.sin θ1+sin θ2≥1 B. sin θ1+sin θ2≤1 2 2 2 2 C. sin θ1+sin θ2>1 D.sin θ1+sin θ2<1 考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 由已知中直角三角形的斜边与平面 α 平行,两条直角边所在直线与平面 α 所成的 角分别为 θ1 和 θ2,根据空间直线与平面夹角的定义,我们可得 θ1+θ2≤90°,当且仅当三角形 所在平面与 α 垂直时取等,进而得到结论. 解答: 解:∵直角三角形的斜边与平面 α 平行, 两条直角边所在直线与平面 α 所成的角分别为 θ1 和 θ2, 则 θ1+θ2≤90°(当且仅当三角形所在平面与 α 垂直时取等) 2 2 则 sin θ1+sin θ2≤1(当且仅当三角形所在平面与 α 垂直时取等) 故选 B 点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中 根据已知结合空间直线与平面夹 角的定义,得到 θ1+θ2≤90°,是解答本题的关键. 9. (5 分)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方 形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为 h1,h2,h,则 h1:h2:h=() A. 考点: 专题: 分析: 解答: a,DO= B. C. D.

简单组合体的结构特征. 计算题;压轴题. 做该题可以将几何体还原,利用题目的条件进行求解即可. 解:如图,设正三棱锥 P﹣ABE 的各棱长为 a,则四棱锥 P﹣ABCD 的各棱长也为 ,h1=PO,

于是









故选 B. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,及对简单几何体机构的认识,是基础题. 10. (5 分)如图,在△ ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB =BD?BC;类似地有命题: 在三棱锥 A﹣BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 点在 BCD 内的射影为 M,则有 .上述命题是()
2

A.真命题 B. 增加条件“AB⊥AC”才是真命题 C. 增加条件“M 为△ BCD 的垂心”才是真命题 D.增加条件“三棱锥 A﹣BCD 是正三棱锥”才是真命题 考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 2 分析: 连接 AE,证明 AM⊥DE,AD⊥AE,由射影定理可得 AE =EM?ED,再结合三角 形的面积公式可得结论. 解答: 解:连接 AE,则 因为 AD⊥面 ABC,AE?面 ABC, 所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE, 2 所以由射影定理可得 AE =EM?ED.

于是 S△ ABC =
2

2

=S△ BCM?S△ BCD.

故有 S△ ABC =S△ BCM?S△ BCD. 所以命题是一个真命题. 故选 A. 点评: 本题考查类比推理及利用平面的性质证明空间的结论,考查空间想象能力,证明 AE =EO?ED 是关键. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知 A(3,5,﹣7)和点 B(﹣2,4,3) ,点 A 在 x 轴上的射影为 A′,点 B 在 z 轴上的射影为 B′,则线段 A′B′的长为 3 _. 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 计算题. 分析: 根据点 B 是 A(3,4,﹣2)在 xOy 坐标平面内的射影,所以 A 与 A′的横坐标和 竖坐标相同,纵坐标为 0,得到 A′的坐标,同理求出 B′的坐标,根据两点之间的距离公式 得到结果. 解答: 解:∵点 A(3,5,﹣7)在 x 轴上的射影 A′(3,0,0) , 点 B(﹣2,4,3) ,点 B 在 z 轴上的射影为 B′(0,0,3) , ∴|A′B′|= =3 ,
2

故答案为:3 ; 点评: 本题考查空间直角坐标系,考查空间中两点间的距离公式,是一个基础题,解题的 关键是,一个点在坐标轴上的射影的坐标同这个点的坐标的关系.

12. (5 分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 由三视图可知:上面是一个四棱锥,下面是一个圆柱.其中:四棱锥的母线长为 2, 底面是一个对角线为 2 的正方形;圆柱的底面直径为 2,高为 2.利用体积计算公式即可得 出. 解答: 解:由三视图可知:上面是一个四棱锥,下面是一个圆柱.其中:四棱锥的母线长 为 2,底面是一个对角线为 2 的正方形;圆柱的底面直径为 2,高为 2. ∴该几何体的体积 V= 故答案为: . +π×1 ×2=
2



点评: 本题考查了四棱锥与圆柱的三视图及其体积计算公式,属于基础题. 13. (5 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个 点 Q 满足 PQ⊥DQ,则 a 的值等于 2.

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性 质即可求出. 解答: 解:连接 AQ,取 AD 的中点 O,连接 OQ. ∵PA⊥平面 ABCD,PQ⊥DQ, ∴由三垂线定理的逆定理可得 DQ⊥AQ. ∴点 Q 在以线段 AD 的中点 O 为圆心的圆上, 又∵在 BC 上有且仅有一个点 Q 满足 PQ⊥DQ,∴BC 与圆 O 相切, (否则相交就有两点满 足垂直,矛盾. ) ∴OQ⊥BC, ∵AD∥BC,∴OQ=AB=1,∴BC=AD=2, 即 a=2. 故答案为:2.

点评: 本题体现转化的数学思想, 转化为 BC 与以线段 AD 的中点 O 为圆心的圆相切是关 键,属于中档题.

14. (5 分)已知正方体的棱长 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,G 是面 BB1C1 C 的中心,M 为面 ABCD 上一点,则 D1M+GM 的最小值为 .

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 建立空间直角坐标系, 利用对称性以及两点间的距离公式求出 D1M+GM 的最小值.

解答: 解:建立空间直角坐标系如图,



∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,G 是面 BB1C1C 的中心, ∴G(1,2,1) ,作 G 关于平面 xoy 的对称点 G1,则 G1(1,2,﹣1) ,又 D1(0,0,2) , ∴D1M+MG=D1M+MG1=D1G1= = ,

∴D1M+GM 的最小值为 ; 故答案为: . 点评: 本题以正方体为载体考查了利用对称性求最小值的问题,是基础题. 15. (5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,有以下命题 ①若 A1 在底面 ABC 内的投影为△ ABC 的中心,∠A1AB=60°; ②若 A1 在底面 ABC 内的投影为△ ABC 的中心,则 AB1 与面 ABC 所成角的正弦值为 ③若 A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点,则二面角 A1﹣AB﹣C 的正切值为 ④若 A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点, 则 AB1 与面 ABC 所成角的正弦值为 以上正确命题的序号为①③④. 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. . ;

分析: 根据题意,①②画出一个图形,③和④各画出一个图形,先找 出角,再计算所 求的值,从而判定命题是否正确.

解答: 解:①中,如图 A1 在底面 ABC 内的投影为△ ABC 的中心 O, 则 A1O⊥平面 ABC,∴A1O⊥AB; 又 OD⊥AB,∴AB⊥A1D;



又 AD= AA1,∴cos∠A1AB= ,∴∠A1AB=60°,①正确; ②中,设三棱柱的侧棱、底边长为 1,A1 在底面△ ABC 的射影是中心 O,则 OA=OB=OC= × = ,且 AA1=BA1=CA1=1, ,

在 Rt△ AA1O 中 A1O=

设 AB1 与 A1B 的交点为 M,则 MB= ,AM= 作点 M 在平面 ABC 上的射影 N,则 N 是 A1B 的射影 OB 的中点,BN= × 在 Rt△ MNB 中得 MN= , = ,

∵∠MAN 是直线 AB1 与平面 ABC 所成的角,

∴Rt△ MNA 中,sinMAN=

=

=

,∴②错误;

③中,如图



A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点 O, 过 点 O 作 OD⊥AB,垂足为 D,连接 A1D,

则∠A1DO 是二面角 A1﹣AB﹣C 的平面角, ∴tan∠A1DO= = = ,∴③正确;

④中,如图



设 A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点 O, 则过点 B1 作 B1E⊥平面 ABC,垂足为 E,连接 AE,则∠B1AE 是 AB1 与面 ABC 所成的角, 过 O 点作 OG⊥AB 于 G,连接 A1G,∴A1G⊥AB; 过 E 点作 EF⊥AB 于 F,连接 B1F,∴B1F⊥AB, ∴△AA1G≌△BB1F; 设 AB=a,∴A1O= = = a,



=

+OG =

2

+

=

a,

2

∴B1F=A1G, ∴AG =
2



=a ﹣

2

a=

2

a ,∴AG= a;

2

∴AF=AB+BF=a+ a= a,

∴AB1=

=

=

a,

则 sin∠B1AE=

=

=

,∴④正确;

故答案为:①③④. 点评: 本题考查了求空间中的线线,线面以及面面所成的角的问题,解题时应先找出角, 再计算所求的值. 三、解答题(共 75 分) 16. (12 分) 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, P、 Q 分别是正方形 AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心.

(1)证明:PQ∥平面 DD1C1C; (2)求 PQ 与平面 AA1D1D 所成的角.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连接 A1C1,DC1,则 Q 为 A1C1 的中点,可得 PQ∥DC1,利用线面平行的判 定定理,可得 PQ∥平面 DD1C1C; (2)因为 PQ∥DC1,所以 PQ、DC1 与平面 AA1D1D 所成的角相等,从而可求 PQ 与平面 AA1D1D 所成的角. 解答: (1)证明:连接 A1C1,DC1,则 Q 为 A1C1 的中点. ∴PQ∥DC1 且 PQ= DC1, ∵PQ?平面 DD1C1C,DC1?平面 DD1C1C, ∴PQ∥平面 DD1C1C;…(6 分) (2)解:∵PQ∥DC1, ∴PQ、DC1 与平面 AA1D1D 所成的角相等, ∵DC1 与平面 AA1D1D 所成的角为 45°, ∴PQ 与平面 AA1D1D 所成的角为 45°.…(12 分)

点评: 本题考查线面平行,考查线面角,其中证明 PQ∥DC1 是关键. 17. (12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,左视图为等腰 直角三角形,俯视图为直角梯形. (1)证明:BN⊥平面 C1NB1; (2)求二面角 C﹣NB1﹣B 的正切值的大小.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明 BN⊥平面 C1NB1,只需证明 BN⊥B1C1,BN⊥B1N 即可; (2)证明∠CNB 为所求二面角的平面角,在 Rt△ BCN 中,可求二面角 C﹣NB1﹣B 的正切 值的大小. 解答: (1)证明:据题意易得 B1C1⊥平面 ABB1N, ∴BN⊥B1C1, ∵BN=4 ,BB1=8,NB1=4 , ∴BN⊥B1N, ∵B1C1∩B1N=B1, ∴BN⊥平面 C1NB1; (2)解:∵BC⊥平面 ABB1N,BN⊥B1N, ∴CN⊥B1N, ∴∠CNB 为所求二面角的平面角. 在 Rt△ BCN 中,tan∠CNB= = .

点评: 本题考查线面垂直,考查面面角,解题的关键是正确运用线面垂直的判定定理,正 确作出面面角. 18. (12 分)在四面体 ABCD 中,△ ABC 与△ DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若二面角 A﹣BC﹣D 为 ,求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值;

(3) 设二面角 A﹣BC﹣D 的大小为 θ, 猜想 θ 为何值时, 四面体 A﹣BCD 的体积最大. (不 要求证明)

考点: 与 二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)根据线面垂直的性质证明 BC⊥平面 AOD 即可证明 BC⊥AD;

(2)根据二面角 A﹣BC﹣D 的大小,即可求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)根据条件进行猜想即可得到四面体 A ﹣BCD 的最大体积. 解答: 证明: (1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△ BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD. 又 AD?平面 AOD, ∴BC⊥AD. (2)取 AC 中点 M,AD 中点 N, 则 OM∥AB,MN∥CD, ∴∠OMN 为所求角(或其补交) 另一方面,由(1)知道 BC⊥平面 AOD,从而二面角 A﹣BC﹣D 的平面角为 ∴△AOD 为正三角形, ∴ , ∴ON= AD=3 .

从而在∴△OMN 中, ∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ; (3)当 θ=90°时,四面体 ABCD 的体积最大.

点评: 本题主要考查空间直线和平面垂直的性质和判断, 以及空间二面角和异面直线所成 角的计算,考查学生的计算能力. 19. (12 分)如图,直三棱柱 ABC﹣A′B′C′,∠BAC=90°, 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 A′ACC′; (Ⅱ)求三棱锥 A′﹣MNC 的体积. (椎体体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高) ,AA′=1,点 M,N

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)证法一,连接 AB′,AC′,通过证明 MN∥AC′证明 MN∥平面 A′ACC′. 证法二,通过证出 MP∥AA′,PN∥A′C′.证出 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′,即 能证明平面 MPN∥平面 A′ACC′后证明 MN∥平面 A′ACC′. (Ⅱ)解法一,连接 BN,则 V A′﹣MNC=V N﹣A′MC= V N﹣A′BC= V A′﹣NBC= . 解法二,V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC= V A′﹣NBC= . 解答: (Ⅰ) (证法一) 连接 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱 ABC﹣A′B′C′为直三棱柱,

所以 M 为 AB′的中点,又因为 N 为 B′C′中点,所以 MN∥AC′, 又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′,所以 MN∥平面 A′ACC′; (证法二) 取 A′B′中点, 连接 MP, NP. 而 M, N 分别为 AB′, B ′C′中点, 所以 MP∥AA′, PN∥A′C′. 所 以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′;又 MP∩PN=P, 所以平面 MPN∥平面 A′ACC′,而 MN?平面 MPN,所以 MN∥平面 A′ACC′; (Ⅱ) (解法一)连接 BN,由题意 A′N⊥B′C′,平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′=B′C′,所以 A′N⊥ 平面 NBC,又 A′N= B′C′=1,故

V A′﹣MNC=V N﹣A′MC= V N﹣A′BC= V A′﹣NBC= . (解法二) V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC= V A′﹣NBC= . 点评: 本题考查线面关系,体积求解,考查空间想象能力、思维能力、推理论证能力、转 化、计算等能力. 20. (13 分)如图,在四棱柱 ABC﹣A1B1C1D1 中,AA1⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是菱形, ∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,点 E 在棱 CC1 上,点 E 是棱 C1C 上一点. (1)求证:无论 E 在任何位置,都有 A1E⊥BD (2)试确定点 E 的位置,使得 A1﹣BD﹣E 为直二面角,并说明理由. (3)试确定点 E 的位置,使得四面体 A1﹣BDE 体积最大.并求出体积的最大值.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由 AA1⊥底面 ABCD,可得 AA1⊥BD,结合菱形的性质可得 AC⊥BD,由 线面垂直的判定定理可得 BD⊥平面 AA1C1C,进而得到 A1E⊥BD; (2)由(1)得二面角 A1﹣BD﹣E 的平面角为∠A1OE,令 CE=x,利用勾股定理,可得 x 值,进而确定 E 点的位置; (3)过 E 作 A1O 的垂线与 H,则必有 EH⊥平面 A1BD,从而 ,所以当 EH

最大时,四面体 A1﹣BDE 体积最大.所以当 E 点和 C1 重合时体积最大.代入棱锥体积公 式,可得答案. 解答: 证明: (1)∵AA1⊥底面 ABCD,BD?底面 ABCD, ∴AA1⊥BD 又∵底面 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD 又∵AA1∩AC=A,AA1,AC?平面 AA1C1C ∴BD⊥平面 AA1C1C 又∵A1E?平面 AA1C1C ∴A1E⊥BD…(4 分) 解: (2)由(1)得 BD⊥平面 AA1C1C, ∴二面角 A1﹣BD﹣E 的平面角为∠A1OE. 令 CE=x,则易得 ,

由 (3)∵

…(8 分)

另一方面,∵BD⊥平面 AA1C1C, ∴平面 A1BD⊥平面 AA1C1C, 过 E 作 A1O 的垂线与 H,则必有 EH⊥平面 A1BD,从而 ∴当 EH 最大时,四面体 A1﹣BDE 体积最大. ∴当 E 点和 C1 重合时体积最大.此时 从而 ,…(11 分) …(13 分)

点评: 本题考查的知识点是棱锥的体积,直线与平面垂直的性质,难度中档. 21. (14 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, , ∠ABC=90° (如图 1) . 把 △ ABD 沿 BD 翻折,使得二面角 A﹣BD﹣C 的平面角为 θ(如图 2) (1)若 ,求证:CD⊥AB;

(2)是否存在适当 θ 的值,使得 AC⊥BD,若存在,求出 θ 的值,若不存在说明理由; (3)取 BD 中点 M,BC 中点 N,P、Q 分别为线段 AB 与 DN 上一点,使得 . 令 PQ 与 BD 和 AN 所成的角分别为 θ1 和 θ2. 求证: 对任意 θ∈ (0. π) , 总存在实数 λ,使得 sinθ1+sinθ2 均存在一个不变的最大值.并求出此最大值和取得最大值时 θ 与 λ 的关系.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)先证明 CD⊥BD,利用平面 ABD⊥平面 BCD,可得 CD⊥平面 ABD,利用 线面垂直的性质可得 CD⊥AB; (2)不存在.由 AC⊥BD,CD⊥BD,AC∩CD=C,可得 BD⊥平面 ACD,BD⊥AD,与 ∠ABC=90°矛盾;

(3)BN 线段取点 R 使得

,从而易得 PR∥AN 且 RQ∥BDA,

θ1=∠PQR,θ2=∠QPR,确定 θ1+θ2,利用基本不等式,即可求 sinθ1+sinθ2 的最大值.此时有 PR=QR,利用比例关系,结 合余弦定理,即可得出取得最大值时 θ 与 λ 的关系. 解答: (1)证明:由已知条件可得 BD=2,CD=2,CD⊥BD. ∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴CD⊥平面 ABD. 又∵AB?平面 ABD, ∴CD⊥AB. (2)解:不存在. ∵AC⊥BD,CD⊥BD,AC∩CD=C, ∴BD⊥平面 ACD, ∵AD?平面 ACD, ∴BD⊥AD,与∠ABC=90°矛盾, 故不存在; (3)证明:在 BN 线段取点 R 使得 从而易得 PR∥AN 且 RQ∥BDA,θ1=∠PQR,θ2=∠QPR 另一方面,AM⊥BD,MN⊥BD,从而 θ=∠AMN. ∵AM⊥BD,MN⊥BD,AM∩MN=M, ∴BD⊥AN, ∵PR∥AN,RQ∥BD, ∴∠PRQ= 从而有 ∴ 时取得最大值. 此时有 PR=QR, 又 ∵ , , ∴ (14 分) … , , 当且仅当 sinθ1=sinθ2,即 θ1=θ2

点评: 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识,考查基本不等 式的运用,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想.



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